Venerdì 26 aprile non faremo lezione, riprendiamo giovedì 2 maggio.
Esercizi già consegnati:
- capitolo 1: 4, 6, 35j, 87.
Testo di riferimento principale:
R. Stanley, Enumerative Combinatorics, volume 1, second edition, Cambridge University Press, 2011.
Diario delle lezioni:
29/02/24: Contare insiemi e multinsiemi: coefficienti binomiali, composizioni, composizioni deboli, multinsiemi.
01/03/24: Coefficienti multinomiali. Riferimenti: sezione 1.2. Esercizi proposti: (capitolo 1) 2, 3, 8, 10, 25, 34. Permutazioni: rappresentazione standard e biezione fondamentale, tipo di una permutazione e permutazioni di tipo fissato.
07/03/24: Numero di permutazioni di [n] con un numero k di cicli (numeri di Stirling del primo tipo senza segno).
08/03/24: Tavola delle inversioni di una permutazione e distribuzione della statistica inv (numero di inversioni). Insieme delle discese di una permutazione, numero delle discese, numeri euleriani. Eccedenze ed eccedenze deboli di una permutazione, la biezione fondamentale trasforma le eccedenze deboli in non-discese. Riferimenti: sezioni 1.3 e 1.4. Esercizi proposti: (capitolo 1) 35, 36, 37, 49a, 50, 51, 52, 117, 120, 127.
14/03/24: Statistica maj (major index), biezione che trasforma maj in inv (inv e maj sono equidistribuite).
15/03/24: La biezione che trasforma maj in inv preserva l'insieme delle discese della permutazione inversa (reading set), segue che inv e maj hanno distribuzione simmetrica. Matrice di una permutazione e diagramma di una permutazione. Permutazioni di [n] che evitano una fissata permutazione di [3] e numeri di Catalan. Riferimenti: sezioni 1.4 e 1.5. Esercizi proposti: (capitolo 1) 57, 58, 60.
21/03/24: q-analoghi degli interi positivi, del fattoriale, dei coefficienti binomiali e multinomiali. Permutazioni di un multinsieme e distribuzione della statistica inv. Riferimenti: sezione 1.7. Esercizi proposti: (capitolo 1) 56, 62, 64, 176.
22/03/24: Partizioni: ricorsione per il numero di partizioni di n di lunghezza k. Funzioni generatrici che contano le partizioni con diagramma contenuto in un rettangolo fissato, le partizioni con al più k parti, le partizioni con k parti, tutte le partizioni, partizioni con restrizioni fissate sulle molteplicità. Riferimenti: sezioni 1.7 e 1.8. Esercizi proposti: (capitolo 1) 22, 70, 71, 73, 75, 80.
04/04/24: Tre identità con produttorie infinite interpretabili in termini di partizioni e loro varianti finite (q-analogo dello sviluppo della potenza del binomio). Riferimenti: sezione 1.8. Esercizi proposti: (capitolo 1) 76, 100. Dodici modi per contare le applicazioni tra due insiemi finiti. Numeri di Stirling del secondo tipo: ricorsione e serie generatrice.
05/04/24: Numeri di Bell: ricorsione e serie generatrice. I numeri di Stirling del secondo tipo sono i coefficienti della matrice di cambiamento di coordinate (matrice di transizione) dalla base di K[x] data dai monomi x^n alla base data dai polinomi [x]_n, i numeri di Stirling del primo tipo segnati sono i coefficienti della matrice inversa. Formalismo del calcolo alle differenze finite. Riferimenti: sezione 1.9. Esercizi proposti: (capitolo 1) 45, 107.
11/04/24: Il principio di inclusione-esclusione. Applicazioni ed esempi: probleme des rencontres ovvero permutazioni che non fissano nessun elemento.
12/04/24: Numero di permutazioni con insieme delle discese fissato, e q-analogo. Permutazioni con restrizioni sul grafico (non-attacking rooks): probleme des menages. Riferimenti: sezioni 2.1, 2.2 e 2.3. Esercizi proposti: (capitolo 2) 3, 4, 5, 8, 9, 16, 20.
19/04/24: Insiemi parzialmente ordinati (poset): definizione, esempi fondamentali, terminologia (intervalli, catene, lunghezza). Poset graduati, rango e funzione generatrice di un poset graduato. Costruzioni astratte di poset: somma disgiunta, prodotto diretto, duale, poset dei morfismi tra due poset. Convoluzione e algebra di incidenza. Riferimenti: sezioni 3.1, 3.2 e 3.6. Esercizi proposti: (capitolo 3) 4, 6, 8. Inoltre, sempre per per esercizio, dimostrare l'ultima affermazione della sezione 3.6.
02/05/24: