Un'introduzione alla Combinatoria Algebrica
Francesco Brenti

Lo scopo di questo seminario è dare una breve introduzione ai concetti e risultati fondamentali della combinatoria algebrica, con particolare riguardo agli argomenti che sono oggetto corrente di studio in svariati centri di ricerca (tra cui MIT, Gerusalemme, Stoccolma, Parigi, Berkeley). In particolare, tratterò i seguenti tre argomenti:
1) insiemi parzialmente ordinati;
2) il gruppo simmetrico;
3) gruppi di Coxeter.
Il seminario è comprensibile a chiunque abbia superato i corsi del primo biennio in Matematica.

L'ordine di Bruhat sulle involuzioni del gruppo simmetrico
Federico Incitti

Come è noto, il gruppo simmetrico con l'ordinamento parziale di Bruhat codifica la decomposizione in celle delle varietà di Schubert.
Tale insieme parzialmente ordinato è stato ampiamente studiato negli ultimi 30 anni, e si sa che è graduato, con funzione rango data dal numero delle inversioni, che è lessicograficamente scellabile, quindi Cohen-Macaulay, ed Euleriano.
Recentemente una vasta generalizzazione di tale ordine parziale è stata presa in considerazione, in relazione alla decomposizione in celle di certe varietà simmetriche.
In questo seminario studiamo quest'ordine parziale in un caso speciale, particolarmente interessante da un punto di vista combinatorio, che è quello delle involuzioni del gruppo simmetrico, con l'ordinamento di Bruhat indotto. I nostri risultati principali sono che tale insieme parzialmente ordinato è graduato, che la sua funzione rango è data dalla media tra il numero delle inversioni e quello delle eccedenze, e che è lessicograficamente scellabile, quindi Cohen-Macaulay, ed Euleriano.

Polinomi di Kazhdan-Lusztig, geometrie finite e invarianza combinatoria
Francesco Brenti

I polinomi di Kazhdan-Lusztig sono stati definiti per la prima volta, in maniera induttiva e piuttosto complessa, nel 1979, e sono associati ad ogni coppia di elementi di un qualsiasi gruppo di Coxeter. Questi polinomi giocano un ruolo fondamentale in svariate branche della matematica, tra cui teoria delle rappresentazioni, e geometria delle varietà di Schubert, e possono essere definiti in termini di coomologia di intersezione, nonch´ di serie di composizione di moduli di Verma. Benché ciò non sia generalmente noto, i polinomi possono anche definirsi in termine di geometrie finite. In questo seminario spiegherò dettagliatamente questa connessione/definizione (che apre anche molti problemi aperti), e poi presenterò la soluzione di un problema proposto da Lusztig nel 1979, ed oggetto finora di intense ricerche, detto problema della ``invarianza combinatoria''. Più precisamente, spiegherò una procedura semplice, esplicita, ed applicabile ad un qualsiasi insieme parzialmente ordinato, che permette di calcolare questi polinomi. Proprio per questo motivo, la maggior parte del seminario sarà comprensibile a chiunque sappia cos'è un insieme parzialmente ordinato.

Algebre invarianti e indici maggiori per i gruppi di Weyl classici
Fabrizio Caselli

Vengono analizzate due azioni naturali dei gruppi di Weyl classici sull'anello dei polinomi e vengono studiate le serie di Hilbert delle rispettive algebre invarianti. Il quoziente di queste due serie risulta sempre essere un polinomio con coefficienti interi positivi che vengono descritti tramite una statistica ``indice maggiore'' che generalizza la definizione classica per il gruppo simmetrico e che risulta sempre essere equidistribuita con la lunghezza. Viene inoltre introdotta una nuova nozione di discesa e si studia la bidistribuzione ``indice maggiore-numero di discese'' ottenendo una generalizzazione dell'identità di Carlitz valida per il gruppo simmetrico.

Elementi booleani nei gruppi di Coxeter
Mario Marietti

Per studiare certe rappresentazioni dell'algebra di Hecke associata a un sistema di Coxeter (W,S), Kazhdan e Lusztig introdussero due famiglie di polinomi indicizzati da coppie di elementi in W. Il principale strumento per calcolare esplicitamente i polinomi di Kazhdan-Lusztig è una complicata formula ricorsiva che dipende da tutto l'intervallo [u,v] come poset con l'ordine di Bruhat, dall'algebra del gruppo e dai polinomi di Kazhdan-Lusztig indicizzati da coppie di elementi nell'intervallo. Dopo aver dato le definizioni, i risultati basilari e i problemi principali, tratterò la teoria degli elementi booleani, ovvero degli elementi di W minori nell'ordine di Bruhat di una riflessione con espressione ridotta del tipo s_1 ... s_{n-1} s_n s_{n-1} ... s_1, con s_i diverso da s_j. Riusciremo a generalizzare una congettura di Brenti e una di Haiman e a dimostrare l'invarianza combinatoria congetturata da Dyer e da Lusztig per gli elementi booleani nei sistemi di Coxeter strettamente lineari.

Problemi aperti in Combinatoria Algebrica
Francesco Brenti

Lo scopo di questo seminario è quello di proporre e presentare una serie di congetture e problemi aperti in combinatoria algebrica. Inizierò con alcuni problemi famosi e aperti da molti anni, proseguirò con altri nati negli ultimi cinque anni, e concluderò con problemi recentissimi e non ancora apparsi nella letteratura. Per ogni problema esporrò anche i risultati parziali noti (proponendo alcuni anche come "esercizi" per l'uditorio) e darò riferimenti bibliografici. I problemi sono presi da una vasta gamma di fonti: articoli apparsi nella letteratura, sessioni di problemi aperti a congressi, preprints di specialisti del settore, conversazioni informali, incontri del CC&CC (Cambridge Combinatorics Coffee Club), etc. etc... Alcuni dei problemi saranno comprensibili anche ad uno studente di liceo.
Il prerequisito principale per questo seminario è un'apertura mentale verso i problemi... aperti.