Secondo appello: prova scritta con soluzioni.
Primo appello: prova scritta con soluzioni.
Esercizi: foglio 1, foglio 2, foglio 3, foglio 4, foglio 5.
Testi di riferimento:
K. O'Grady, Algebra Lineare e Geometria.
M. Manetti, Algebra lineare, per matematici.
Diario delle lezioni:
25/09/23: (PB) Preliminari: insiemi e applicazioni tra insiemi.
27/09/23: (PB) Relazioni d'ordine e relazioni d'equivalenza.
28/09/23: (PB) Applicazioni e operazioni che passano al quoziente: esempi. Lettura consigliata: prime tre sezioni del capitolo 1 delle note di O'Grady. Esercizi consigliati: primi dieci esercizi del capitolo 1 delle stesse note. Primi esempi di spazi vettoriali reali: spazio dei vettori geometrici applicati all'origine e spazio delle n-ple di numeri reali.
02/10/23: (PB) Sistemi lineari: definizioni ed esempi. Descrizione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare tramite parametrizzazione. Caso dei sistemi lineari omogenei: lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo non è mai vuoto e è sempre chiuso per le operazioni di somma e prodotto per scalari.
04/10/23: (PB) Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare compatibile si ottiene sommando a una singola soluzione del sistema tutte le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. Matrici: somma, prodotto per scalari e prodotto righe per colonne tra matrici. Forma matriciale di un sistema lineare: matrice dei coefficienti e matrice completa. Prime nozioni utili a introdurre il metodo di eliminazione di Gauss: operazioni elementari sulle righe di una matrice, relazione di equivalenza per righe tra matrici, matrici a gradini.
05/10/23: (PB) Metodo di eliminazione di Gauss: in ogni classe di equivalenza per righe esiste almeno una matrice a gradini, due matrici a gradini equivalenti per righe hanno lo stesso numero di gradini (rango) e i gradini sono nelle stesse posizioni. Se le matrici complete associate a due sistemi lineari sono equivalenti per righe allora i sistemi sono equivalenti. Condizione di compatibilità per i sistemi lineari a gradini e parametrizzazione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare a gradini compatibile. Enunciato del Teorema di Rouché-Capelli. Ora si possono svolgere tutti gli esercizi del Foglio 1.
09/10/23: (PB) Definizione di campo e primi esempi. Lettura consigliata: sezioni 5 e 6 del capitolo 1 delle note di O'Grady. Esercizi consigliati:1.17 e 1.18 delle stesse note. Definizione di spazio vettoriale su un campo e primi esempi (spazio vettoriale delle n-ple di scalari, spazio vettoriale nullo, spazio vettoriale delle martici a coefficienti in un campo).
11/10/23: (PB) Sottospazi vettoriali, combinazioni lineari, sottospazi vettoriali generati, sistemi di generatori, lineare dipendenza tra vettori, basi, coordinate di un vettore rispetto a una base. Si possono già svolgere i primi tre esercizi del Foglio 2.
12/10/23: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 1.
16/10/23: (PB) Teorema del completamento, dimensione di uno spazio vettoriale, esempi di spazi vettoriali di dimensione infinita. Si possono svolgere gli esercizi 4 e 5 del Foglio 2.
18/10/23: (PB) Intersezione e somma di sottospazi vettoriali, Formula di Grassmann, somma diretta di sottospazi. Utilizzo del metodo di eliminazione di Gauss per estrarre da un insieme di vettori di K^n un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Si possono svolgere gli esercizi 6, 7, 8, 9, 10 e 14 del Foglio 2.
19/10/23: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 2.
23/10/23: (PB) Altri esercizi dal Foglio 2. Utilizzo del metodo di eliminazione di Gauss su spazi vettoriali qualsiasi di dimensione finita: spazi di matrici e spazi di polinomi. Si possono svolgere gli esercizi 11, 12 e 13 del Foglio 2. Numeri reali algebrici e numeri reali trascendenti sul campo dei numeri razionali danno luogo a sottospazi vettoriali di dimensione rispettivamente finita e infinita sul campo dei numeri razionali. Numeri complessi: definizione.
25/10/23: (PB) Il campo dei numeri complessi: scrittura cartesiana, somma, prodotto, reciproco, piano di Gauss, descrizione geometrica della somma, coniugio, modulo, argomento, forma polare, descrizione geometrica del prodotto, potenze e radici n-esime. Enunciato del Teorema fondamentale dell'algebra. Si possono svolgere gli esercizi 19 e 20 del capitolo 1 delle note di O'Grady e gli esercizi 15, 16 e 17 del Foglio 2.
26/10/23: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 2.
30/10/23: (PB) Anelli: definizione ed esempi. Anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in un campo: algoritmo euclideo di divisione, MCD, polinomi irriducibili. L'estensione di un campo K con un elemento algebrico è un campo e un K-spazio vettoriale di dimensione finita. Costruzione del campo F_q, dove q è la potenza di un primo. Caratteristica del campo. Campo delle funzioni razionali. Lettura consigliata: sezioni 6 e 7 del capitolo 1 delle note di O'Grady. Ora si possono svolgere tutti gli esercizi del Foglio 2.
02/11/23: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 2.
06/11/23: (PB) Applicazioni lineari: definizione, esempi e costruzioni, nucleo, immagine, iniettività, suriettività, isomorfismi. Si possono già svolgere i primi tre esercizi del Foglio 3.
08/11/23: (PB) Teorema della dimensione (dimensione del nucleo + dimensione dell'immagine = dimensione del dominio). Proiezione su un sottospazio vettoriale parallelamente a un complemento diretto. Forme lineari su K^n e Teorema della codimensione (lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare dato da m forme lineari indipendenti ha codimensione m). Si possono svolgere gli esercizi 4 e 13 del Foglio 3.
09/11/23: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 3.
13/11/23: (PB) Proprietà del prodotto righe per colonne tra matrici, anello delle matrici n x n a coefficienti in un campo, matrici invertibili e utilizzo del metodo di Gauss per il calcolo dell'inversa di una matrice. Corrispondenza tra matrici m x n a coefficienti in un campo K e applicazioni lineari da K^n a K^m: somma, prodotto per scalari e prodotto righe per colonne. Definizione di rango di una matrice, il rango per righe è uguale al rango per colonne. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo. Dimostrazione del Teorema di Rouché-Capelli. Si possono svolgere gli esercizi 5, 6 e 7 del Foglio 3.
15/11/23: (PB) Matrici associate a un'applicazione lineare rispetto a basi qualsiasi, matrici di cambiamento di coordinate, relazione di similitudine tra matrici. Si possono svolgere gli esercizi 8, 9, 10, 11 e 16 del Foglio 3.
16/11/23: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 3.
20/11/23: (PB) Esercizi scelti dal Foglio 3. Spazio vettoriale quoziente e primo teorema di isomorfismo. Matrici diagonali, potenze di matrici diagonali e potenze di matrici simili a matrici diagonali. Ora si possono svolgere l'esercizio 12 del Foglio 3 e l'esercizio 3.10 delle note di O'Grady.
22/11/23: (SD) Esercizi scelti dal capitolo 3 delle note di O'Grady.
23/11/23: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 3 e dal capitolo 3 delle note di O'Grady.
27/11/23: (PB) Spazio vettoriale duale, base duale, applicazione duale, matrice trasposta. Spazio vettoriale biduale e isomorfismo canonico. Si possono svolgere gli esercizi 14 e 15 del Foglio 3.
29/11/23: (PB) Gruppi: definizione ed esempi. Omomorfismi e isomorfismi di gruppi. Esempio del gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale e del gruppo delle matrici invertibili. Omomorfismi e isomorfismi di anelli, esempio dell'anello degli endomorfismi e dell'anello delle matrici quadrate. Un omomorfismo tra campi che manda l'unità nell'unità è necessariamente iniettivo. Gruppo delle permutazioni di un insieme finito: definizione e notazioni. Lettura consigliata: sezione 10 del capitolo 1 delle note di O'Grady. Ora si possono svolgere tutti gli esercizi del Foglio 3.
30/11/23: (SD) Richiami, esempi ed esercizi sugli spazi vettoriali quoziente.
04/12/23: (PB) Determinante: prime proprietà, unicità ed esistenza, segno di una permutazione ed espressione del determinante in termini di permutazioni, caratterizzazione delle matrici singolari.
06/12/23: (PB) Teorema di Binet, Sviluppo di Laplace, Formula dei cofattori per la matrice inversa, Formula di Cramer, Teorema degli orlati. Si possono svolgere tutti gli esercizi del Foglio 4.
07/12/23: (SD) Richiami ed esercizi sugli spazi vettoriali duali.
11/12/23: (PB) Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico e diagonalizzabilità di un endomorfismo: definizioni ed esempi. Si possono già cominciare a svolgere i primi quattro esercizi del Foglio 5.
13/12/23: (PB) Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore: condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzabilità. Si possono svolgere i primi sette esercizi del Foglio 5.
14/12/23: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 4 e dal Foglio 5.
18/12/23: (PB) Sottospazi invarianti per un endomorfismo, restrizione di un endomorfismo a un sottospazio invariante e endomorfismo indotto sul quoziente modulo un sottospazio invariante: i rispettivi polinomi caratteristici dividono il polinomio caratteristico dell'endomorfismo di partenza. Se l'endomorfismo è diagonalizzabile lo è anche la sua restrizione a un sottospazio invariante. Due endomorfismi sono simultaneamente diagonalizzabili se e solo se sono diagonalizzabili e commutano tra loro. Si può svolgere l'esercizio 8 del Foglio 5.
20/12/23: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 5.
08/01/24: (SD) Esercizi in preparazione dell'esame.
Il corso è terminato. Ultima lettura consigliata (facoltativa): capitoli 9 e 10 delle note di Manetti. Per svolgere gli ultimi due esercizi del foglio 5 basta vedere soltanto la definizione di polinomio minimo di un endomorfismo.