Laurea Magistrale in Matematica e Laurea Magistrale in Matematica per le Applicazioni, 2017/2018

Istituzioni di Geometria Superiore

Paolo Bravi

Sessione Invernale, primo appello: prova scritta martedì 30 gennaio ore 9:00 aula II.

Sessione Invernale, secondo appello: prova scritta lunedì 19 febbraio ore 9:00 aula II.

Ricevimento studenti: su appuntamento da prendere per email.

Esercizi: foglio 1, foglio 2.

Testi di riferimento: Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri. Per la parte di complementi sulle superfici: Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall. Per la parte di complementi sull'integrazione e sulla teoria di Lie: Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer.


Diario delle lezioni:

25/09/17: Spazi topologici: definizione, basi, funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi topologici e prodotto di spazi topologici. Esempi.

27/09/17: Spazio topologico quoziente. Varietà topologiche: definizione ed esempi.

29/09/17: Varietà differenziabili: definizione. Applicazioni differenziabili e diffeomorfismi tra varietà differenziabili.

02/10/17: Sottovarietà differenziabili, parametrizzazioni, esempi. Spazio tangente. Matrice di transizione tra sistemi di coordinate locali.

04/10/17: Differenziale di un morfismo, matrice Jacobiana. Vettore velocità di una curva differenziabile. Esistenza di curve differenziabili adattate.

06/10/17: Campi vettoriali differenziabili, funzioni coordinate.

09/10/17: Gradiente. Spazio tangente a una sottovarietà differenziabile definita come luogo degli zeri di funzioni differenziabili in un punto regolare. Fibrato tangente.

11/10/17: Compattezza e connessione: definizioni e proprietà generali.

13/10/17: Orientabilità: definizione, esempi.

16/10/17: Diffeomorfismi locali. Sottovarietà differenziabili di varietà differenziabili, immersioni e inclusioni differenziabili.

18/10/17: Summersioni, punti regolari e valori regolari. La fibra di un morfismo in un suo valore regolare è una sottovarietà differenziabile, esempi. Senza dimostrazione: Lemma di Sard, esistenza di partizioni dell'unità, Teorema di Whitney.

20/10/17: Curve differenziabili in R^n: riparametrizzazioni. Velocità, curve regolari, lunghezza e ascissa curvilinea. Base mobile di Frenet.

23/10/17: Curvature. Classificazione delle curve differenziabili in R^n a velocità unitaria.

25/10/17: Curve regolari in R^2 e R^3.

27/10/17: Superfici in R^n: metrica intrinseca, prima forma fondamentale e isometrie.

30/10/17: Prime proprietà intrinseche: lunghezza di curve regolari, angolo tra vettori tangenti, area. Geodetiche. Esistenza e unicità di geodetiche adattate.

03/11/17: Esercizi sulle curve. Geodetiche sul piano, sulla sfera e sul cilindro.

06/11/17: Superfici in R^3: operatore forma e seconda forma fondamentale.

08/11/17: Sezioni normali, curvatura normale, curvature principali e direzioni principali, curvatura gaussiana e curvatura media.

10/11/17: In R^3. Una superficie differenziabile compatta e connessa con tutti punti ombelicali è necessariamente una sfera. Una superficie differenziabile compatta connessa e orientabile con tutti punti ellittici è diffeomorfa a una sfera. Una superficie differenziabile compatta ha almeno un punto ellittico.

13/11/17: Theorema Egregium di Gauss. Formula di Brioschi.

15/11/17: Simboli di Christoffel. Equazioni di compatibilità e classificazione delle superfici differenziabili in R^3 a meno di congruenza (senza dimostrazione). Mappa esponenziale.

17/11/17: Coordinate polari geodetiche, Lemma di Gauss. Le geodetiche sono le curve che localmente minimizzano la distanza intrinseca.

20/11/17: Curvatura geodetica. Teorema di Gauss-Bonnet locale (senza dimostrazione).

22/11/17: Teorema di Gauss-Bonnet globale (senza dimostrazione). Valutazione del corso.

24/11/17: Teorema di Poincaré sulla somma degli indici di un campo vettoriale differenziabile tangente con punti singolari isolati su una superficie differenziabile compatta orientabile (senza dimostrazione). Definizione di algebra tensoriale e algebra esterna.

27/11/17: Definizione di varietà differenziabile con bordo.

29/11/17: Orientazione di una varietà differenziabile con bordo e orientazione indotta sul bordo. Forme differenziali sulle varietà differenziabili con bordo.

01/12/17: Partizioni dell'unità sulle varietà differenziabili con bordo.

04/12/17: Integrale di una n-forma differenziale a supporto compatto su una varietà differenziabile con bordo orientata di dimensione n.

11/12/17: Esercizi sulle varietà con bordo, sulle forme differenziali e sull'integrazione.

13/12/17: Differenziale esterno. Forme chiuse e forme esatte. Teorema di Stokes per forme differenziali a supporto compatto su varietà differenziabili con bordo.

15/12/17: Integrazione sulle catene di simplessi singolari differenziabili, Teorema di Stokes sulle catene di simplessi singolari differenziabili. Definizione di coomologia di De Rham, primi esempi, Teorema di De Rham (senza dimostrazione), Lemma di Poincaré.

18/12/17: Cenni alla teoria di Lie: bracket di Lie di campi vettoriali; curve integrali di campi vettoriali differenziabili; gruppi di Lie, algebre di Lie, algebra di Lie di un gruppo di Lie, esempi; rappresentazioni; rappresentazione aggiunta; sottogruppi a un parametro; mappa esponenziale.

20/12/17: Esercizi sul Teorema di Stokes. Varietà omogenee e gruppi di isotropia, esempi.

15/01/18: Esercizi di riepilogo.


15 gen 2018 - pb