Circular extensions of the F₄(2)-building.
Antonio Pasini, Università di Siena.

La seguente classe di geometrie, che chiamerò c.F(s) (ove s = 1, 2, 4) è stata considerata da vari autori (Ivanov, Shpectorov, Pasechnik, Wiedorn): la geometria ha rango 5 e diagramma a stringa, ove i residui dei punti sono isomorfi al building di tipo F₄ con ordini 2, 2, s, s, mentre i piani sono grafi completi su quattro vertici; per di più, si assume che ogni triangolo nel grafo di collinearità sia contenuto nel residuo di un elemento di tipo 4 (ove come tipi prendiamo gli interi 0, 1, 2, 3, 4, da sinistra a destra, come si usa fare). Si conoscono due esempi per il caso di s = 1, associati al gruppo di Fischer Fi₂₂ e alla sua estensione centrale 3^·Fi₂₂ (il secondo esempio è il rivestimento universale del primo); un solo esempio per s = 4, associato al Baby Monster BM; quattro esempi per s = 2, associati ai gruppi E₆(2), ²E₆(2), 3^·2E₆(2) e 2²⁶F₄(2) (il secondo è un quoziente del terzo). Ivanov e Wiedorn hanno provato che, nel caso di s = 1, le geometrie ottenute da Fi₂₂ e 3^·Fi₂₂ sono gli unici esempi ove il gruppo di automorfismi sia transitivo sulle camere. Nel caso di s = 4, Ivanov, Pasechnik e Shpectorov hanno dimostrato che l'esempio per BM è l'unico possibile. Resta il caso di s = 2, che sembra più difficile. Naturalmente, vorremmo raggiungere una classificazione anche per questo caso, eventualmente con l'aiuto di qualche ipotesi sul gruppo di automorfismi (come la transitività sulle camere, o magari più debole). Assieme a Ivanov, pur senza raggiungere quest'obbiettivo, abbiamo ottenuto apprezzabili progressi, sui quali riferirò in questa conferenza.