CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1

Prof. A. Garroni

PROGRAMMA E MODALITÀ D'ESAME

MODALITÀ D'ESAME

ESAME FINALE
L'esame è composto di una prova scritta e una prova orale:

• La prova scritta verterà su esercizi, anche teorici, su qualsiasi argomento che verrà svolto durante il corso ed è necessaria per ammissione all'orale (il voto dello scritto serve da ammissione e contribuisce alla valutazione, ma non fa media con l'orale).
• La prova orale può svolgere in un appello della stessa sessione in cui si è superata la prova scritta

Per poter accedere all'esame bisogna essere iscritto su infostud alla data di appello in cui si intende svolgere la prova scritta.

Date d'esame:

I appello: 17 giugno, ore 9.30
II appello: 15 luglio, ore 9.30
III appello: 12 settembre, ore 10.00, aula 3; orali: 26 settembre
IV appello: 25 settembre, ore 10.00, aula 3; orali 27 settembre


PROVE IN ITINERE 

Durante il corso ci saranno due prove in itinere (esoneri) riservate agli studenti che seguono il corso.

• Gli studenti che avranno superato le prove in itinere sono ammessi a sostenere la prova orale in uno degli appelli di giugno/luglio;

Date degli esoneri:

I esonero: 24 aprile ore 9.30, aula 3
II esonero: 7 giugno ore 14.00, aula 3


PROGRAMMA DEL CORSO

Quello che segue è il programma del corso in grandi linee del corso, che verrà aggiornato e modificato durante il corso. Ciò che è verrà svolto durante il corso si potrà trovare nel registro delle lezioni.

1. Elementi di spazi metrici e di topologia:
• Successioni di Cauchy in spazi metrici
• Completezza
• Definizione dei numeri reali come completamento dei razionali
• Altre definizione dei reali
• Topologia di Rⁿ 
• Compattezza
• Teorema di Bolzano Weierstrass
• Teorema di Heine Borel
2. Successioni e serie: 
• Successioni vettoriali (e complesse)
• Sottosuccessioni
• Classe limite
• Limsup e liminf
• Serie nei complessi
• Criteri di convergenza
• Convergenza assoluta
• Serie di potenze
• Teoremi di riordinamento
• Integrali impropri
• Criteri di convergenza per gli integrali impropri
3. Continutà:
• Funzioni tra spazi metrici: esempi
• Funzioni vettoriali, funzioni complesse, curve parametriche
• Limiti e continuità
• Teorema ponte
• Continuità e topologia
• Continuità e compattezza
• Insiemi connessi
• Continuità e connessione
• Continuità uniforme
• Teorema di Heine-Cantor
• Integrabilità delle funzioni continue
4. Successioni e serie di funzioni: 
• Convergenza puntuale: proprietà 
• Convergenza Uniforme di successioni di funzioni: proprietà e caratterizzazione
• Criterio di Cauchy
• Teorema di Ascoli-Arzelà
• Serie di funzioni: convergenza puntuale e uniforme
• Criterio di Cauchy e convergenza totale
• Serie di potenze complesse, Raggio di convergenza
• Criterio della radice e criterio del rapporto
• Serie di potenze reali, funzioni analitiche
• Teorema di Abel
• Serie di Taylor
• Serie di Fourier
• Esponenziale complesso
5. Equazioni differenziali: 
• Equazioni lineari del primo ordine
• Caratterizzazione dell'integrale generale di equazioni lineari
• Wronkiano e identità di Abel
• Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti
• Estensione alle equazioni di ordine n
• Teorema di esistenza e unicità
• Cenni su equazioni a variabili separabili
• Cenni sui sistemi differenziali