Laurea in Fisica, 2019/2020

Geometria (canale D-K)

Docenti: Paolo Bravi e Simone Diverio

Ricevimento studenti: il giovedì dalle 14:00 alle 15:30.

Modalità d'esame: la prova scritta dura due ore e mezza e consiste (generalmente) di cinque esercizi. Non è consentito l'uso di cellulari, calcolatrici e altri strumenti elettronici, che non devono essere né visibili, né accesi. Non è consentito l'uso di libri o appunti con l'eccezione di un singolo foglio A4 (fronte/retro) sul quale lo studente può scrivere tutto ciò che avrà ritenuto opportuno. Gli studenti che hanno ottenuto una votazione di almeno 26 dovranno obbligatoriamente sostenere la prova orale. Gli studenti che hanno superato l'esame con una votazione inferiore a 26 possono comunque richiedere di sostenere la prova orale.

Secondo appello: prova scritta.

Primo appello: prova scritta.

Esercizi: foglio 1, foglio 2, foglio 3, foglio 4, foglio 5, foglio 6.

Testi consigliati: Abate-De Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw-Hill; Abate-De Fabritiis, Esercizi di geometria, McGraw-Hill.


Diario delle lezioni:

24/09/19: Primo esempio di spazio vettoriale: l'insieme dei vettori del piano applicati all'origine, somma, prodotto per scalari, basi, corrispondenza biunivoca con R^2. Secondo esempio: l'insieme dei vettori dello spazio tridimensionale in corrispondenza biunivoca con R^3. Terzo esempio: lo spazio vettoriale numerico R^n.

25/09/19: Sistemi lineari: struttura dello spazio delle soluzioni. Esempi.

26/09/19: Matrici: prodotto righe per colonne, sistemi lineari, equivalenza per righe, matrici a scala.

27/09/19: Eliminazione di Gauss e sistemi lineari equivalenti.

30/09/19: Esercizi sull'eliminazione di Gauss. Definizione di campo.

01/10/19: Il campo dei numeri complessi: parte reale e parte immaginaria, somma, prodotto, piano di Gauss, coniugio, modulo e argomento.

02/10/19: Radici n-esime di un numero complesso.

03/10/19: Polinomi in una variabile: divisione, radici e fattorizzazione. Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra e sue conseguenze per i polinomi a coefficienti reali.

04/10/19: Spazi vettoriali: definizione, esempi, sottospazi vettoriali, sottospazi vettoriali generati da un numero finito di vettori. Dipendenza lineare.

08/10/19: Esempi ed esercizi sui sottospazi vettoriali generati e sulla dipendenza lineare. Definizione di base.

09/10/19: Esercizi (numeri complessi).

11/10/19: Esercizi (sistemi lineari, insiemi di generatori e lineare indipendenza). Teorema del completamento.

15/10/19: Dimensione di uno spazio vettoriale. Estrazione di una base da un insieme finito di generatori.

16/10/19: Esercizi (sistemi lineari, basi e dimensione).

18/10/19: Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.

22/10/19: Applicazioni lineari: nucleo e immagine.

23/10/19: Esercizi (somma e intersezione di sottospazi vettoriali).

25/10/19: Applicazioni lineari: iniettività, suriettività, isomorfismi, teorema della dimensione.

29/10/19: Esercizi (applicazioni lineari).

05/11/19: Inclusioni, quoziente di spazi vettoriali, proiezione sul quoziente, proiezioni parallele, Teorema di omomorfismo per spazi vettoriali.

06/11/19: Esercizi (applicazioni lineari).

08/11/19: Il sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo formato da m equazioni indipendenti ha codimensione m. Esercizi. Algebra delle matrici: matrici invertibili e metodo di calcolo della matrice inversa.

12/11/19: Matrici come applicazioni lineari. Definizione di rango (dimensione del sottospazio generato dalle colonne). Una matrice quadrata è invertibile se e solo ha rango massimo. Il rango è uguale anche alla dimensione del sottospazio generato dalle righe, cioè è uguale al numero dei pivot di una matrice a scala equivalente per righe. Teorema di Rouché-Capelli.

13/11/19: Esercizi (forme lineari, corrispondenza tra matrici e applicazioni lineari, calcolo della matrice inversa).

15/11/19: Esercizi (corrispondenza tra matrici e applicazioni lineari). Spazio vettoriale duale, basi duali. Isomorfismo canonico di uno spazio vettoriale con il suo biduale. Definizione di matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a basi qualsiasi.

19/11/19: Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a basi qualsiasi: corrispondenza tra composizione di applicazioni e prodotto di matrici associate, matrici di cambiamento di coordinate. Esempi ed esercizi.

20/11/19: Esercizi (matrici di cambiamento di coordinate e matrici associate ad applicazioni lineari rispetto a basi qualsiasi).

22/11/19: Esercizi (matrici associate ad applicazioni lineari rispetto a basi qualsiasi). Determinante: definizione e prime proprietà.

26/11/19: Determinante: caratterizzazione delle matrici non singolari, formula esplicita con le permutazioni, teorema di Binet, sviluppo di Laplace, formula dei cofattori per la matrice inversa.

27/11/19: Esercitazione in aula.

29/11/19: Applicazioni del determinante: formula di Cramer e teorema degli orlati. Autovalori e autovettori: definizione e polinomio caratteristico.

03/12/19: Endomorfismi diagonalizzabili, molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Esempi.

04/12/19: Esercizi (determinante, autovalori).

06/12/19: Esercizi (diagonalizzazione). Forme bilineari: definizione e matrici associate.

10/12/19: Cambiamento di coordinate. Forme bilineari simmetriche: forme non degeneri e forme definite positive. Enunciato del Teorema di Sylvester: definizione di segnatura.

11/12/19: Esercizi (diagonalizzazione).

13/12/19: Didattica sospesa causa allerta meteo.

17/12/19: Dimostrazione del Teorema di Sylvester. Esempi. Prodotti scalari: norma, angolo, disugualianza di Cauchy-Schwarz.

18/12/19: Esercizi (diagonalizzazione, forme bilineari simmetriche).

20/12/19: Basi ortonormali, matrici ortogonali, proiezione ortogonale, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

07/01/20: Significato geometrico del determinante. Prodotto vettoriale. Endomorfismi simmetrici ed enunciato del Teorema spettrale.

08/01/20: Esercizi (prodotti scalari, basi ortogonali, proiezione ortogonale, matrici ortogonali).

10/01/20: Forme hermitiane, matrice hermitiana associata, classificazione delle forme hermitiane, segnatura. Prodotti hermitiani: prodotto hermitiano canonico e cenni alle nozioni di norma e ortogonalità rispetto a un prodotto hermitiano, cenni alla disugualianza di Cauchy-Schwarz e al procedimento di ortogonalizzazione. Matrici unitarie.

14/01/20: Dimostrazione del teorema spettrale per endomorfismi simmetrici. Esercizio. Teorema spettrale per endomorfismi hermitiani. Matrici ortogonali e matrici unitarie: principali proprietà, analogie e differenze.

15/01/20: Esercizi (diagonalizzazione di endomorfisimi simmetrici e endomorfismi hermitiani).

17/01/20: Esercizi.


13 feb 2020 - pb