| LEZIONE N. | ARGOMENTI DELLA LEZIONE | FONTI |
| Lezione 1 5 marzo 2012 |
Richiami: Estremo superiore, proprietà Archimedea, Assioma degli intervalli incapsulati. Definizione di campo ordinato. Definizione e esempi di Coppie di Classi Separate (CCS). Esempio della definizione dell'area di un insieme. Elementi separatori di CCS. Definizione di completezza con le CCS. Equivalenza tra l'assioma delle CCS e l'assioma dell'esistenza dell'estremo superiore. | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 2 7 marzo 2012 |
Insiemi induttivi. Definizione di N. Esempio di campo non archimedeo (per esercizio). Teorema: I campi ordinati completi sono archimedei. Completezza alla Cauchy: le successioni convergenti sono di Cauchy; le successioni di Cauchy in R sono convergenti. Un campo ordinato archimedeo in cui le successioni di Cauchy convergono è completo (per esercizio) | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina Giusti |
| Lezione 3 8 marzo 2012 |
Esempi
di
successioni osillanti con caratteri diversi. Definizione di limsup e di
liminf. Esistenza del limsup e e del liminf. Esempi. Da ogni
successione si può estrarre una sottosuccesione che converge
al
limsup (parzialmente per esercizio). Formulazioni equivalenti del
limsup e del liminf. Limsup e liminf sono il massimo e il minimo (in R*)
dell'insieme di tutti i limiti delle sottosuccesioni convergenti Cenni sul completamento alla Cantor dei razionali: construzione dei reali. |
Limsup-liminf: Qualsiasi testo di analisi 1 - Pagani Salsa - Giusti Completamento di Q: Giusti o Pagani-Salsa |
| Lezione 4 12 marzo 2012 |
Ricapitolazione:
completamento dei razionali con il metodo di Cantor. Conseguenze:
densità dei numeri razionali, identificazione degli
allineamenti decimali. Richiami veloci sugli spazi vettoriali di dimensione finita (avendo in mente R2): prodotto scalare, proprietà. Definizione di norma (norma euclidea). Distanza indotta da una norma. Definizione di distanza. Spazio metrico. Esempio della metrica discreta. Definizione di sfera e intorno sferico. Altri esempi di metriche in R2 (metrica d1 e d∞ da approfondire per esercizio). Il campo complesso. Introduzione delle operazioni di campo in R2. Unità immaginaria. Rappresentazione algebrica: parte reale e parte immaginaria. Identificazione dei reali come sottocampo dei complessi. Coniugato e modulo. |
Pagani-Salsa Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 5 14 marzo 2012 |
Rappresentazione polare
dei numeri complessi. Formula di Eulero. Interpretazione geometrica del
prodotto tra numeri complessi. Potenze di numeri complessi. Radici di
numeri complessi. Esempi. Elementi di topologia in uno spazio metrico (avendo in mente Rn, o meglio R, R2 e C). Definizione di punti interni, esterni e di frontiera per un insieme. Punti isolati e punti di accumulazione. Gli insiemi con punti di accumulazione sono infiniti. Derivato di un insieme e insiemi perfetti. Esempi. |
Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina Pagani-Salsa |
| Lezione 6 15 marzo 2012 |
Successioni in uno spazio metrico (esempi). Successioni convergenti in Rn . Equivalenza con la convergenza per componenti. Punti di accumulazione e successioni. Insiemi perfetti, derivato di un insieme, insiemi discreti (esempi). Aperti e chiusi (definizione e esempi). Chiusura e insiemi densi (densità degli irrazionale nei reali). Caratterizzazione dei chiusi. I perfetti sono chiusi, ma non e' vero il viceversa. Unione e intersezione di chiusi e aperti. Insiemi limitati. Introduzione alla compattezza. | Pagani-Salsa |
| Lezione 7 19 marzo 2012 |
Una successione
convergente è limitata. Teorema di Bolzano-Weierstrass
(dimostrazione in R2)
e applicazione alle successioni limitate. Ogni insieme chiuso
e limitato in R
ammette massimo e minimo. Esempio di uno spazio metrico e di una
successione limitata non convergente (non di Cauchy). Ricoprimenti di aperti. Definizione di insieme compatto, esempi. Compattezza sequenziale. Teorema di Heine-Borel. Dimostrazione in Rn che gli insiemi chiusi e limitati sono tutti e soli gli insiemi sequenzialmente compatti (assegnata per esercizio: da svolgere in gruppi da due/tre e consegnare lunedì 19 marzo) |
Pagani-Salsa |
| Lezione 8 21 marzo 2012 |
Dimostrazione del teorema di Heine Borel. Classe limite di una successione limitata. Cenni sulla definizione di classe limite nei reali estesi (R*). Esempi di successioni e relativa classe limite. Dimostrazione che ogni successione converge se e solo se tutte le sue sottosuccessioni convergono allo stesso limite. Chiusura della classe limite di una successione e conseguenze: esiste sempre una sottosuccessione che converge al limsup e una che converge al liminf. Esercizio: determinare la classe limite di sen n (con dimostrazione che {ein} è denso sulla circonferenza di raggio 1 del piano complesso). | Pagani-Salsa tranne l'ultimo esercizio |
| Lezione 9 22 marzo 2012 |
Caratterizzazioni del limsup e del liminf. Successioni di Cauchy in uno spazio metrico. Una successione di Cauchy e convergente. Completezza alla Cauchy in uno spazio metrico. Completezza di C e in Rn. Esempi di spazi metrici non completi: Qn, cenni di l2 . | Pagani-Salsa |
| Lezione 10 26 marzo 2012 |
Esercizi di ricapitolazione su: metriche, topologia in R e R2, successioni vettoriali e complesse. Esercizi sulla classe limite. Esempi di successioni definite per ricorrenza nel piano con applicazioni lineari (convergenti, limitate e illimitate). Legame con i sistemi dinamici discreti: esempio della successione ottenuta dal rapporto dei numeri di Fibonacci. Definizione di punto fisso. | Pagani-Salsa |
| Lezione 11 28 marzo 2012 |
Esempi di successioni per ricorrenza. Successioni definite per ricorrenza tramite funzioni monotone. Definizione di contrazione, esempi. Teorema delle contrazioni in spazi metrici completi. Cenni sul legame tra le successioni definite per ricorrenza e i frattali. | Bramanti-Pagani-Salsa Rudin (Teorema delle contrazioni) Se siete curiosi sulle successioni per ricorrenza leggete questo. |
| Lezione 12 29 marzo 2012 |
Definizione di somma di una serie (in campo reale e complesso). Carattere di una serie. Criterio di Cauchy per le serie. Condizione necessaria per la convergenza di una serie e' che il terminegenerico sia infinitesimo. Esempi. Serie armonica e serie armonica generalizzata (utilizzando stime integrali). Serie telescopiche. Serie geometrica nei reali e nei complessi, esempi. Esempi relative alla proprietà di associatività e commutatività delle somme infinite. Convergenza assoluta, esempi. Convergenza delle serie a segni alterni, e loro interrpretazione come parte reale di una serie complessa di termine generico an(i)n. Criterio di Leibniz (cenni di dimostrazione). Serie a termini non negativi. Criterio del confronto e criterio del confronto asintotico, esempi. | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 13 2 aprile 2012 |
Serie a termini positivi. Criterio della radice. Esempi. Generalizzazione con il limsup. Criterio del rapporto, osservazioni ed esempi. Esercizio da consegnare mercoledi' 11 sul confronto tra lim inf e lim sup del rapporto e la radine n-sima. Criteri di condensazione (cenni di dimostrazione di una implicazione, seconda implicazione data per esercizio). Criterio integrale. Esempi. Convergenza per esercizio della serie di termini generico ein/n. | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 14 4 aprile 2012 |
Le serie assolutamente convergenti sono convergenti semplicemenete. La convergenza assoluta e' equivalente alla convergenza della parte positiva e della parte negativa della serie. Linearita' delle serie. Introduzione alla questione della commutativita' delle somme infinite: permutazioni e riordinamenti. Il teorema di Riemann (prima parte): Per una serie convergente assolutamente ogni riordinamento converge alla stessa somma. Teorema di Riemann (seconda parte): per una serie convergente semplicemente ma non assolutamente si puo' ottenere qualsiasi comportamente (convergenza a un qualsiasi numero reale, divergenza, non convergenza) pur di riordinare i termini (cenni della dimostrazione). | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina Pagani Salsa per i dettagli sulla dimostrazione del teorema di riordinamento |
| Lezione 15 11 aprile 2012 |
Somma e prodotto di serie.
Enunciato del Teorema che assicura la convergenza della serie prodotto
di due serie convergenti se una delle due converge
assolutamente. Esempi: prodotto di due serie esponenziale; il prodotto
di due serie solo semplicemente convergente puo' non convergere. Integrali impropri: richiami sulla definizione di integrale di Riemann e sul teorema fondamentale del calcolo. Integrale improprio su [a, +∞) e integrali impropri di funzioni illimitate in (a,b]. Esempi: la funzione 1/xα; integrali divergenti, integrali oscillanti. Valore principale. |
Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 16 12 aprile 2012 |
Esercizi sugli integrali impropri. Criterio integrale per le serie, formulato usando l'integrale improprio. Integrale di funzioni positive. Teorema del confronto, esempi. Teorema del confronto asintotico, esempi e esercizi (integrabilità. Esempio di funzione positiva integrabile in senso improprio a +∞ non infinitesima. Funzioni di segno variabile, integrale assolutamente convergente. Teorema: la convergenza assoluta dell'integrale implica l'integrabilità impropria, esempi del fatto che il viceversa non e' vero (integrale di Dirichlet, integrale di Fresnel - per esercizio). | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 17 16 aprile 2012 |
La funzione Gamma. Esercizi sugli integrali impropri. Studi di funzioni integrali. Esercizi. | |
| Lezione 18 18 aprile 2012 |
Funzioni su spazi metrici. Funzioni da Rn in Rm, funzioni additive e omogenee, funzioni lineari e affini. Esempi di funzioni vettoriali di una variabile e loro interpretazione come parametrizzazioni di curve. Esempi di funzioni da da R2 in R. Funzioni complesse: esponenziale e logaritmo. Visualizzazione degli esempi con l'aiuto del computer. Definizione di limite per funzioni tra spazi metrici. Esempi di limiti per funzioni reali di due variabili. Teorema ponte per la caratterizzazione del limite attraverso il limite di successioni. | Pagani-Salsa o Rudin |
| Lezione 19 19 aprile 2012 |
Esercizi di ricapitolazione prima dell'esonero. | |
| Lezione 20 30 aprile 2012 |
Ricapitolazione sui limiti di funzioni tra spazi metrici (teorema ponte). Unicita' del limite. Operazioni con i limiti, composizione di funzioni continue. Limite di funzioni vettoriali. Definizione di continuita': esempi. Continuita' e topologia. Topologia relativa in un sottoinsieme E di uno spazio metrico, esempi. | Pagani-Salsa e/o Rudin |
| Lezione 21 2 maggio 2012 |
Esempi di funzioni continue ed esercizi. Continuita' e topologia. Caratterizzazioni di continuità: la controimmagine di un aperto è aperta, di un chiuso è un chiuso (lasciato per esercizio). Esempi e esercizi: L'insieme degli zeri di una funzione continua è chiuso, due funzioni continue che coincidono su un denso concidono ovunque. Continuità e compattezza: L'immagine di compatti è compatta, esempi e contro esempi Teorema di Weierstrass (dimostrazione topologica e dimostrazione metrica). Esercizio di applicazione del teorema di Weierstrass. Generalizzazioni del teorema di Weierstrass: semicontinuità inferiore e superiore, coercività. | Pagani-Salsa e/o Rudin |
| Lezione 22 3 maggio 2012 |
Teorema sulla continuità della funzione inversa di una funzione continua biettiva da un compatto. Omeomorfismi. Ricapitolazione delle nozioni che si mantengono per omeomorfismi. Connessione: definizione di insiemi separati, definizione di connessi. Esempi. Connessione per spezzate, cenni sulla connessione per archi. Teorema che generalizza il teorema dei valori intermedi (l'immagine con una funzione continua di un connesso è un connesso). Esempio che la connessione dell'immagine non è una caratterizzazione delle funzioni continue. | Pagani-Salsa e/o Rudin |
| Lezione 23 7 maggio 2012 |
Ricapitolazione su continuità e connessione. Problema dell'estensione delle funzioni continue: esempio di estensione di funzioni lipschitziane. Definizione di funzione uniformemente continua in un insieme. Confronto tra continuità e uniforme continuità. Esempi di funzioni uniformemente continue (e quindi anche continue), esempi di funzioni continue ma non uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor sulle funzioni continue in un compatto. Esempi e controesempi. Estensione delle funzioni uniformemente continue (da consegnare lunedi' 14 per esercizio). | Pagani-Salsa e/o Rudin |
| Lezione 24 9 maggio 2012 |
Richiamo sull'estensione di funzioni
uniformemente continue (con riferimento alle funzioni di una variabile
reale). Integralibilità delle funzioni continue (come
applicazione del teorema di Heine-Cantor). Esercizi: le funzioni
uniformemente continue sono sub-lineari; date due funzioni continue
asintotiche all'infinito, una è uniformemente continua se e solo
se lo è l'altra. Successioni di funzioni: molti esempi. Convergenza puntuale. |
Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 25 10 maggio 2012 |
Proprietà che si mantengono con la convergenza puntuale: segno, monotonia, convessità. Proprietà che non si mantengono con la convergenza puntuale, esempi: limitatezza, continuità, integrabilità, integrabilità impropria, passaggio al limite sotto il segno di integrale, derivabilità. Esempi sul problema di invertire l'ordine con cui si fanno i limiti. Considerazioni sui difetti della convergenza puntuale. Convergenza uniforme. | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 26 14 maggio 2012 |
Convergenza uniforme: esempi e osservazioni. Caratterizzazione della convergenza uniforme con la distanza dell'estremo superiore: osservazioni e interpretazione. Esercizi. Criterio di Cauchy. Proprietà che si mantengono con la convergenza uniforme: limitatezza, continuita', integrabilità. | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 27 16 maggio 2012 |
Dimostrazione del teorema sulle proprietà della convergenza uniforme enunciato la lezione precedente: limitatezza, continuità e passaggio al limite sotto il segno di integrale. Esempi e controesempi. Osservazioni sull'uniforme continuità del limite. Osservazioni sul teorema di inversione dell'ordine dei limiti. Passaggio al limite nell'integrale improprio: controesempi. Enunciato del teorema di convergenza dominata: esempio (la derivata della funzione Gamma). | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 28 17 maggio 2012 |
Altri esempi di convergenza uniforme. Osservazioni sulla convergenza delle derivate. Convergenza uniforme delle successioni equilipschitziane che convergono uniformemente. Osservazioni sulla norma del sup nello spazio delle funzioni continuo in un intervallo chiuso e limitato. Teorema di Ascoli-Arzela': enunciato e cenni di dimostrazione (facoltativo). | Fusco, Marcellini, Sbordone o Rudin |
| Lezione 29 21 maggio 2012 |
Serie di funzioni. Primi esempi. La serie geometrica. Definizione di convergenza puntuale e uniforme di una serie. Esempi. Criterio di Cauchy per le serie. Richiamo della stabilita' della continuità, limitatezza e integrabilità delle serie rispetto alla convergenza uniforme. Definizione di convergenza totale | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 30 23 maggio 2012 |
Serie di funzioni: esempio della
serie geometrica di ragione x. Definizione di convergenza puntuale e
convergenza uniforme per le serie di funzioni. Criterio di Cauchy per
la convergenza puntuale e uniforme. Proprietà che si mantengono
grazie alla convergenza uniforme; continuità e
integrabilità (con passaggio della serie sotto il segno di
integrale). Derivazione termine a termine di una serie di funzioni
(condizioni sufficienti), esempio. Definizione di convergenza totale di
una serie di funzioni. La convergenza totale implica quella uniforme,
ma non è vero il viceversa (esempio). Esercizi sulla convergenza
totale. Assegnazione di tre esercizi (un po' teorici) da consegnare
svolti il 28 maggio in gruppi di almeno due persone. Serie di potenze nei complessi: definizione di convergenza totale e puntuale. Tre esempi. |
Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 31 24 maggio 2012 |
Risultati sulla convergenza e non
delle serie di potenze complesse. Definizione di raggio di convergenza.
Caratterizzazione del raggio di convergenza con il criterio della
radice. Criterio del rapporto. Esempi e esercizi. Esempi per illustrare
il comportamento al bordo dell'insieme di convergenza. Serie di potenze reali. Esempi. Teorema di convergenza delle serie di potenze reali, raggio di convergenza, continuità della somma. |
Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina |
| Lezione 32 28 maggio 2012 |
L'insieme di convergenza di una serie di potenze è sempre un intervallo. Esempio di una serie di funzioni il cui insieme di convergenza non è un intervallo. Osservazioni sul raggio di convergenza. Esempio di 1/(1+x2). Teorema sul raggio di convergenza della serie di potenze delle derivate. Conseguenza: le somme di serie di potenze sono funzioni C∞ nell'insieme di convergenza. Serie di Taylor di una funzione centrata in un punto. Funzioni analitiche. Esempio che mostra che non tutte le funzioniC ∞ sono analitiche. Analiticità dell'esponenziale, del coseno e del seno e relative serie di Taylor. Definizione di esponeziale complesso e formula di Eulero. | Appunti D'Ancona-Nesi-Mascia-Orsina e Fusco, Marcellini, Sbordone |
| Lezione 33 30 maggio 2012 |
Definizione di seno e coseno
complessi. Seno e coseno iperbolici, derivate e proprietà. Serie
di Taylor del logaritmo e dell'arcotangente. Esercizi. Introduzione alle equazioni differenziali. Vari esempi di diverso tipo: caduta di un grave, caenaria, crescita batterica, superfici minime,.... Soluzione dei primi tre esempi. Equazioni differenziali in generale. Equazioni di ordine n, equazioni in forma normale. Il primo esempio: la ricerca delle primitive. Definizione di soluzione e integrale generale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti: omogenee (per le equazioni lineari omogenee combinazione lineare di soluzioni è soluzione), costruzione dell'integrale generale. Problema di Cauchy. L'integrale generale è uno spazio vettoriale di dimensione 1. |
Parti scelte in Fusco, Marcellini, Sbordone |
| Lezione 34 31 maggio 2012 |
Equazioni lineari del primo
ordine non omogenee a coefficienti costanti. Osservazione che due
soluzioni differiscono sempre per una soluzione dell'omogenea
associata, l'integrale generale è uno spazio affine. Variazione
delle costanti (per esercizio). Soluzione particolare. Soluzione per le
equazioni del primo ordine lineari in generale. Esercizio (osservazioni
relativamente al dominio massimale in cui cercare le soluzioni). Equazioni lineari del secondo ordine: esempi (l'oscillatore armonico, l'oscillatore armonico smorzato). Riscrittura delle equazioni del secondo ordine il forma di un sistema di due equazioni del primo ordine (o come una equazione del primo ordine vettoriale). Equazioni lineari del secondo ordine omogenee. Struttura di spazio vettoriale delle soluzioni, dipendenza e indipendenza lineare. Il wronskiano. Caratterizzazione del wronskiano di una coppia di soluzioni. Identità di Abel. |
Parti scelte in Fusco, Marcellini, Sbordone |
| Lezione 35 1 giugno 2012 |
Teorema sulla caratterizzazione dello spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea, come spazio vettoriale. Esempio dell'oscillatore armonico. Enunciato del terorema di esistenza e unicita' delle soluzioni del problema di Cauchy (la dimostrazione è posticipata a un'altra lezione). Equazioni lineari a coefficienti costanti omogenee. Soluzioni complesse esponenziali. Polinomio caratteristico. Equazione caratteristico. Determinazione delle soluzioni indipendenti dell'equazione omogenee a partire dalle soluzione dell'equazione caratteristica. Il caso delle soluzioni reali distinte (con esempio), caso delle soluzioni complesse (esempio, oscillatore armonico smorzato). | Parti scelte in Fusco, Marcellini, Sbordone |
| Lezione 36 4 giugno 2012 |
Soluzioni dell'equazione omogenea, il caso di due soluzioni reali coincidenti dell'equazione caratteristica (esempio). Motivazione attraverso un argomento di continuità con il caso di due soluzioni distinte, motivazione usando la fattorizzazione dell'operatore integrale (esempio). Generalizzazione alle equazioni di ordine n. omogenee. Equazioni con termine forzante. Esempi. Struttura generale, l'integrale generale è uno spazio affine. Principio di sovrapposizione. Il caso del termine noto oscillante. | Parti scelte in Fusco, Marcellini, Sbordone |
| Lezione 37 6 giugno 2012 |
La risonanza. Metodo della "somiglianza" per tutti i termini noti che sono soluzioni di una qualche equazione differenziale a coefficienti costanti. Motivazioni attraverso la decomposizione degli operatori lineari a coefficienti costanti. Teorema (di Cauchy) di esistenza e unicità per le equazioni (sistemi) differenziali del primo ordine. Formulazione integrale. Prima parte della dimostrazione del teorema di Cauchy attraverso le approssimazioni successive. | Parti scelte in Fusco, Marcellini, Sbordone |
| Lezione 38 7 giugno 2012 |
Conclusione della dimostrazione del teorema di esistenza e unicità. Dimostrazione con il teorema delle contrazioni. Esempi di soluzioni non prolungabili. Applicazione del teorema al caso delle equazioni lineari. Enunciato del teorema di Peano per l'esistenza delle soluzioni. Esempio di non unicità. Alcuni esempi di equazioni a variabili separate. | Fusco, Marcellini, Sbordone |