1. Cenni di teoria degli insiemi

Cenni di logica delle proposizioni. Gli insiemi: operazioni e relative proprietà (l'unione, l'intersezione, il prodotto cartesiano). Gli insiemi numerici. I naturali, gli interi, i razionali, i reali. Gli intervalli dell'asse reale. Coordinate cartesiane di punti del piano e dello spazio. Distanza tra due punti.

2. Algebra dei vettori

Vettori del piano e dello spazio: definizione e prime proprietà. Somma di due vettori del piano o dello spazio e prodotto per uno scalare: definizione e loro interpretazione geometrica e fisica.  Componenti di vettori del piano e dello spazio. Somma di vettori e prodotto di un vettore per uno scalare in termini delle loro coordinate. Combinazione lineare tra vettori. Dipendenza ed indipendenza lineare. Norma di un vettore: definizione e proprietà. Versori.  Prodotto scalare: definizione geometrica e proprietà. Caratterizzazione del prodotto scalare in termini delle componenti dei vettori. Ortogonalità. Prodotto vettoriale: definizione geometrica e sue proprietà.
 

3. Algebra lineare

Equazioni lineari. Sistemi lineari. Equivalenza di sistemi, matrici, equivalenza per righe di matrici. Matrici ridotte, matrici triangolari. Rango di una matrice. Compatibilità e incopatibilità di un sistema lineare. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Dimensione delle soluzioni di un sistema omogeneo. Discussione di sistemi dipendenti da parametri. Determinante di una matrice quadrata. Minori di una matrice. Definizione di rango usando i determinanti. Invarianza del determinante rispetto a operazioni tra righe e tra colonne. Il determinante di matrici triangolari.
Rango di una matrice e dipendenza e indipendenza lineare dei vettori righe e dei vettori colonna. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Le basi canoniche di E² ed E³.  Cambiamenti di riferimento.  Cambiamenti di coordinate nel piano e nello spazio. Cambiamenti di coordinate ortonormali (rotazioni e traslazioni). Prodotto tra matrici (righe per colonne). Notazioni matriciali per i cambiamenti di riferimento. Matrice del cambiamento di riferimento. Matrice trasposta, matrice identità e matrice inversa. Trasformazioni lineari (esempi: omotetie, rotazioni, trasformazioni diagonali). Autovalori e autovettori.
 

4. Geometria analitica del piano e dello spazio

Equazione cartesiana ed equazioni parametriche di una retta del piano. Vettore direzione di una retta: coefficiente angolare e parametri direttori. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra rette del piano. Individuazione dell'angolo tra due rette attraverso il prodotto scalare. Fascio di rette per un punto. Coniche: circonferenza, ellisse, iperbole e parabola. 

Equazione parametriche di una retta dello spazio. Equazione cartesiana di un piano, fasci di piani ed equazioni cartesiane della retta nello spazio. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra piani e rette.
 

5. Funzioni

Definizione di funzione e esempi. Funzioni reali di variabile reale. Dominio e immagine di una funzione. Il grafico. Monotonia e stretta monotonia di una funzione: crescenza e decrescenza. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi relativi e assoluti, cenni sull'estremo superiore e l'estremo inferiore. Funzioni composte. Funzioni iniettive. Funzioni inverse. Alcune funzioni elementari, grafico e loro proprietà: il modulo, le funzioni trigonometriche, potenze, esponenziali e logaritmi, il numero di Nepero. Grafici ottenuti "manipolando" le funzioni elementari (traslazioni, riflessioni e composizione di funzioni elementari). Funzioni pari e funzioni dispari. La composizione di funzioni monotone è monotona.
 

6. Elementi di Calcolo

Definizione di limite (al finito e all'infinito). Limite destro e sinistro. Criterio del confronto (con dimostrazione). Proprietà dei limiti: limite della somma, del prodotto e del rapporto. Forme indeterminate. Calcolo di alcuni limiti notevoli.

Funzioni continue: definizione e proprietà. Somma, prodotto e rapporto di funzioni continue. Composizione di funzioni continue e inverse di funzioni continue. Discontinuità di una funzione e loro classificazione. Teoremi sulle funzioni continue (loro interpretazione, esempi e controesempi, senza dimostrazione): di esistenza degli zeri.

Retta tangente al grafico in un punto. Definizione di derivata. Derivate di ordine superiore. Proprietà delle derivate. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. La derivata di una funzione composta e la derivata dell'inversa. Punti di non derivabilità (punti angolosi e cuspidi). La derivata in un punto di massimo o di minimo. Derivata e monotonia.  Uso delle derivate seconde per lo studio della concavità di una funzione.

Studio completo del grafico di una funzione.

Definizione di integrale definito e di funzione integrabile. Proprietà dell'integrale definito: additività rispetto all'intervallo, linearità, confronto tra integrali. Integrabilità delle funzioni continue. Funzioni primitive e integrali indefiniti. Caratterizzazione delle primitive di una funzione tramite la funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (con cenni di dimostrazione). Metodi di integrazione per parti e per sostituzione. Calcolo delle aree.
 

Modalità dell'esame
L'esame di Matematica si articolerà in una prova scritta e una prova orale. Durante il corso si svolgeranno due prove scritte valide come esonero dalla prova scritta finale. La prova orale vertera' su tutti gli argomenti in programma al livello di tettaglio con cui sono stati trattati a lezione.
 

Testi consigliati
G. Crasta e A. Malusa: Matematica 1, teoria ed esercizi.. Ed. Pitagora.
Altri testi consigliati
P. Marcellini, C. Sbordone: Calcolo, Ed. Liguori

Altro materiale
Durante il corso verranno distribuiti appunti (su argomenti non presenti nei testi consigliati) e fogli di esercizi dei quali si può richiedere direttamente copia al docente.
 

Il docente è in generale reperibile in studio al numero 06 49913278 e sempre contattabile per posta elettronica.
Indirizzo e-mail: garroni@mat.uniroma1.it

pagina web: http://www.mat.uniroma1.it/~ garroni

In questa pagina si possono trovare il materiale relativo al corso e eventuali avvisi per gli studenti.