Risultati del primo appello 22 giugno, Testo della prova scritta
Risultati del secondo appello 13 luglio, Testo della prova scritta
Risultati del terzo appello 5 settembre, Testo della prova scritta
Risultati del quarto appello 17 settembre,
Il programma del corso ed i testi di riferimento sono gli stessi dei corsi di Geometria 2 a.a. 2013-14. e Geometria 2 a.a. 2016-17
28-2-18 (2): omeomorfismi tra sottoinsiemi dello spazio euclideo. Esempi e non esempi. La proiezione stereografica.
1-3-2018 (4): spazi topologici, aperti, chiusi, chiusura, parte interna, basi, intorni e basi di intorni.
6-3-2018 (6). Spazi metrici, topologia indotta da una distanza, spazi metrizzabili e metriche topologicamente equivalenti. Applicazioni continue.
7-3-2018 (8): Distanza di un punto da un sottoinsieme. Lemma di Urisohn negli spazi metrici. Esercizi vari di topologia generale.
8-3-2018 (10): Sottospazi e prodotti topologici. Spazi di Hausdorff.
13-3-2018 (12): Uno spazio è di Hausdorff se e solo se la diagonale è chiusa nel prodotto. Esempio di spazio di Hausdorff non metrizzabile (Esercizio 3.62). Spazi connessi e connessi per archi. [0,1] è connesso. Immagine di connesso è connessa, connesso per archi implica connesso, esempio di connesso ma non connesso per archi.
14-3-2018 (14): Esercizi sulla connessione: esempio di topologia connessa e T2 sui numeri naturali. Dimostrazione del Teorema di Hahn-Banach per aperti convessi di Rn. Se A,B aperti, A unito B ed A intersecato B conenssi, allora anche A,B connessi.
15-3-2018 (16): Prodotto di spazi connessi, connessione di GLn+(R). Componenti connesse. Le componenti connesse danno una partizione chiusa dello spazio topologico. Se ogni punto possiede intorno connesso allora le componeni connesse sono aperte. Se ogni punto possiede un intorno connesso per archi, allora le componenti connesse coincidono con le componenti connesse per archi. Esercizio sugli aperti di R^2 connessi per cammini ``torre'' (poligonali a tratti orizzontali-verticali)
20-3-2018 (18): Ricoprimenti e sottoricoprimenti, ricoprimenti fondamentali, compattezza, sottospazi compatti di R, applicazioni chiuse a fibre compatte ed immagine compatta.
21-3-2018 (20): Esercizi sulla compattezza: esempio di intersezione di compatti non compatta, proprietà dell'intersezione finita, intesezione di una serie discendente di compatti connessi. R^2 ed R^2-{0} non sono omeomorfi: prova mediante esaustione in compatti.
22-3-2018 (22): Teorema di Wallace ed applicazioni. Continua da compatto a T2 è chiusa, prodotto di compatti è compatto. Applicazione: la chiusura di un aperto convesso limitato in R^n è omeomorfa al disco chiuso.
27-3-2018 (24): Identificazioni e topologia quoziente. Spazi proiettivi reali e complessi. Condizioni necessarie e sufficienti affiché un quoziente di uno spazio compatto di Hausdorff sia ancora di Hausdorff.
28-3-2018 (26) Esercitazione scritta Esercitazione scritta di topologia + esercizi Pasquali.
4-4-2018 (28) Risoluzione degli esercizi assegnati per le vacanze.
5-4-2018 (30) Quozienti per gruppi di omeomorfismi, gli spazi proiettivi sono T2. Bestiario di quozienti del quadrato e del disco.
10-4-2018 (32) Proprietà di numerabilità C1, C2 e separabilità. Il caso degli spazi metrici.
11-4-2018 (34) compattezza per successioni. Relazioni con la compattezza nei casi C1, C2 e metrizzabile. Spazi metrici completi e totalmente limitati.
12-4-2018 (36) Spazi di Baire. Ogni aperto di uno spazio di Baire è di Baire. Esempio di chiuso in un Baire che non è di Baire. Teorema di Baire. Esempio: le varietà topologiche sono di Baire.
17-4-2018 (38) Esercizi svolti di topologia.
18-4-2018 (40) Esercizi svolti di topologia.
19-4-2018 (42) Prova in itinere e coloro che l'hanno superata
24-4-2018 (44) Il funtore pi_0. Omotopia di applicazioni e di spazi topologici.
26-4-2018 (46) Esempi di retrazioni per deformazione. Omotopia di cammini, associatvità del prodotto e definizione di gruppo fondamentale.
2-5-2018 (48) Esercizi svolti di topologia
3-5-2018 (50) Dipendenza del gruppo fondamentale dal punto base. Invarianza omotopica del gruppo fondamentale.
8-5-2018 (52) teorema del numero di Lebesgue, prima parte del teorema di Van Kampen, semplice connessione dele sfere S^n, n\ge 2.
9-5-2018 (54) esercizi svolti di topologia algebrica. Semplice connessione degli spazi proiettivi complessi e di R^n-finiti punti, n\ge 3. Il gruppo fondamentale degli spazi proiettivi reali e' ciclico. Tipo di omotopia el nastro di Moebius.
10-5-2018 (56) Omeomorfismi locali e rivestimenti: Esempi e costanza della cardinalità delle fibre.
15-5-2018 (58) Quozienti per azioni propriamente discontinue, esempi. Teorma di unicita' del sollevamento.
16-5-2018 (60) Esempi di equivalenze omotopiche.
17-5-2018 (62) Sollevamento di cammini e delle omotopie. Sollevamento di applicazioni dalla sfera S^2. Teoremi di Borsuk e del punto fisso.
22-5-2018 (64) Relazioni tra rivestimenti e gruppo fondamentale. Bigezione tra laterali destri del gruppo fondamentale e punti della fibra. Calcolo del gruppo fondamentale della circonferenza e degli spazi proiettivi reali.
23-5-2018 (67) Esercitazione scritta.
24-5-2018 (69) Rivestimenti regolari (derivati da azioni propriamente discontinue) e gruppo fondamentale. Esempio della bottiglia di Klein. Teorema di sollevamento di applicazioni qualsiasi.
29-5-2018 (71) Funzioni a bernoccolo e partizioni C-infinito dell'unità su aperti di R^n.
30-5-2018 (74) Esercitazione scritta.
31-5-2018 (76) Funzioni di Urysohn C-infinito, funzioni differenziabili su sottoinsiemi di R^n. Varieta' topologiche, atlanti e atlanti differenziabili. Esempi delle sfere e degli spazi proiettivi reali.
5-6-2018 (78) Equivalenza di atlanti, atlanti massimali. Brevi cenni sul lemma di Zorn.
Differential Topology | Lecture 1 by John W. Milnor - Differential Topology | Lecture 2 by John W. Milnor - Differential Topology | Lecture 3 by John W. Milnor
6-6-2018 (80) Varieta' differenziabili, funzioni C-infinito su una varieta', applicazioni differenziabili tra varieta'. Anello dei germi di funzioni diffeenziabili.
7-6-2018 (82) Derivazioni sull'anello dei germi e spazio tangente. Differenziale di un'applicazione in un punto ed interpretazione in coordinate locale tramite matrice Jacobiana.
13-6-2018 (84) Esercizi svolti di topologia algebrica e brevi cenni sui gruppi di omotopia superiore.