ANNO ACCADEMICO 1996-97

• Alcuni problemi di Geometria Combinatoria
  Adriano Barlotti - Università di Firenze
  4 dicembre 1996
  Si pongono alcuni problemi che possono essere divisi in tre insiemi:
  a) Questioni collegate al teorema di Sylvester-Gallai.
  b) Il ``Packing problem" dopo il teorema di Tallini.
  c) Problemi aperti nella classificazione dei piani proiettivi.

• Prime values of polynomials
  Paulo Ribenboim - Queen's University, Kingston, Ontario (Canada)
  18 dicembre 1996
  In this lecture I examine the conjectures of Dickson, Bouniakowski, Sierpinski and Schinzel concerning prime values of polynomials and state numerous striking consequences.

• Blocking Set nei piani finiti: tecniche algebriche e geometriche
  Francesco Mazzocca - Università di Napoli
  12 febbraio 1997
  È una survey sui risultati noti di teoria dei blocking set in $PG(2,q)$ e $AG(2,q)$, con particolare riguardo a quelli che fanno uso della teoria dei polinomi lacunosi e della teoria dei gruppi. Tra l'altro, viene annunciata una caratterizzazione (ottenuta da A. Bruen, F. Mazzocca, O. Polverino) dei blocking set di Rédei di $PG(2,q)$ aventi almeno due rette di Rédei.
  È doveroso da parte mia esprimere l'emozione che ho provato nel tenere una conferenza a Roma senza la presenza del compianto Giuseppe Tallini.

• La Geometria di Incidenza di Spazi di Grassmann
  Eva Ferrara Dentice - Università di Napoli
  12 marzo 1997
  In questa conferenza ho trattato il problema della geometria di incidenza di spazi e varietà di Grassman sia dal punto di vista della caratterizzazione e classificazione astratta, sia esaminando il problema nnel caso immerso. Sono inoltre riportati alcuni dei risultati noti relativi a queste problematiche e dei Teoremi di nuova formulazione.

• Alcune congetture della Teoria dei Grafi
  Mario Gionfriddo - Università di Catania
  12 marzo 1997
  A Giuseppe Tallini.
  In questi ultimi anni ho provato ad esaminare la "quantità" di conseguenze prodotte dal Teorema di Vizing. è davvero straordinario come un risultato sull'indice cromatico di un grafo possa aver prodotto tutta una serie di problematiche e congetture su grafi, ipergrafi, sistemi di Steiner, ecc.
  Teorema di Vizing: $G$ grafo (semplice) $\rightarrow$ $\Delta \leq \chi'(G) < \Delta +1$, $\Delta$ = max grado in $G$.
  Conseguenze. 1) Problema della classificazione dei grafi: determinare una condizione necessaria e sufficiente che possa individuare la classe del grafo. 2) Congettura di Berge negli ipergrafi lineari. 3) Congettura di Vizing cui grafi planari. 4) Congettura di Chvátal. 5) Congettura sui grafi critici.

• Sull'esistenza di $(l, m, n)$-fibrazioni
  Marco P. Bernardi - Università di Pavia
  9 aprile 1997
  (Lavoro in collaborazione con E. Schiavi) Chiamiamo $(l, m, n)$-fibrazione su $K$ una famiglia di $m$-spazi di $P_n(K)$ che dia una partizione della famiglia degli $l$-spazi. Nel caso di $l>0$ e di $K$ finito, abbiamo ottenuto i seguenti risultati di non-esistenza:
  1) se $m-l+2$ non divide nè $n-l+1$ nè $n-l+2$, non esiste alcuna $(l, m, n)$-fibrazione;
  2) se $n \leq 2m$, non esiste alcuna $(l, m, n)$-fibrazione.
  Nel caso infinito, il problema dell'esistenza risulta molto più semplice, ed è completamente risolto da un risultato di A. Beutelspacher.
  È doveroso esprimere la riconoscenza a Giuseppe Tallini che mi ha incoraggiato più di una volta allo studio di questi problemi.

• On vertex and edge but not arc-transitive graphs, valency 4
  Dragan Marusic - Università di Zagabria (Slovenia)
  23 aprile 1997
  The concept of transitive group actions on various objects of the graph is studied. Graphs which are vertex and edge but not arc-transitive, in short $1/2$-transitive, were first mentioned in the book by Tutte ``Connectivity in graphs". He proves there that such a graph must have even valency $2k\geq4$. An infinite family of such graphs (one for each admissible valency) was constructed by I. Z. Boniver in 1970. In 1981 the smallest example with 27 vertices was found by Holt.
  In this talk we dealt with $1/2$-transitive graphs of valency 4 and more generally with graphs of valency 4 admitting a subgroup of automorphisms acting $1/2$-transitively. Various combinatorial properties of these graphs are studied (alternating cycles, attachment number, order of vertex stabiliser).

• Subgraphs and spanning trees of hypercubes
  Ivan Havel - Math. Institute Academy of Sciences of the Czech Republic
  23 aprile 1997
  The aim of the talk is to present a survey of results and open problems concerning the s.c. cubical graphs. These are graphs isomorphic to subgraphs (not necessarily isometric) of hypercubes $Q_n$. The cubical dimension of $G$, $cd(G)$, is defined to be the smallest n such that $G$ embeds in $Q_n$ (i.e. such that $G$ is a subgraph of $Q_n$). Every tree $T$ is cubical but to determine $cd(T)$ is in general not easy. In the talk I was also dealing with spanning trees of $Q_n$, i.e. trees on $2^n$ vertices which embed in $Q_n$. A special attention was paid to spanning caterpillars. Not too much is known about the sequence $\{s_n\}_{n\geq2}$,where $s_n$ denotes the minimal number of spinal vertices of a caterpillar spanning $Q_n$ ($s_2=2$, $s_3=4$, $s_4=6$, $s_5=10$, $s_6=16$, $s_7=28$). The problem of finding good bounds for $s_n$ is related to a conjecture of F. Harary and M. Lewinter from 1988, disproved by showing $s_6$ to be 16. There are many problems here, e.g.: Is $s_n$ even for every $n$?

• Arcs and ovals in infinite $K$-clan geometry
  Christine M. O'Keefe - University of Adelaide (Australia)
  7 maggio 1997
  (With Laura Bader) The term $q$-clan geometry is often used to refer to the theory of flocks of quadratic cones and their associated generalized quadrangles and translation planes over $GF(q)$. F. De Clerck and H. Van Maldeghem used the coordinatization of a GQ to extend this thory to the case of an infinite field $K$, introducing $K$-clans.
  Our aim in this work is to extend the thory of herds of arcs and ovals to infinite fields.

• A shorter proof of the maximal arcs conjecture
  Aart Blokhuis - T. U. Eindhoven (NL)
  7 maggio 1997
  A $(k, n)$-arc in $PG(2,q)$ is a set of $k$ points, at most $n$ collinear. We have $k\leq 1+(n-1)(q+1)$ and in case of equality we speak of a MAXIMAL ARC.
  Maximal arcs with $1<n<q$ were only known for $q$ even. The maximal arcs conjecture says that they don't exist for add $q$. The first step towards proving this was Cossu's result that there does not exist a (21, 3) arc in $PG(2,9)$ later extended by Thas to $(2q+3, 3)$ arcs in $PG(2, 3^h)$.
  The full conjectures was finally proved in 1995 by BALL, MAZZOCCA and the speaker.
  In this talk a simplified proof is outlined.

ANNO ACCADEMICO 1997-98

• Constructing examples in finite geometries (using a computer)
  Ivano Pinneri - Università Western Australia, Perth
  12 novembre 1997

  The talk will focus on two areas. Firstly we will look at specific case of how the construction of new examples can motivate theory. Secondly, we will look at the class of algorithms which perform exhaustive searches for configurations in a classical geometry in which the algorithm returns exactly one copy for each isomorphism class of the configuration.

• Covers of Projective Spaces
  Dieter Jungnickel -
  26 novembre 1997

  Recently, there has been some interest in (minimal) line covers of $PG(3,q)$. By a surprising result of Blokhuis et al., such covers exist for sizes $q^2+1+\epsilon$ with $0\leq \epsilon \leq q-1$ (whereas the largest maximal partial spreads have at most $q^2+1-\epsilon$ lines, with $\epsilon \geq 2 \sqrt{q}$). In about 1980 I proved that every group of order $s^2$ which admits a system of $s+1- \delta$ disjoint subgroups of order $s$, where $\delta \geq \sqrt{s}$, is necessarily elementary abelian. To complement these results, I now show that every group of order $s^2$ admitting a cover by $s+1+ \epsilon$ subgroups of order $s$, where $\epsilon \leq p-2$, $p$ the smallest prime divisor of $s$, is again elementary abelian. If $s$ is actually any power of $p$, say $s=p^t$, I can also construct a not elementary abelian group of order $s^2$ which has a cover with $s+1+p$ subgroups of order $s$. Some open problems are also discussed.

• Multipli di Forme Traccia
  Marina Monsurrò -
  14 gennaio 1998

  Lo studio della classe di isomorfismo della forma traccia $q_L$di una $G$-algebra di Galois $L$ come $G$-forma consente di fornire una descrizione estremamente completa dell'algebra stessa. In questo contesto è possibile ridurre tale problema di classificazione ad un problema di coomologia abeliana. In particolare, se si considerano multipli di $q_L$ della forma $2 \otimes q_L := q_L \oplus q_L$, condizioni n.s. perché, date due forme traccia $q_L$ e $q_{L^\prime}$, $2 \otimes q_L \simeq 2 \otimes q_{L^\prime}$ è che $(x_L, -1)=(x_{L^\prime},-1)$ per ogni $x \in H^1 (G, \mu _2)$ dove $x_L\in H^1(G_k,\mu_2)$, con $G_k=Gal(k_s,k)$ e $k$ corpo di base di $L$, e $(x_L, -1) \in H^2 (G_k, \mu_2)$.

• Generalized Quadrangles of order $(q, q^2)$
  Ivano Pinneri -
  28 gennaio 1998

  We investigate a way of characterizing or constructing new generalized quadrangles of order $(q, q^2)$ from subquadrangles of order $q$. In particular, we look at the subquadrangle $T_2(O)$, $q=8$, when $O$ is a Tits oval.

• New classes of extended generalized quadrangles of order $(q+1, q-1)$
  J.A. Thas -
  25 febbraio 1998

  Starting from a particular set of $q+3$ planes in $PG(5,q)$, $q$ even, Yoshiara constructs an extended generalized quadrangle of order $(q+1, q-1)$ ( $EGQ(q+1, q-1)$). He gives an example of such a class of planes; the arising $EGQ(q+1, q-1)$ is denoted by $Y_q(O^*)$, $O*$ some plane dual hyperoval. Here we construct another such class of planes, giving an $EGQ(q+1, q-1)$ denoted $Y_q(K)$, $K$ a $(q+1)$-arc of $PG(3,q)$. In general $Y_q(O^*) \not\cong Y_q(K)$. Starting from a particular set of $q+3$ planes, this time in $PG(4,q)$, $q$ even, we construct an $EGQ(q+1, q-1)$. We show that two such classes of $EGQ(q+1, q-1)$ arise as $q$-fold quotients of $Y_q(O^*)$ and $Y_q(K)$. In total we thus obtained 3 new infinite classes of $EGQ(q+1, q-1)$.

• Flock del cono quadrico
  Laura Bader -
  11 marzo 1998

  Si è discussa la costruzione dei flock del cono quadrico di $PG(3,q)$ e delle geometrie associate (piani di traslazione, BLT-sets, quadrangoli generalizzati di elazione, herds di ovali), evidenziando i legami tra queste e caratterizzandone gli isomorfismi. Si sono elencate poi le generalizzazioni note, facendo un cenno dei risultati più significativi. Infine, si sono esaminate le classi dei ``semifield flocks'' e dei ``likeable flocks'', elencando i risultati e le classificazioni note.

• Curve massimali
  J.W.P. Hirschfeld -
  25 marzo 1998

  Una curva massimale è una curva algebrica sopra un campo finito $GF(q)$ tale che il numero dei punti razionali su un modello non singolare è $N=q+1+2g\sqrt q$, dove $g$ è il genere. Si presenta una rassegna dei risultati noti e si descrive un teorema che caratterizza le curve massimali con un modello non singolare nel piano di grado $\frac 1 2(\sqrt q+1)$ come una curva di Fermat. Questo lavoro è fatto con Cossidente, Korchmáros e Torres.

• Blocking configurations in projective spaces and in polar spaces
  Klaus Metsch -
  8 aprile 1998

  The subject of the talk is the following problem:

  given a projective (or polar) space of dimension $d$ and integers $0 \leq t,s \leq d$, what is the smallest size of a set $T$ of $t$-subspaces such that every $s$-subspace is incident with an element of $T$.

  Many known results will be presented (like the Theorem of Bose and Burton). Then some recent results we presented. One is the solution of the case $t=1,\ d=2s \geq 4$ in projective space (with J. Eisfeld). In the polar space I can solve the problem for $t=0,\ s=1$ (blocking lines by points) except for the symplectic polar spaces $\omega (2n+1,q)$, $q$ odd. I also can solve the problem $t=0,\ 0 \leq s \leq d$ for the elliptic quadric $O^-(2n+1,q)$. The result covers in particular the following theorem:

  in $O^+(2n+1,q)$ at least $q^{n+1} + q^{n-1}$ points are necessary to block all maximal singular subspaces.

  All minimum examples can be classified.

• Partial spreads and exterior sets revisited
  Klaus Metsch -
  29 aprile 1998

  In this talk I will report on the problem of extending partial spreads of $PG(3,q)$ to spreads. Recent progress of L. Storme and myself will be presented. Also the problem of maximal partial line spreads and line coverings in $PG(d,q)$, $d$ even, will be considered. The second part of the talk presents old and new (very recent) results on the maximal size of exterior sets in finite hyperbolic quadrics.

• Unitals and Baer Structures
  Christine M. O'Keefe - University of Adelaide
  27 maggio 1998

  Both unitals and Baer subplanes are sets of points in $PG(2,q^2)$ which are met by any line in either 1 or $q+1$ points. In this talk I will survey the results which characterize the classical and Buekenhout-Metz unitals in terms of Baer sublines, and discuss the previously known results about the possible sizes of the intersection of a Baer subplane with such a unital.
  I will outline the proof of the recent result (obtained jointly with Sue Barwick and Leo Storme) which characterizes the classical and the Buekenhout-Metz unitals in terms of the size of their intersection with certain Baer subplanes.

• Baer partitions of projective planes
  Nicholas Hamilton - University of Queensland
  21 maggio 1998

  A Baer partition of a projective plane of order $q^2$ is a collection of Baer subplanes such that every point of the plane is contained in a unique element of the collection. Results classifying all Baer partitions of translation planes of order 9, 16 and 25 are presented. In particular new partitions of Desarguesian projective planes of orders 16 and 25 are given. Non-Desarguesian translation planes of orders 9, 16 and 25 are shown not to exist. Finally the structure of one of the non-classical examples in $PG(2,16)$ in examined and a conjecture made about the existence of a class on non-classical examples in even (square) order planes.

ANNO ACCADEMICO 1998-99

• A signature theorem for uniform oriented matroids
  T. Bisztriczky - University of Calgary
  7 ottobre 1998

  The Signature Lemma of Cordovil and Duchet states that if $M = (E,\cal C)$ is a uniform oriented matroid of rank $r$ on an $n$-element set $E = \{e_1,e_2,...,e_n\}$ endowed with the linear order $e_1 < e_2 < \dots < e_n$ and of each $C \in \cal C$ has the property

  $(S)$      $\{e_i,e_{i+1}\} \subset \underline C \Rightarrow sg_C(e_{i+1}) = - sg_C(e_i)$

  then $M$ is an alternating matroid on $E$. In the Signature Theorem, it is shown that if each $C \in \cal C$ has the property

  $(S)_k$      $\{ e_i, \dots, e_{i+k-1} \} \subset \underline C \Rightarrow sg_C(e_{i+1}) = (-1)^j sg_C(e_i)$
  for $j=1, \dots , k-1$ where $k = [\frac{r+3}{2}]$,

  then $M$ is alternating in $E$.

• Tre belle applicazioni della formula di Eulero
  Martin Aigner -
  7 ottobre 1998

  Paul Erdös parlava spesso del libro in cui Dio teneva le dimostrazioni perfette dei teoremi matematici. Si presentano tre esempi di tali dimostrazioni, tutte e tre conseguenza della formula di Eulero: 1) il teorema di Sylvester-Gallai, 2) il ``crossing lemma'', 3) il teorema di Pick.

• La congettura di Borsuk
  Martin Aigner -
  21 ottobre 1998

  Nel '33 Borsuk poneva il problema: sia $S \subseteq \Re^d$ con $diam(S)>0$ finito. Allora, $S$ può essere decomposto in al massimo $d+1$ sottoinsiemi di diametro minore di quello di $S$. La congettura è stata risolta nel '93 da Kahn e Kalai in un modo spettacolare quando dimostrarono che ci sono insiemi $S$ di cui ogni partizione ammissibile contiene una quantità di ordine esponenziale di parti. Si presenta una modificazione di una dimostrazione di questo risultato dovuta a Noga Alon.

• Skew orthogonal triple systems
  Eric Mendelsohn - University of Toronto (Canada)
  21 ottobre 1998

  The relationship between orthogonal triple systems and Room squares is well known. The problem of the spectrum of orthogonal Latin squares is quite difficult and was only solved recently. We give a relationship between a new object skew orthogonal triple systems and skew Room squares. This simple extra condition on orthogonal triple systems makes for a much various object. We get some partial existence results (approx 11,000) possible exceptions. We also give forbidden subgraph characterization of skew orthogonal triple systems.

• Alcune dimostrazioni del metodo ``contare in due modi''
  Martin Aigner -
  4 novembre 1998

  Presentiamo tre esempi nell'ambito della teoria dei numeri, della combinatoria enumerativa e topologia per illustrare la forza del metodo ``contare in due modi''. Gli esempi sono: il numero medio dei divisori, la formula di Cayley sul numero degli alberi (la nuova dimostrazione dovuta a Pitman) e il famoso lemma di Sperner da cui si può dedurre il teorema del punto fisso.

• Il problema di Dinitz
  Martin Aigner -
  11 novembre 1998

  Supposto che per ogni casella $(i,j)$ di un quadrato di tipo $n \times n$, c'è un insieme $C(i,j)$ di $n$ colori. Allora, possiamo colorare il quadrato in modo tale che ogni casella è colorata con un colore della sua propria lista, e tale che i colori sono diversi in ogni riga e colonna. Presentiamo la dimostrazione meravigliosa di Fred Galvin che consiste in una combinazione di due risultati ben conosciuti nell'ambito della teoria dei giochi.

• Il problema dei quattro colori dal punto di vista della geometria
  Martin Aigner -
  25 novembre 1998

  Discutiamo tre descrizioni di certe classi di grafi. (1) Una descrizione topologica (lineare, esterno planare, planare), (2) una descrizione mediante il concetto di un minore (ostruzioni), (3) il nuovo parametro di Colin de Verdière $\mu$ che fornisce una descrizione geometrica. Discutiamo anche la prossima classe (i grafi che sono immergibili nello spazio $\mathbb{R}^3$ senza concatenazioni) caratterizzata da $\mu \leq 4$, la congettura di Hadwiger e la connessione tra il numero di Hadwiger e il numero cromatico $\chi$. Finalmente, presentiamo la congettura: $\chi(G) \leq \mu(G)+1$ che è più debole della congettura di Hadwiger ma della quale il teorema dei quattro colori sarebbe una conseguenza.

• Le tre dimostrazioni preferite di Erdös
  Martin Aigner -
  2 dicembre 1998

  Discutiamo le tre prime dimostrazioni proposte da Erdös per il libro: il teorema di Sylvester-Gallai, (2) il teorema di Erdös-Ko-Rado, (3) il problema dei simplessi nello spazio $d$-dimensionale che si toccano a due a due. Finalmente, presentiamo una dimostrazione bellissima dovuta a Erdös del teorema di Eulero che la serie $\sum {\frac{1}{p}}$ dei reciproci dei primi diverge.

• Goppa Codes and Weierstrass Semigroups
  Fernando Torres -
  17 febbraio 1999

  I discuss properties of Goppa Codes defined by divisors $D=P_1+ ... +P_n$ and $G=lQ$. In particular I study way of improvement the minimum distance $d$ via the structure of the Weierstrass Semigroup at $Q$.

• Lagrange Inversion Revisited
  L. Bruce Richmond -
  17 febbraio 1999

  A generalization of Lagrange's inversion formula is given for functions of $d$ variables that does not involve a determinant. If was discussed why this version is better than Good's formula for asymptotic enumeration purposes, but has no advantage as an exact formula.

• Decomposing Difference Sets
  Dieter Jungnickel -
  10 marzo 1999

  We re-examine an old construction of difference sets due to Gordon, Mills and Welch: which combines a difference set in a group $N$ with a relative difference set in a group $G$ containing $N$ as a normal subgroup to produce a difference set in $G$. We characterize such ``decomposable'' difference sets by the fact that their associated symmetric designs admit a nice partition into subdesigns. This is also related to generalized balanced weighing matrices, and we describe a new construction for such indices.

• Switching partial geometries
  Frank De Clerck - University of Ghent, Belgium
  14 aprile 1999

  Partial geometries with the same parameters as the ``classical'' model $PQ^+(4n-1,2)$ (constructed by F. De Clerck, R. Dye and J.A. Thas) can be constructed by replacing spreads. This construction can be also interpreted in graph theoretical terms and it turns out that replacing spreads is most of the time nothing else then switching (see Seidel) the underlying strongly regular point graph. As a by product of this theory we find set of points in $PG(4n-1,2)$ that have the same intersection numbers with respect to hyperplanes as the hyperbolic quadric. We call these sets ``near quadrics''.

• Geometria delle matrici hermitiane su campi di Galois
  Alessandro Siciliano - Università di Napoli ``Federico II''
  28 aprile 1999

  Si presenta la varietà $H$ che nasce dal sistema lineare delle varietà hermitiane del piano proiettivo $PG(2,q^2)$ su $GF(q^2)$. Alcune proprietà geometriche di tale varietà sono date. Tra le altre:
  1)     $H$ è una $q^4+q^2+1$-calotta di $PG(8,q)$;
  2)     il gruppo delle proiettività di $PG(8,q)$ che fissano $H$ è isomorfo a $PGL(3,q^2)$.

• Hypercubes and weighted voting systems (joint work of P.V. Ceccherini and I. Havel)
  Ivan Havel - Math. Institute, Acad. of Sci. of the Czech Rep.
  28 aprile 1999

  We are dealing with the graph $Q_n$ of an $n$-dimensional hypercube from the point of view of a behavioral application of it: we study structural properties of the s.c. weighted voting systems.
  The vertices of $Q_n$ correspond to all possible coalitions and those edges are interesting that join losing coalitions with winning ones.
  Our study leads to the concept of a $01$ selfcomplementary cut of $Q_n$, i.e. of such a set of edges that is close under complementation and that shares exactly one edge with every $01$ geodesic. A characterization is given.

• Teoria degli Spazi di Intorni
  Carlo Bernasconi - Università di Perugia
  19 maggio 1999

  I $V$-spazi, o spazi di intorni, rappresentano un metodo generale di dotare ogni insieme, finito o infinito, di una struttura con connotazione geometrica e topologica.
  Nei $V$-spazi, a partire dalla nozione basilare di intorno dei punti, vengono via via definiti i concetti di chiusura, densità, connessione, $V$-spazio duale, sottospazi di restrizione e contrazione, continuità. Si danno esempi di interpretazione di geometrie finite in chiave topologica.
  La generalità e l'interesse della nozione di $V$-spazio è testimoniata dalla classificazione di Geometrie, Grafi e Spazi topologici come casi speciali di $V$-spazi, con reciproche interrelazioni. E' anche possibile considerare tra i $V$-spazi altre strutture con notevoli proprietà geometriche e topologiche.

ANNO ACCADEMICO 1999-2000

• Gray Codes and Edge Disjoint Cycles in Torus
  Bella Bose - Oregon State University
  24 novembre 1999

  Many commercial parallel systems have been built with torus as the processor interconnection topology. Lee distance is an appropriate metric useful to describe the interconnection topology of these toroidal networks. Many topological properties of these networks can be developed based on Lee distance. In this talk, we concentrate on edge disjoint Hamiltonian cycles. First, we present our results on Lee distance Gray codes and then show how these codes can be used to generate edge disjoint Hamiltonian cycles in torus. These results are also extended to hypercubes.
  We also describe methods of generating edge disjoint Hamiltonian cycles in de Bruijn networks.

• Posti, rami e punti razionali di curve algebriche sopra campi finiti I
  Alessandro Siciliano - Università di Napoli ``Federico I''
  1 dicembre 1999

  Sia $\chi$ una curva algebrica non singolare definita sul campo finito ${\mathbb{F}}_q$ con $q$ elementi. Sia $\overline{{\mathbb{F}}_q}(x)$ il campo delle funzioni razionali su $\chi$. Sia $\mathcal{C}$ un modello piano (anche singolare) di $\overline{{\mathbb{F}}_q}(x)$. In modo elementare si possono definire posti razionali di $\overline{{\mathbb{F}}_q}(x)$, rispetto al morfismo di Frobenius, in termini di serie formali di potenze e rami della curva $\mathcal{C}$.

• Posti, rami e punti razionali di curve algebriche sopra campi finiti II
  Alessandro Siciliano - Università di Napoli ``Federico II''
  15 dicembre 1999

  Sia $\Sigma$ un campo con grado di trascendenza 1 e sia $\mathcal{C}$ un modello piano di $\Sigma$. Usando la nozione di ramo si possono provare i teoremi fondamentali della geometria algebrica delle curve; il Teorema di Riemann-Roch, il Teorema dei Residui di un differenziale.
  Inoltre se $D$ è un divisore su $\mathcal{C}$ razionale rispetto al morfismo di Frobenius con deg($D$) sufficentemente grande, è possibile costruire un modello $\tilde{\chi}$ di $\Sigma$ non singolare definito ancora su ${\mathbb{F}}_q$.

• Notes on Goppa Codes
  Fernando Torres -
  19 gennaio 2000

  I started a series of 3 talks concerning topics on Goppa Codes. I start by recalling basic facts on linear codes. Then I introduce the terminology for the study of Goppa Codes. Then I plan to study some properties of such codes and then restrict myself to one-point Goppa Codes.

• Notes on Goppa Codes II
  Fernando Torres -
  26 gennaio 2000

  In this lecture I showed the main dimension and distance properties of Goppa Codes. I discussed Weierstrass semigroups and started the study of so called Hermitian Codes.

• Notes on Goppa Codes III
  Fernando Torres -
  11 febbraio 2000

  I finished the study of the dimension and minimum distance of Hermitian Codes. I discuss one-point Goppa Codes as well as improved Goppa Codes.

• Calotte in varietà classiche e loro proiezioni
  Antonio Cossidente -
  16 febbraio 2000

  Utilizzando la seconda potenza esterna di un ciclo di Singer di $PG(5,q)$ è possibile costruire calotte di cardinalità $q^5 + \dots + q + 1$ immerse nella grassmanniana delle rette di $PG(5,q)$. Tali calotte sono state scoperte inizialmente nel 1997 da G.L. Ebert, K. Metsch e T. Szönyi.
  È possibile proiettare queste calotte in sottospazi 8-dimensionali, ottenendo ancora calotte, in due modi possibili.
  La prima proiezione, è la cosidetta Veronesiana Hermitiana, ossia l'immersione di $PG(2,q^2)$ rispetto al sistema lineare completo delle varietà hermitiane di $PG(2,q^2)$.
  La seconda proiezione è una calotta, sempre di cardinalità $q^5 + \dots + q + 1$, che per $q$ dispari risulta completa.

• Secret and Public Key cryptosystems from finite groups
  Spyros Magliveras -
  23 febbraio 2000

  In this talk I discussed principles on which one can build both symmetric and non-symmetric cryptosystems based on certain objects called logarithmic signatures for finite groups. ``Tame'' logarithmic signatures are sequences $(A_1,...,A_r)$ of sequences of group elements such that $\bar {A_1} \cdot \bar{A_2} \dots \bar{A_r} = \sum_{g \in G} g \in \mathbb{Z} G$, where $\bar{A_i} = \sum_{j=1}^{s_i}x_j$ if $A_i = (x_1,...,x_{s_i})$. In addition, the term ``tame'' implies that if $g \in G$ the unique factorization $g = x_1 \cdot x_2 \dots x_r$ ( $x_i \in A_i$), can be obtained by a polynomial time algorithm in $N$, where $\vert G\vert=\lfloor n \log n \rfloor$. A logarithmic signature $(A_1,...,A_r)$ is ``wild'' if the above factorization can not be obtained in time polynomial in $N$. One way functions can be obtained by composing objects which are wild with objects which are tame. More precisely, every logarithmic signature $\alpha$ induces a bijection $\hat {\alpha}: \mathbb{Z}_{\vert G\vert}\longrightarrow G$. If $\alpha$ and $\beta$ are two logarithmic signatures with $\alpha$ wild and $\beta$ tame, then $\hat{\alpha} {\hat{\beta}}^{-1}: \mathbb{Z}_{\vert G\vert}\longrightarrow \mathbb{Z}_{\vert G\vert}$ is a one way function. One family of tame logarithmic signatures is the family of ``transversal'' ones. If $\alpha$ and $\beta$ are transversal logarithmic signatures, then $\hat{\alpha} {\hat{\beta}}^{-1}$ is a permutation in ${\mathbb{S}}_{\vert G\vert}$, and ${\cal T}_G$ is the collection of all such permutations (with $\alpha, \beta$ both transversal). We show that $\langle {\cal T}_G \rangle = {\mathbb{S}}_{\vert G\vert}$ in almost all cases, and therefore, permutations $\hat{\alpha} {\hat{\beta}}^{-1}$ with $\alpha$ transversal and $\beta$ wild can be written as the composition of objects in ${\cal T}_G$. This can be used to create a new public key cryptosystem.

• The geometry over Rings with Invariant Basis Property
  Sandro Lashkhi -
  1 marzo 2000

  A free module over a ring $R$ is said to be of rank n (or dim $n$) if it has a basis of cardinality $n$. The rank is not unique (P. Cohn, Topology, V.5, 1966), thus one is led to consider the following successively strong property of a ring $R$ ($\neq 0$).

  C.     A free $R$-module of any rank $n$ cannot be generated by less than $n$ elements.
  The class of rings satisfying the property $C$ will be denoted by [IN].
  Affine space Aff($_RM$) of a free module $_RM$ is the set of all unimodular elements. The element $e \in _RM$ is unimodular iff there exists a linear form $\mu : _RM \longrightarrow R$ such that $\mu(e) = 1$.

  Theorem (Fundamental Theorem of affine Geometry)     Let $_RM\ \&\ _{R_1}M_1$ be free modules, $R, R_1 \in$ [IN], dim$_RM$ = dim $_{R_1}M_1 \geq 2$. Let $\phi : {\rm Aff}(_RM) \longrightarrow {\rm Aff}(_{R_1}M_1)$ be a collineation which preserves parallelity, then there exists an isomorphism $\sigma : R \longrightarrow R_1$ such that for any unimodular element $e \in {\rm Aff}(_RM)$, $e = \sum a_i e_i$, where $e_1, \dots, e_n$ is a basis of $_RM$ we have

  $$\phi(e) = \sum \sigma(a_i)\phi(e_i).$$
  Grazie to Sig.na M.J. de Resmini.

• Flocks and hyperovals
  J.A. Thas -
  8 aprile 2000

  Each flock of a quadratic cone $K$ defines a generalized quadrangle, a translation plane and, for $q$ even, a set of hyperovals. Till now the relation between flocks and hyperovals was purely algebraic,. here we present a purely geometric construction of the hyperovals from the flock. Also, as a byproduct, it is shown that the GQ of Tits of order $q$, $q$ even, arising from flocks have spreads; $q^2$ lines of the spread are lines of $q$ quadratic cones. Further, some results on partial flocks are mentioned and topics for further research are explained.

• Sequences in finite groups
  P.A. Leonard - Arizona State University
  3 maggio 2000

  I present results concerning sequenceable groups , that is groups for which the elements can be listed as $g_0 = e, g_1, \dots g_{n-1}$ in such a way that the partial products $g_0, g_0g_1, g_0g_1g_2, \dots, g_0g_1g_2 \dots g_{n-1}$ are distinct, and also results about other kinds of sequences with combinatorial applications. In particular, Leonard and Wang have recently improved a result of Keedwell's about $R$-sequencings, and Wang (C-D Wang)has just obtained sequencings for a new class of groups of odd order, namely, groups of order $p^{n+2}$ ($p$ an odd prime) having a cyclic subgroup of order $p^{n+1}$.

• Hypergroups and graphs
  Ivo G. Rosenberg - Math. Stat., Université de Montréal, Canada
  10 maggio 2000

  This is a survey of some results connecting the two fields. We present results for hypergroups in which $x \circ y$ is the set of vertices on all geodesics from $x$ to $y$, on all non self-intersecting paths from $x$ to $y$. Then we mention results for directed graphs. Following the ideas of Chvalina we also define ${\mathbb{H}}_{\rho}$ ($\rho$ a binary relation on $H$) with $x \circ y = \{ z \in H \mid x \rho z \hbox{ or } y \rho z \}$. recent results of De Salvo and Lo Faro with $x \bullet y = \{ z \in H \mid x \rho z \hbox{ or } z \rho y \}$ are mentioned. Finally, there are the connections to fuzzy sets and semigroups and clones in universal algebra.

• Partizioni di Dyck, il reticolo di Young, ed i polinomi di Kazhdan-Lusztig
  Francesco Brenti - Università di Roma ``Tor Vergata''
  10 maggio 2000

  In questo seminario si sono introdotte e studiate una nuova classe di partizioni intere sghembe che sono strettamente legate ai cammini di Dick. Più precisamente si sono dati la definizione ed alcuni esempi, si è presentata una caratterizzazione combinatoria di questa classe di partizioni, e si sono studiate alcune funzioni generatrici secondo diverse statistiche. Infine si è spiegata la connessione tra questa classe di partizioni ed i polinomi parabolici massimali di Kazhdan-Lusztig per il gruppo simmetrico. Concludendo, si è posto il problema di sviluppare un concetto analogo per il gruppo di Weil affine di tipo $A$.