Corso di Algebra Lineare 2017-18, Laurea Triennale in Matematica

I semestre

Testo di riferimento

Le lezioni seguono le seguenti dispense, disponibili anche in versione per tablet. È tuttavia utile per lo studente integrare il contenuto delle lezioni e delle dispense con un libro di testo di buona qualità, come ad esempio Geometria di Marco Abate oppure Geometria 1 di Edoardo Sernesi.

IMPORTANTE Affinché l'insegnamento di algebra lineare realizzi i propri obiettivi, la lettura di dispense o di testi scritti va affiancata e non sostituita, nemmeno parzialmente, alla frequenza delle lezioni da parte degli studenti.

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Diario delle lezioni

25-9-2017 (G2): Numeri naturali, interi, razionali (e reali): loro proprieta` Nozione di campo Q(\sqrt{2}), Q(\sqrt{p}) e estensioni quadratiche di Q Numeri complessi come estensione quadratica di R Coniugio, modulo, proprieta` del modulo Forma cartesiana e polare di un numero complesso, argomento Prodotto di numeri complessi in forma polare Un numero complesso non nullo ha n radici n-esime, radici dell'unita`. 

26-9-2017 (G4): esempio di campi finiti F_p - polinomi a coefficienti in un campo, operazioni, grado, elementi invertibili - funzioni polinomiali, radici, un polinomio di grado n ha al piu` n radici distinte* - principio di identita` dei polinomi su campi infiniti - polinomio p(x)=x^2+x in F_2[x] ha funzione polinomiale nulla (ho temporaneamente indicato con \tilde{p} la funzione polinomiale associata a p) - campo delle funzioni razionali K(x). 

28-9-2017 (M2): Esercizi svolti su numeri complessi. esercizi per casa (riconsegnare in forma scritta giovedì prossimo alle ore 9.00) 

2-10-2017 (G6): esempio di R^2: interpretazione degli elementi come vettori (spostamento) nel piano, somma di vettori, moltiplicazione per scalare - Spazi vettoriali numerici K^n su campo K, proprieta` (1-7) della somma e del prodotto per scalare - Definizione di spazio vettoriale V su un campo K, esempi: V=K^n su K, spazio vettoriale V={0} su K qualunque, spazi vettoriale V=C={numeri complessi} su K sottocampo di C, V=K^S con S insieme qualunque su K, V=K[X]={polinomi nella indeterminata X a coefficienti in K} su K, V=K[X]_{\leq d}={polinomi di K[X] di grado al piu` d} su K - Proprieta` elementari (8-13) degli spazi vettoriali. 

3-10-2017 (G8): prodotto di due spazi vettoriali (e analogo per un prodotto finito di spazi vettoriali), esempio: prodotto VxW di V=R[X] e W=R^2 - sottospazi vettoriali, esempi ({0} e V sottospazi di V; H_a={x in K^n|a_1 x_1+...+a_n x_n=0} sottospazio di V=K^n; U={f in K^S|f(s_0)=0} sottospazio di V=K^S per ogni s_0 in S; U={p in K[X]|p(a)=0} sottospazio di V=K[X] per ogni a in K; U=K[X]_{\leq d} sottospazio di V=K[X]; U=R sottospazio di V=C sul campo K=Q) - un sottospazio vettoriale e` uno spazio vettoriale con le operazioni indotte di somma e di prodotto per scalare - l'intersezione di due sottospazi vettoriali e` un sottospazio vettoriale; intersezione di una famiglia di sottospazi vettoriali U_i indicizzata da i in I - esempi: intersezione di H_a e H_b in V=K^n; intersezione di K[X]_{\leq 1} e di U={p in K[X]|p multiplo di X^4} dentro V=K[X] - controesempio: K=R, V=R^2, U_1={x_2=0}, U_2={x_1=0}, allora l'unione di U_1 e U_2 non e` chiusa per la somma e dunque non e` un sottospazio in V - somma U+W di due sottospazi vettoriali U,W di V; somma di un numero finito U_1,...,U_n di sottospazi vettoriali di V - la somma di sottospazi vettoriali e` un sottospazio vettoriale - esempi: somma di due sottospazi di dimensione 1 in R^2; somma di K[X]_{\leq 1} e di U={p in K[X]|p multiplo di X^4} dentro V=K[X] - un vettore in U_1+...+U_n si scrive in modo unico come u_1+...+u_n se e solo se 0_V si scrive in modo unico - definizione di somma diretta di sottospazi U_1,...U_n dentro V. 

5-10-2017 (M4): Esercizi svolti su numeri complessi e spazi vettoriali. esercizi per casa (riconsegnare in forma scritta giovedì prossimo alle ore 9.00) 

9-10-17 (M6): Span e chiusura lineare. Generatori di uno spazio vettoriale, spazi di dimensione finita ed infinita. K^n ha dimensione finita, K[x] ha dimensione infinita. Indipendenza lineare e lemma 4.5.3. 

10-10017 (M8): teorema di scambio ed applicazioni: uno spazio di dimensione finita ha sottospazi di dimensione finita. R ha dimensione infinita su Q. Basi, esistenza di basi. Due vasi hanno lo stesso numero di elementi. In uno spazio di dimensione n, ogni insieme di n generatori (oppure linearmante indipendenti) e' una base. 

5-10-2017 (M10): Esercizi svolti su spazi vettoriali, basi e dimensione esercizi per casa (riconsegnare in forma scritta giovedì prossimo alle ore 9.00)

16-10-2017 (G10): U,W sono in somma diretta se e solo se l'intersezione e` {0} - esistenza di un complementare di un sottospazio U dentro uno spazio vettoriale V di dimensione finita, dimensione del complementare, esempi di non-unicita` del complementare - formula di Grassmann - esempi in R^2, R^3, R^4 - esempio (importanza del campo base): dimensione di C^n come spazio vettoriale reale. 

17-10-2017 (G12): - Applicazioni lineari (omomorfismi), proprieta` f(0)=0 e f(-v)=-f(v) - Esempi: applicazione nulla, identita`, omotetie, K^n--->K proiezione sull'i-esima entrata, valutazione ev_a:K[X]---->K di un polinomio in a - Applicazioni lineari preservano le combinazioni lineari - Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive tra insiemi, immagine di un sottoinsieme tramite una applicazione, immagine di una applicazione, inversa di una applicazione biiettiva, esempi - L'inversa di un'applicazione lineare biiettiva e` lineare, isomorfismi, spazi vettoriali isomorfi - Composizione di applicazioni lineari e` lineare, composizione di isomorfismi e` un isomorfismo - Esempio: per un polivettore v=(v_1,...,v_n) in V^n, applicazione v:K^n--->V data da v(a_1,...,a_n)^T=a_1 v_1+...+a_n v_n; v suriettiva (risp. biiettiva, iniettiva) se e solo se (v_1,...,v_n) generatori (risp. base, linearmente indipendenti) - Applicazioni lineari iniettive (risp. suriettive, biiettive) mandano (v_1,...,v_n) linearmente indipendenti (risp. generatori, base) in (f(v_1),...,f(v_n)) linearmente indipendenti (risp. generatori, base) - Se un'applicazione lineare da V a W e` iniettiva (risp. suriettiva, biiettiva), allora dim(V)<=dim(w) (risp. dim(v)>=dim(W), dim(V)=dim(W)) - Nucleo di una applicazione lineare, immagine di un sottospazio tramite una applicazione lineare - Nucleo di una applicazione lineare e immagine di un sottospazio vettoriale sono sottospazi vettoriali 

19-10-2017 (M12): Esercizi svolti su spazi vettoriali, basi e dimensione esercizi per casa (riconsegnare in forma scritta giovedì prossimo alle ore 9.00) 

23-10-2017 (G14): - f lineare e` iniettiva se e solo se ker(f)={0} - teorema del rango (f:V--->W con dim(V) finita, allora dim(V)=dim(ker(f))+rg(f) ) - se V ha dim.finita e f:V-->V lineare, allora f iniettiva<=>f suriettiva<=>f biiettiva; controesempio per V=K[x] con f moltiplicazione per x, oppure con f derivata - un'applicazione lineare f:V-->W e` univocamente determinata dal suo comportamento su una base di V - struttura di spazio vettoriale su Hom(V,W) - spazio vettoriale M_{n,m}(K) delle matrici, moltiplicazione matrice per vettore, applicazione lineare L_A:K^m--->K^n associata alla matrice A, matrice M_f associata ad una applicazione lineare f:K^m--->K^n - Le applicazioni L:M_{n,m}(K)--->Hom(K^m,K^n) e M:Hom(K^m,K^n)--->M_{n,m}(K) sono lineari e sono una l'inversa dell'altra 

24-10-2017 (G16): - base canonica dello spazio delle matrici M_{n,m}(K), dimensione di Hom(K^m,K^n) - data base B=(v_1,..,v_m) di V, applicazione lineare \theta^B:K^m--->V che manda e_i in v_i, sua inversa \theta_B:V--->K^m "passaggio alle coordinate rispetto alla base B" (\theta_B(v)=coordinate di v rispetto alla base B) - Nomenclatura: "i-esima funzione coordinata" \theta_{B,i}:V--->K, "sistema di coordinate" (\theta_{B,1},...\theta_{B,m}) - Ad ogni base B corrisponde un passaggio alle coordinate \theta_B e ogni isomorfismo F:V--->K^m e` del tipo F=\theta_B per un'unica base B, Esempio - Iperpiani H in V come nuclei di applicazioni lineari non nulle \phi:V--->K, gli iperpiani hanno complementari di dimensione 1 (solo in un esempio); se dim(V)=n, allora un sottospazio W e` un iperpiano se e solo se dim(W)=n-1 - Data f:V-->W lineare, l'applicazione Hom(U,V)--->Hom(U,W) che manda g in fg e l'applicazione Hom(W,Z)--->Hom(V,Z) che manda h in hf sono lineari - Matrice \theta_C^B(f) associata ad f:V--->W lineare rispetto a basi B di V e C di W definita come la matrice associata all'applicazione lineare (\theta_C)f(\theta^B), esempio di calcolo di \theta_C^B(f) - Fissate B=(v_1,...,v_m) base di V e C=(w_1,,,.,w_n) base di W, l'applicazione \theta_C^B: Hom(V,W)---->M_{n,m}(K) e` un isomorfismo con inversa M_C^B: M_{n,m}(K)--->Hom(V,W) definita come M_C^B(A))(v_i):=\theta^C(A^i) [linearita` dimostrata, inversa lasciata come esercizio] 

26-10-2017 (M14): Esercizi svolti su applicazioni lineari esercizi per casa (riconsegnare in forma scritta giovedì prossimo alle ore 9.00) 

30-10-2017 (G18): - Trasposta di una matrice, matrici simmetriche e antisimmetriche - Basi "standard" del sottospazio delle matrici simmetriche S_n(K) e delle matrici antisimmetriche A_n(K) [nel caso di char(K) diversa da 2] - Matrici diagonali, base standard del sottospazio D_n(K) delle matrici diagonali - Traccia di una matrice quadrata, linearita` della traccia - Prodotto di matrici, relazione (L_A)(L_B)=L_{AB} - Associativita` della composizione di applicazioni tra insiemi - Associativita` del prodotto di matrici, matrice identita` I_n, potenza (intera non negativa) di una matrice quadrata - Tr(AB)=Tr(BA) - (AB)^T=(B^T)(A^T) - Esempi: matrici quadrate A,B con AB diverso da BA; matrice A quadrata, allora (A^k)(A^h)=(A^h)(A^k); matrice quadrata non nulla A con A^2=0 

2-11-2017 (M16): Esercizi svolti su applicazioni lineari esercizi per casa (riconsegnare in forma scritta giovedì prossimo alle ore 9.00) 

6-11-2017 (G20): - Le colonne di una matrice A generano se e solo se le righe di A sono linearmente indipendenti - Eliminando una colonna di A, il rango resta costante oppure cala di 1 - Rango di una matrice, il rango coincide con la dimensione massima di una sottomatrice quadrata invertibile, rg(A)=rg(A^T) - Matrici triangolari superiori, matrici triangolari superiori con elementi non nulli sulla diagonale sono invertibili - Matrici a scala, pivots, esempi - Per una matrice A a scala, r=rg(A)=#pivots=#righe non nulle; la sottomatrice rxr contenente i pivots e` invertibile; le colonne che contengono i pivots sono una base di Im(L_A) 

7-11-2017 (G22): Equazioni parametriche e base del nucleo di L_A con A matrice a scala, equazioni cartesiane per ker(L_A) - Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema lineare omogeneo preservano lo spazio delle soluzioni - Operazioni elementari sulle righe di una matrice preservano il nucleo, relazione di equivalenza per righe tra matrici - Eliminazione di Gauss: ogni matrice e` equivalente per righe ad una matrice a scala; riduzione a scala di Gauss-Jordan (anche se non l'ho chiamata cosi`) con tutti i pivots p_i=1 e nessun altro coefficiente non nullo nelle colonne con pivots - Se A e B sono equivalenti per righe, allora un insieme di colonne di B e` linearmente indipendente se e solo se il corrispondente insieme di colonne di A e` linearmente indipendente; le colonne di A corrispondenti a colonne di B con pivot danno una base dell'immagine di L_A - Sistemi lineari non omogenei, teorema di Rouche'-Capelli, esempio di sistema non omogeneo con parametro 

8-11-2017 (M18): Esercizi svolti su riduzione di Gauss e riduzione di Gauss-Jordan. Equazioni Cartesiana del sottospazio generato da un numero finito di vettori. Calcolo della matrice inversa mediante Gauss-Jordan. 

9-11-2017 (M20): Esercizi svolti su Calcolo della matrice inversa mediante Gauss-Jordan. Caratterizzazione delle matrici triangolari invertibili, inversa di triangolare è ancora triangolare. Inversa destra/sinistra di applicazioni surgettive/iniettive. 

13-11-2017, ore 9-11 (G24) e 11-13 (M22) : Prova in itinere

16-11-2017 (M24): Esercizi svolti su applicazioni lineari. 

21-11-2017 (M26): introduzione al determinante, il caso 2x2. Calcolo del determinante conlo sviluppo rispetto alla prima riga. Il determinante è multilineare alternante rispetto alle colonne. Prime proprietà delle funzioni multilineari alternanti. 

23-11-2017 (G26): Cambiamenti di base \theta^B_{B'}(id_V) per le coordinate di un vettore di V dove B=(v_1,...,v_n) e B'=(v'_1,...,v'_n), ossia \theta^B_{B'}\theta_B(v)=\theta_{B'}(v); esempio per V=K[t]_{\leq 2} - Matrice che rappresenta la composizione di due applicazioni lineari \theta^B_D(gf)=\theta^C_D(g)\theta^B_C(f) - Invertibilita` delle matrici di cambiamento di base \theta^B_{B'}(id_V)=\theta^{B'}_B(id_V)^{-1}, composizione di cambiamenti di base \theta^{B'}_{B''}(id_V)\theta^B_{B'}(id_V)=\theta^B_{B''}(id_V) - Cambiamenti di base nel caso dello spazio vettoriale V=K^m, ossia \theta^B_E(id)=(v_1|v_2|...|v_n) con E=base canonica - Cambiamenti di base per le matrici che rappresentano applicazioni lineari f:V-->W, ossia \theta^{B'}_{C'}(f)=\theta^{B'}_B(id_V)\theta^B_C(f)\theta^C_{C'}(id_W) - Cambiamenti di base per endomorfismi (rispetto alla stessa base in partenza e in arrivo) - Relazione di equivalenza di similitudine tra matrici quadrate di ordine m - Esempio di calcolo di un determinante 4x4 con l'espansione di Laplace rispetto alla prima riga, oppure usando le operazioni elementari sulle colonne 

Esercizi per casa del 23 novembre 

27-11-2017 (M28): ulteriori proprietà delle funzioni multilineaari alternanti: invarianza per somma ad una colonna di combinazioni lineari di altre colonne. Brevi cenni di calcolo combinatorio, fattoriale e coefficienti binomiali. Numero di applicazioni iniettive tra due insiemi finiti e numero di sottoinsiemi di m elementi in un insieme fissato di n elementi. Permutazioni e segnatura (definizione mediante determinante). Trasposizioni, ogni permutazione è prodotto di trasposizioni, la segnatura dipende dalla parità del numero di trasposizioni. 

28-11-17 (M30): Unicitˆ del determinante, teorema di Binet, determinante della trasposta, sviluppi di Laplace rispetto ad una qualunque riga e/o colonna.

Esercizi per casa del 30 novembre 

4-12-17 (ore 11-13) (M32): Teorema di Cramer, determinante di Vandermonde, determinante di matrici triangolai a blocchi, matrice dei cofattori e calcolo della matrice inversa mediante cofattori. Esercizio: determinante della matrice dei cofattori. Comportamento del determinante rispetto alle operazioni elementari sulle righe. 

5-12-17 (M34): Matrici simili e polinomio caratteristico. Invarianza del polinomio caratteristico per similitudine. Esempi di matrici non simili con il medesimo polinomio caratteristico. 

Esercizi per casa del 7 dicembre 

11-12-2017 (M36): Endomorfismi, matrici che rappresentano un medesimo endomorfismo su basi distinte sono simili. determinante, traccia e polinomio caratteristico di endomorfismi. Matrici compagne e loro polinomio caratteristico. Un endomorfismo si rappresenta con una matrice comagna se e solo se esiste un generatore ciclico. 

12-12-2017 (M38): autovalori, autovettori e sottospazi invarianti. Endomorfismi triangolabili. Un endomorfismo e' troangolabile se e solo se il polinomio caratteristico si spezza in fattori lineari. Un endomorfismo e' triangolabile se e solo se ogni sottospazio invariante non nullo contiene autovettori. Torema fondamentale dell'algebra (solo enunciato). Sui complessi ogni endomorfismo si triangolarizza. 

Esercizi per casa del 14 dicembre (attenzione: per risolvere alcuni esercizi servono alcune nozioni di teoria che saranno svolte nella lezione del 18 dicembre).

18-12-2017 (M40): criterio standard di diagonalizabilità un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico si spezza in fattori lineari e la somma delle molteplicità geometriche è uguale alla dimensione dello spazio. Il caso in cui il polinomio caratteristico ha tutte le radici semplici. Esempi concreti.

19-12-2017 (M42): endomorfismi nilpotenti, ogni nilpotente si triangolarizza, polinomio caratteristico dei nilpotenti. teorema di Cayley-Hamilton, se un endomorfismo è nilpotente si riconosce dal polinomio caratteristico. Filtrazione dei nuclei e decomposizione di Fitting. La molteplicità algebrica di un autovalore coincide con la dimensione dell'autospazio generalizzato. 

8-1-2018 (M44): Un endomorfismo triangolabile f si diaginalizza e e solo se per ogni scalare a le applicazioni f-aI e (f-aI)2 hanno lo stesso rango. Polinomio minimo, definizione come polinomio monico di grado più basso tra quelli che annullano l'endomorfismo. Il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico (Teorema di Cayley-Hamilton). Il polinomio minino divide tutti i polinomi che annullano l'endomorfismo. Il polinomio minimo della restrizione ad un sottospazio invariante divide il polinomio minimo. Le radici dl polinomio minimo sono tutte e sole gli autovalori. 

9-1-2018 (M46): Un endomorfismo è triangolabile se e solo se il polinomio minimo si scompone i fattori di primo grado. Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo non ha fattori multipli. Brevi cenni sulla forma canonica di Jordan.

15-1-2018 (M48): Relazioni tra autovalori della trasposta e iperpiani invarianti. Esempi ed applicazioni dei criteri di diagonalizzazione, alcune osservazioni sugli endomorfismi nilpotenti. 


Links

Si trovano in rete, scaricabili gratuitamente, molti testi di algebra lineare che possono risultare di utile consultazione. Eccone alcuni dal dowload del tutto legale:

Libro di Ruslan Sharipov - Libro di Jim Hefferon - Libro di Sergei Treil - Libro di Andrew Baker - Libro di Kenneth Kuttler -