I've been doing some research. In real life there is no algebra.
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I've been doing some research. In real life there is no algebra. |
| Programma di massima del corso: Aritmetica sugli interi ed aritmetica modulare. Elementi di teoria dei gruppi. Gruppi ciclici e loro sottogruppi, gruppi diedrali, gruppi simmetrici. Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. Gruppi abeliani finitamente generati e loro classificazione. Elementi di teoria degli anelli. Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica, interi di Gauss. Anelli di polinomi. Elementi di teoria dei campi. Campi algebricamente chiusi. Costruzioni con riga e compasso. |
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Lezioni:
martedì 14-16, mercoledì 16-18, giovedì 16-18 e venerdì 11-13 in Aula I.
Ricevimento studenti: martedì 11-13.
Testo consigliato:
Altri possibili testi di riferimento:
Per approfondire:
Per esagerare:
Lezione 1. Relazioni. Relazioni d'ordine e d'equivalenza. Classi di equivalenza ed insiemi quoziente. La proprietà universale del quoziente.
Lezione 2. Ancora sulla proprietà universale del quoziente. Quozienti ed applicazioni suriettive. L'anello commutativo Z dei numeri interi. Ideali di Z. La divisione col resto in Z (Z come anello euclideo). Z come anello a ideali principali. Z come dominio di integrità.
Lezione 3. Il massimo comun divisore e l'identità di Bézout. Ideali primi in Z e numeri primi. Elementi invertibili in Z. Elementi irriducibili in Z e ideali massimali. In Z irriducibili e primi coincidono.
Lezione 4. Esercizi.
Lezione 5. Z come dominio a fattorizzazione unica. La relazione di equivalenza indotta da un ideale. Gli insiemi quoziente
Z/(n) e le classi resto modulo n.
Lezione 6. Gli anelli Z/(n). Invertibili e divisori dello zero in Z/(n). Le classi resto modulo 10. Le classi resto modulo 9 e la prova del 9.
Lezione 7. L'isomorfismo Z/(mn)=Z/(m)⊕Z/(n) con m ed n coprimi. Il teorema cinese dei resti.
Lezione 8. Gli invertibili di Z/(mn) con m ed n coprimi. La funzione di Eulero. Il teorema di Eulero e il piccolo teorema di Fermat.
Lezione 9. La crittografia a chiave pubblica RSA. Il teorema di Wilson.
Lezione 10. Esercizi.
Lezione 11. I campi Fp. L'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in un campo. Divisioni col resto tra polinomi. Esercizi della terza settimana.
Lezione 12. Polinomi irriducibili. Campi ottenuti come quoziente di un anello di polinomi modulo l'ideale generato da un polinomio irriducibile. Il campo dei numeri complessi. Il campo Q(√ 2).
Lezione 13. Gruppi. Definizione e primi esempi. Il gruppo degli automorfismi di un insieme con struttura. Il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero, sua tabella moltiplicativa e sua presentazione con generatori e relazioni. Sottogruppi.
Lezione 14. Relazioni di equivalenza indotte da un sottogruppo. In un gruppo finito l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo. Sottogruppi generati da un elemento. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Omomorfismi ed isomorfismi di gruppi. Il teorema di omomorfismo. I gruppi ciclici.
Lezione 15. Sottogruppi e quozienti di (Z,+) e gruppi ciclici. Un gruppo di ordine primo è ciclico. I gruppi diedarli. Il gruppo di Klein.
Lezione 16. Azioni di un gruppo su un insieme e rappresentazioni. Orbite e stabilizzatori. La rappresentazione regolare e il teorema di Cayley. La rappresentazione aggiunta e il centro di un gruppo. Classi di coniugio e l'equazione delle classi. Esercizi della quarta settimana.
Lezione 17. Esercizi. Il lemma di Burnside.
Lezione 18. Il gruppo simmetrico. Scrittura di una permutazione come prodotto di cicli. Classi di coniugio nel gruppo simmetrico.
Lezione 19. Parità di una permutazione. Il gruppo alterno.
Lezione 20. Il gruppo alterno A4 e le simmetrie del tetraedro. Il gruppo alterno A5 e le simmetrie dell'icosaedro. Gruppi semplici e gruppi risolubili. Risolubilià di S2, S3 ed S4. Semplicità di A5 e non risolubilià di S5. Il teorema di Abel-Ruffini (senza dimostrazione). Esercizi della quinta settimana.
Lezione 21. Prodotti diretti e semidiretti. Esercizi della sesta settimana.
Lezione 22. Il teorema di Cauchy. Classificazione di tutti i gruppi finiti di ordine minore o uguale a 7.
Lezione 23. Presentazione di A4 con generatori e relazioni. L'unico gruppo di ordine 15 è il gruppo cicilico di ordine 15.
Lezione 24. p-gruppi e p-gruppi abeliani.
Lezione 25. Classificazione dei p-gruppi abeliani finiti. Classificazione dei gruppi abeliani finiti. Esercizi della settima settimana.
Lezione 26. Gruppi ciclici. Il gruppo moltiplicativo di un campo finito è' ciclico.
Lezione 27. Esercizi. Esercizi di preparazione al primo esonero.
Lezione 28. Esercizi di preparazione al primo esonero.
Lezioni 29 e 30. Prima prova di valutazione in itinere.
Lezione 31. Correzione degli esercizi della prima prova di valutazione in itinere.
Lezione 32. Anelli. Ideali. Anelli quoziente. Il campo dei quozienti di un dominio di integrità. Gli interi di Gauss.
Lezione 33. Ancora sugli anelli quoziente e ancora sugli interi di Gauss. Elementi irriducibili ed ideali primi in un dominio di integrità. Irriducibili e primi negli interi di Gauss.
Lezione 34. Ancora sugli irriducibili e primi negli interi di Gauss. Numeri primi di Z esprimibili come somma di due quadrati.
Lezione 35. Un esempio di dominio di integrità che non è a fattorizzazione unica: l'anello Z[√ -3]. Polinomi irriducibili in Q[x]. Il lemma di Gauss.
Lezione 36. Ancora sul lemma di Gauss. Il criterio di Eisenstein. I polinomi ciclotomici (prima parte).
Lezione 37. Radici dell'unità. I polinomi ciclotomici (seconda parte). Esercizi della nona settimana.
Lezione 38. Esercizi.
Lezione 39. Esercizi.
Lezione 40. Anelli con massimo comun divisore.
Lezione 41. Domini a fattorizzazione unica (prima parte)
Lezione 42. Domini a fattorizzazione unica (seconda parte). Se A è a fattorizzazione unica, allora anche A[x] lo è.
Lezione 43. Campi. Caratteristica di un campo. Estensioni di campi. Grado di un'estensione.
Lezione 44. Elementi algebrici ed elementi trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico. Esercizi dell'undicesima settimana.
Lezione 45. Estensioni generate da un sottoinsieme.
Lezione 46. Il teorema dell'elemento primitivo.
Lezione 47. Estensioni normali. Esistenza dei campi di spezzamento.
Lezione 48. Unicità dei campi di spezzamento. Esistenza e unicità dei campi finiti di ordine pn.
Lezione 49. Esercizi.
Lezione 50. Esercizi della dodicesima settimana.
Lezione 51. Gruppi di automorfismi di estensioni di campi. Il gruppo degli automorfismi di un campo finito.
Lezione 52. Esercizi della tredicesima settimana.
Testo del primo scritto (12 crediti), (9 crediti).
Testo e soluzioni del secondo scritto (12 crediti), (9 crediti).
Testo e soluzioni del terzo scritto (12 crediti), (9 crediti).
Testo del quarto scritto (12 crediti), (9 crediti).
Calendario degli orali
Tutti gli orali si terranno nel mio studio e cominceranno alle 11:00.
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