corso di Laurea in Informatica

Docente A. Davini
 
 

Numeri Reali

Insiemi numerici: i naturali, gli interi ed i razionali. I numeri reali, definizione di maggiorante, minorante, insieme limitato superiormente ed inferiormente. Definizione di estremo superiore ed inferiore, loro caratterizzazione. Definizione di massimo e di minimo. Proprietà di Archimede, densità dei numeri razionali nei numeri reali. Principio di induzione.

Funzioni reali di variabile reale

Definizione di funzione reale di variabile reale, disuguaglianza triangolare, funzioni iniettive, surgettive, composte, funzioni invertibili e loro inverse. Funzioni monotone, funzione esponenziale e logaritmica, funzioni trigonometriche e loro inverse.

Successioni

Definizione di successione reale e di limite, successioni convergenti e divergenti, successioni monotone, teorema di regolarità per le successioni monotone, operazioni con i limiti e forme indeterminate. Limiti notevoli, il numero di Nepero e come limite di (1+1/n)^n. Sottosuccessioni, enunciato del teorema di Bolzano-Weierstrass.

Limiti di funzioni e funzioni continue

Definizione di limite di funzione, limite sinistro e limite destro, limiti finiti ed infiniti. Relazioni tra i limiti di funzioni e i limiti di successioni. Operazioni con i limiti e proprieta' dei limiti. Limiti notevoli, confronti di infiniti e di infinitesimi. Funzioni continue. Continuita' delle funzioni composte, teorema della permanenza del segno, teorema di esistenza degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi. Proprieta' delle funzioni monotone e loro discontinuita'. Continuità delle funzioni  inverse.

Derivate ed applicazioni allo studio di funzioni

Definizione di derivata e significato geometrico, derivate delle funzioni elementari, regole di derivazione. Definizione di massimo e di minimo relativo, teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange , Cauchy e loro conseguenze. Teorema di derivazione delle funzioni inverse. Calcolo di massimi e minimi relativi ed assoluti di funzioni. Derivate successive: derivata seconda ed intervalli di convessità, concavità. Studio di funzioni e studio dei loro grafici. Teorema di de Hopital ed applicazione al calcolo dei limiti.

Serie numeriche

Serie numeriche, serie a termini non negativi; serie geometrica, serie armonica e serie telescopiche. Criteri di convergenza (Criterio del confronto e Criterio asintotico, Criterio della radice, Criterio del rapporto). Serie con termini a segni alterni e criterio di Leibnitz. Serie assolutamente convergenti.