Laurea Magistrale in Matematica e Laurea Magistrale in Matematica per le Applicazioni, 2017/2018

Istituzioni di Geometria Superiore

Paolo Bravi

Ricevimento studenti: il giovedì alle 14.

Programma di massima: varietà differenziabili, curve e superfici in R^n, integrazione sulle varietà differenziabili.


Diario delle lezioni:

25/09/17: Spazi topologici: definizione, basi, funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi topologici e prodotto di spazi topologici. Esempi.

27/09/17: Spazio topologico quoziente. Varietà topologiche: definizione ed esempi.

29/09/17: Varietà differenziabili: definizione. Applicazioni differenziabili e diffeomorfismi tra varietà differenziabili.

02/10/17: Sottovarietà differenziabili, parametrizzazioni, esempi. Spazio tangente. Matrice di transizione tra sistemi di coordinate locali.

04/10/17: Differenziale di un morfismo, matrice Jacobiana. Vettore velocità di una curva differenziabile. Esistenza di curve differenziabili adattate.

06/10/17: Campi vettoriali differenziabili, funzioni coordinate.

09/10/17: Gradiente. Spazio tangente a una sottovarietà differenziabile definita come luogo degli zeri di funzioni differenziabili in un punto regolare. Fibrato tangente.

11/10/17: Compattezza e connessione: definizioni e proprietà generali.

13/10/17: Orientabilità: definizione, esempi.

16/10/17: Diffeomorfismi locali. Sottovarietà differenziabili di varietà differenziabili, immersioni e inclusioni differenziabili.

18/10/17: Summersioni, punti regolari e valori regolari. La fibra di un morfismo in un suo valore regolare è una sottovarietà differenziabile, esempi. Senza dimostrazione: Lemma di Sard, esistenza di partizioni dell'unità, Teorema di Whitney.

20/10/17: Curve differenziabili in R^n: riparametrizzazioni. Velocità, curve regolari, lunghezza e ascissa curvilinea. Base mobile di Frenet.

23/10/17: Curvature. Classificazione delle curve differenziabili in R^n a velocità unitaria.

25/10/17: Curve regolari in R^2 e R^3.

27/10/17: Superfici in R^n: metrica intrinseca, prima forma fondamentale e isometrie.

30/10/17: Prime proprietà intrinseche: lunghezza di curve regolari, angolo tra vettori tangenti, area. Geodetiche. Esistenza e unicità di geodetiche adattate.

03/11/17: Esercizi sulle curve. Geodetiche sul piano, sulla sfera e sul cilindro.

06/11/17: Superfici in R^3: operatore forma e seconda forma fondamentale.

08/11/17: Sezioni normali, curvatura normale, curvature principali e direzioni principali, curvatura gaussiana e curvatura media.

10/11/17: In R^3. Una superficie differenziabile compatta e connessa con tutti punti ombelicali è necessariamente una sfera. Una superficie differenziabile compatta connessa e orientabile con tutti punti ellittici è diffeomorfa a una sfera. Una superficie differenziabile compatta ha almeno un punto ellittico.

13/11/17: Theorema Egregium di Gauss. Formula di Brioschi.

15/11/17: Simboli di Christoffel. Equazioni di compatibilità e classificazione delle superfici differenziabili in R^3 a meno di congruenza (senza dimostrazione). Mappa esponenziale.

17/11/17: Coordinate polari geodetiche, Lemma di Gauss. Le geodetiche sono le curve che localmente minimizzano la distanza intrinseca.

20/11/17:


17 nov 2017 - pb