I tuoi occhi
saranno una vana parola,
un grido taciuto, un silenzio.
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I tuoi occhi saranno una vana parola, un grido taciuto, un silenzio. |
| Programma di massima del corso: Funzioni di una variabile complessa, condizioni di Cauchy-Riemann, teorema di Cauchy, serie di funzioni analitiche, serie di potenze, zeri, continuazione analitica, superfici di Riemann, serie di Laurent, singolarità, residui, mappe conformi, trasformate di Fourier, biolomorfismi del piano complesso, la retta proiettiva complessa e i suoi biolomorfismi, biolomorfismi del disco unitario. |
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Lezioni:
Martedì 11-13 in Aula III,
giovedì 11-13 in Aula V.
Ricevimento studenti: per appuntamento.
Testi consigliati:
Lezione 1. Il campo dei numeri complessi, i numeri complessi come spazio vettoriale complesso, successioni convergenti di numeri complessi, serie di numeri complessi. Serie assolutamente convergenti di numeri complessi.
Lezione 2. L'esponenziale complessa . Il differenziale di un'applicazione differenziabile da
C in C. Funzioni olomorfe ed
equazioni di Cauchy-Riemann.
Lezione 3. Derivate complesse. L'esponenziale complessa (seconda parte). Il logaritmo complesso . Esercizi.
Lezione 4. Il teorema del Dini olomorfo. Il logaritmo complesso (seconda parte). La radice quadrata come funzione olomorfa. Funzioni armoniche. Il problema di Dirichlet (enunciato). Le coniugate armoniche.
Lezione 5. forme differenziali, forme differenziali chiuse ed esatte, il teorema di Gauss-Green-Ostrogradsky-Kelvin-Stokes. Forme differenziali a valori complessi. La primitiva di una funzione olomorfa.
Lezione 6. Mappe conformi. La formula integrale di Cauchy
Lezione 7. Il teorema dei residui. La formula di Cauchy per le derivate. La stima di Cauchy per le derivate. Il teorema di Liouville. Il teorema fondamentale dell'algebra. Determinazione del numero di radici di un polinomio in una data regione. Un esempio di calcolo. Sviluppi in serie di potenze delle funzioni olomorfe.
Lezione 8. Ancora sugli sviluppi in serie di potenze delle funzioni olomorfe. Calcolo di integrali reali mediante il teorema dei residui.
Soluzione dell'esercizio assegnato a lezione.
Lezione 9.Ancora calcolo di integrali reali mediante il teorema dei residui. Sviluppi in serie di Laurent.
Lezione 10. Raggio di convergenza di una serie di potenze. Anello di convergenza di una serie di Laurent. Zeri di funzioni olomorfe. Zeri isolati.
Lezione 11. Ancora sugli zeri isolati. Il teorema di Rouché per funzioni olomorfe.
Lezione 12. Utilizzo del teorema di Rouché per stimare il raggio di un disco contenente tutte le radici di un polinomio a coefficienti complessi. Singolarità polari. Esercizi di preparazione al primo esonero.
Lezione 13. Singolarità essenziali. Il teorema di Casorati-Weierstrass-Sochocki
Lezione 14. Il principio del massimo modulo per le funzioni olomorfe e il principio del massimo per le funzioni armoniche. Il lemma di Schwarz. Biolomorfismi del piano complesso.
Lezione 15. Utilizzo del teorema dei residui per il calcolo di alcune trasformate di Fourier. Superfici di Riemann.
Lezione 16. Applicazioni olomorfe tra superfici di Riemann. La retta proiettiva complessa.
Lezione 17. Applicazioni olomorfe da aperti di C nella retta proiettiva complessa. Poli e singolarità essenziali dal punto di vista della retta proiettiva complessa. Un esercizio svolto sulle applicazioni olomorfe dalla retta proiettiva complessa in sé.
Lezione 18. Biolomorfismi della retta proiettiva complessa e trasformazioni lineari fratte.
Lezione 19. Il semipiano di Poincaré, il disco unitario e i loro biolomorfismi. Esercizi.
Lezione 20. Ancora sui biolomorfismi del disco unitario (note ed esercizi). La metrica iperbolica sul disco unitario (note). Il nucleo di Poisson. Esercizi di preparazione al secondo esonero.
Lezione 21.Il nucleo di Poisson (seconda parte). Esercizi.
Media dei voti degli esoneri e proposta di voto finale (aggiornata in seguito allo scritto del 24 giugno).. Gli studenti che debbano sostenere la prova orale sono pregati di contattarmi via email per concordare una data.
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