Laurea in Ingegneria Aerospaziale, 2016/2017

Geometria (secondo canale)

Paolo Bravi

Ricevimento studenti: su appuntamento da prendere per email.

Sessione estiva, primo appello: prova scritta martedì 20 giugno, orario e aula da definire.

Sessione straordinaria, primo appello: prova scritta.

Sessione invernale, secondo appello: prova scritta.

Sessione invernale, primo appello: prova scritta.

Fogli di esercizi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7


Diario delle lezioni:

26/09/16: Vettori del piano applicati all'origine.

27/09/16: Vettori dello spazio applicati all'origine. L'insieme delle n-ple reali con somma e prodotto per scalari. Sistemi lineari: primi esempi. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalari.

28/09/16: Base dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, dimensione. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare qualsiasi. Matrici, prodotto righe per colonne.

29/09/16: Eliminazione di Gauss. Rango di una matrice come numero di pivot di una sua forma a gradini. Risoluzione per sostituzione a ritroso di un sistema lineare a gradini. Enunciato del Teorema di Rouché-Capelli.

03/10/16: Esercizio sui sistemi lineari e sull'eliminazione di Gauss. Proprietà del prodotto righe per colonne, matrice identità, matrici invertibili.

04/10/16: Metodo di calcolo della matrice inversa con l'eliminazione di Gauss. Determinante: definizione e prime proprietà.

05/10/16: Esercizi sull'eliminazione di Gauss: risoluzione di sistemi lineari, calcolo del rango, calcolo della matrice inversa.

06/10/16: Caratterizzazione delle matrici non singolari (con dimostrazione). Teorema di Binet, Formula dello sviluppo di Laplace, Formula dei cofattori per la matrice inversa, Formula di Cramer, Teorema degli orlati.

10/10/16: Altri esercizi su rango, sistemi lineari, matrice inversa e determinante. Definizione di campo: esempi.

11/10/16: Definizione di spazio vettoriale su un campo. Sottospazi vettoriali e insiemi di generatori: esempi.

12/10/16: Insiemi di vettori linearmente indipendenti. Basi.

13/10/16: Teorema del completamento (con dimostrazione), dimensione di uno spazio vettoriale. Estrazione di una base da un insieme di generatori con il metodo di eliminazione di Gauss.

17/10/16: Esercizi su sottospazi generati, lineare dipendenza, basi.

18/10/16: Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Calcolo dell'intersezione di due sottospazi con il metodo di eliminazione di Gauss. Formula di Grassmann (con dimostrazione). Somma diretta.

19/10/16: Esercizi su completamento di basi, somma e intersezione di sottospazi vettoriali, Formula di Grassmann.

20/10/16: Definizione di applicazione lineare: primi esempi. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare: principali proprietà.

24/10/16: Esercizio su somma e intersezione. Calcolo del nucleo e dell'immagine di applicazioni lineari. Applicazioni lineari biettive (isomorfismi) e applicazione inversa.

25/10/16: Teorema della dimensione (con dimostrazione). Forme lineari. Teorema della codimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo (con dimostrazione).

26/10/16: Esercizi su: nucleo, immagine e controimmagine di applicazioni lineari; costruzione di applicazioni lineari; forme lineari.

27/10/16: Matrici come applicazioni lineari. Definizioni equivalenti di rango di una matrice come dimensione del sottospazio generato dalle colonne e come dimensione del sottospazio generato dalle righe. Dimostrazione del Teorema di Rouché-Capelli.

02/11/16: Geometria affine: spazio affine reale di dimensione n, sistema di riferimento affine. Sottospazi affini: giacitura e dimensione.

03/11/16: Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane. Punti in posizione generale. Posizione reciproca di due rette nello spazio.

07/11/16: Esercizi di geometria affine.

08/11/16: Esercizi di geometria affine.

09/11/16: Matrici associate a un'applicazione lineare rispetto a basi qualsiasi, matrici di cambiamento di base.

10/11/16: Autovalori e autovettori di un endomorfismo, polinomio caratteristico, diagonalizzazione: primi esempi.

14/11/16: Numeri complessi.

15/11/16: Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzazione: il caso reale e il caso complesso.

16/11/16: Esercizi sulle matrici associate a un'applicazione lineare e sulle matrici di cambiamento di base.

17/11/16: Esercizi sulla diagonalizzazione.

21/11/16: Forme bilineari su spazi vettoriali reali. Matrice associata a una forma bilineare. Forme bilineari simmetriche. Forme bilineari simmetriche non degeneri e forme bilineari simmetriche definite positive.

22/11/16: Enunciato del Teorema di Sylvester e definizione di segnatura. Caratterizzazione delle forme bilineari simmetriche definite positive con i determinanti delle sottomatrici principali.

23/11/16: Esercizi vari, proposti e risolti in aula.

24/11/16: Prodotto scalare canonico. Norma di un vettore, angolo tra due vettori, Disugualianza di Cauchy-Schwarz (con dimostrazione). Basi ortonormali. Matrici ortogonali.

28/11/16: Proiezione ortogonale. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

29/11/16: Significato geometrico del determinante. Prodotto vettoriale.

30/11/16: Esercizi su basi ortogonali e proiezioni ortogonali.

01/12/16: Endomorfismi simmetrici. Teorema spettrale (con dimostrazione).

05/12/16: Esempio di calcolo di una base ortonormale di autovettori di un endomorfismo simmetrico.

06/12/16: Dimostrazione del Teorema di Sylvester e calcolo della segnatura di una forma bilineare simmetrica. Corrispondenza tra forme bilineari simmetriche e forme quadratiche.

12/12/16: Geometria euclidea: sistemi di riferimento cartesiano, perpendicolarità, distanza, proiezione ortogonale.

13/12/16: Cambiamenti di sistema di riferimento.

14/12/16: Isometrie: rotazioni e riflessioni.

15/12/16: Esercizi sulle isometrie.

19/12/16: Classificazione delle coniche, procedimento di riduzione in forma canonica.

20/12/16: Descrizione delle coniche non degeneri: ellisse, iperbole e parabola. Per la classificazione delle quadriche nello spazio vedi: riassunto delle lezioni su coniche e quadriche.

21/12/16: Esercizi sulle coniche.

22/12/16: Esercizi su coniche e quadriche.


11 apr 2017 - pb