Geometria I, a.a. 2016/17



While a few pertinent points have to be marked, the general impression I desire to convey is of a side door crashing open in life's full flight, and a rush of roaring black time drowning with its whipping wind the cry of lone disaster.

Programma di massima del corso: Forme bilineari simmetriche ed antisimmetriche. Forme quadratiche. Diagonalizzazione di forme quadratiche. Forme quadratiche sui reali. Il teorema di Sylvester. Forme hermitiane. Matrici ortogonali, unitarie e simplettiche. Lo spazio proiettivo. Spazi metrici e spazi topologici. Applicazioni continue ed omeomorfismi. Prodotti e quozienti. Proprietà di separazione. Compattezza. Connessione e connessione per archi.


Testi consigliati:
  • Edoardo Sernesi: Geometria I .
  • Marco Manetti: Minitopologia.

  • Lezioni: Lunedì 14-16, martedì 14-16, venerdì 13-15 in Aula I.


    Lezione 1. La notazione di Einstein. Applicazioni bilineari. Forme bilineari. Forme bilineari simmetriche. Forme bilineari simmetriche non degeneri.

    Lezione 2. La rappresentazione matriciale delle applicazioni bilineari e delle forme bilineari. Forme bilineari simmetriche e matrici simmetriche. La nondegeneratezza di una forma bilineare in termini del determinante della matrice che la rappresenta. L'ortogonale di un sottoinsieme rispetto a una forma bilineare simmetrica. Esercizi.

    Lezione 3. Ortogonale e doppio ortogonale di un sottospazio rispetto a una forma bilineare simmetrica non degenere.

    Lezione 4. Forme quadratiche. Diagonalizzazione di forme quadratiche. Interpretazione geoemtrica del rango di una forma quadratica. Le forme quadratiche sul campo dei numeri complessi sono completamente classificate da dimensione e rango. La segnatura di una forma quadratica reale (prima parte).

    Lezione 5. Forme quadratiche definite positive e semidefinite positive (e negative). La segnatura di una forma quadratica reale (seconda parte). Il teorema di Sylvester.

    Lezione 6. Forme quadratiche definite positive e prodotti scalari. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz-Buniakowski.

    Lezione 7. Il teorema spettrale (per matrici simmetriche reali). La regola dei segni di Cartesio.

    Lezione 8. Esercizi.

    Lezione 9. Il Proiezioni ortogonali su sottospazi.

    Lezione 10. Il Proiezioni ortogonali su sottospazi.

    Lezione 11. Isometrie lineari e gruppo ortogonale. Il gruppo SO(2)

    Lezione 12. Attività didattica sospesa causa verifiche strutturali post sisma.

    Lezione 13. Il gruppo O(2). Riflessioni rispetto a sottospazi. La forma canonica degli elementi del gruppo ortogonale. Esercizi


    Lezione 15. Il gruppo unitario e il gruppo unitario speciale.I gruppi SO(n), U(n) e SU(n) come varietà differenziabili (cenni). Lo spazio tangenti nell'identità a SO(n).

    Lezione 16. L' esponenziale di matrici.

    Lezione 17. Esercizi di preparazione all'esonero

    Lezione 18. Esercizi di preparazione all'esonero

    Prima prova d'esonero: venerdì 18 novembre, ore 13:00, aula IV

    Testo e soluzioni della prima prova d'esonero (compito 1, gli altri sono analoghi)

    Lezione 19. Spazi proiettivi.

    Lezione 20. Ancora sugli spazi proiettivi. Esercizi

    Lezione 21. Dualità per gli spazi proiettivi.

    Lezione 22. Proiettività. Trasformazioni lineari fratte e birapporto. Il codice di Hamming.

    Lezione 23. Funzioni continue e sistemi di intorni.

    Lezione 24. Sistemi di intorni e aperti. Spazi topologici. La topologia banale.

    Lezione 25. Spazi di Hausdorff. Unicità del limite. La topologia discreta. Spazi connessi.

    Lezione 26. La topologia immagine inversa. La topologia di sottospazio. La topologia prodotto.

    Lezione 27. La topologia immagine diretta. La topologia quoziente. Omeomorfismi.

    Lezione 28. Ancora sugli omeomorfismi. Sottoinsiemi chiusi. parte interna, chiusura e frontiera. Ancora sugli spazi di Hausdorff.


    Lezione 29. Ancora su sottoinsiemi chiusi ed omeomorfismi.

    Lezione 30. Spazi topologici compatti.

    Lezione 31. Ancora sugli spazi topologici compatti. Esercizi di preparazione al secondo esonero

    Lezione 32. Spazi topologici connessi per archi.

    Lezione 33. Esercizi sugli spazi topologici e le applicazioni continue.

    Lezione 34. Seconda prova d'esonero. Testo e soluzioni



    Scritto del primo appello: venerdì 20 gennaio, ore 9:00, Aula I.

    Lezione 35. (prima lezione di recupero: lunedì 6 Febbraio, Aula V, ore 10:00) La forma canonica di Jordan.


    Lezione 35. (seconda lezione di recupero: lunedì 20 Febbraio, Aula V, ore 9:00) La forma canonica di Jordan (seconda parte). Appunti.