Programma: Il corso è idealmente diviso in due parti: algebra commutativa ed algebra omologica. Il programma è orientato allo studio della geometria algebrica sul campo dei numeri complessi e della topologia algebrica.
Prima parte: anelli ed ideali, moduli, successioni esatte, prodotti tensoriali, piattezza, localizzazione, dipendenza integrale, condizioni sulle catene, anelli Noetheriani ad Artiniani, derivazioni e differenziali.
Testi di Riferimento: 1) Atiyah, Macdonald - Introduction to commutative algebra. 2) Matsumura - Commutative ring theory.
Seconda parte: complessi di moduli, omotopia di complessi, risoluzioni iniettive e proiettive, funtori Tor ed Ext, complessi doppi e multipli, successioni spettrali, elementi di teoria pertubativa.
Testi di Riferimento: 1) Hilton, Stammbach - A course in homological algebra. 2) Weibel - An introduction to homological algebra.
2) 3-3-2017: anelli ed ideali, operazioni sugli ideali, ideali primi e massimali. Ogni ideale proprio è contenuto in un ideale massimale. Il nilradicale come intersezione di tutti gli ideali primi. Radicale di Jacobson.
4) 7-3-2017: anelli locali. Esistenza della chiusura algebrica di un campo. Topologia di Zariski sullo spettro primo di un anello. Moduli e sottomoduli, moduli finitamente generati e lemma di Nakayama.
6) 10-3-2017: somme e prodotti diretti di moduli, moduli liberi e loro proprietà universale. Ogni modulo è quoziente di un modulo libero. Successioni esatte, pull-back e push-out di successioni esatte corte.
8) 14-3-2017: elementi di caccia al diagramma: lemma dei 5, del serpente e dei 9. Proprietà del bifuntore Hom, moduli iniettivi e proiettivi. Un modulo è proiettivo se e solo se è addendo diretto di un libero. Esempi di moduli proiettivi ma non liberi.
10) 17-3-2017: Ogni modulo proiettivo finitamente generato su anello locale è libero. Moduli iniettivi, un modulo è iniettivo se vale la proprietà di estensione da un ideale all'anello. Un gruppo abeliano è iniettivo se e solo se è divisibile. Formule del cambio di base. Ogni modulo è un sottomodulo di un modulo iniettivo.
12) 21-3-2017: Prodotto tensoriale di moduli, proprietà universale e isomorfismi canonici. Estensione degli scalari e formula del campio di base.
14) 24-2-2017: Associatività del prodotto tensoriale. Proprietà di esattezza del prodotto tensoriale. Moduli piatti e principali criteri di piattezza.
16) 28-3-2017: limiti e colimiti. I prodotti tensoriali commutano con i colimiti. Prodotto tensoriale di algebre, proprietà universale, coequalizzatore di due morfismi di algebre.
18) 31-3-2017: anelli di frazioni, descrizione esplicita e proprietà universale. Esempi. Caratterizzazione degli ideali e degli ideali primi negli anelli di frazioni.
20) 4-4-2017: moduli di frazioni, proprietà di esattezza, relazioni con somme dirette e prodotti tensoriali. Un anello è ridotto se e solo se è localmente ridotto (senza nilpotenti). Piattezza dei moduli di frazioni. Pattezza è una proprietà locale.
22) 7-4-2017: complessi di moduli, morfismi, coomologia, sospensioni e coni.
24) 11-4-2017: omotopia di morfismi e di complessi. Esempi di complessi aciclici ma non contrattili. Successione esatta lunga di coomologia. Stabilità per pull-back dei quasi-isomorfismi surgettivi.
26) 21-4-2017: risoluzioni libere, proiettive ed iniettive. Le risoluzioni proiettive sono uniche a meno di equivalenza omotopica. Definizione e prime proprietà del funtore Ext.
28) 28-4-2017: successione esatta lunga degli Ext e calcolo mediante risoluzioni iniettive. Annullamento degli Ext superiori (n>1) su domini ad ideali principali.
30) 2-5-2017: moduli liberi su domini ad ideali principali. Estensioni di moduli.
32) 5-5-2017: calcolo di alcuni Ext mediante complesso di Koszul. Funtori Tor, definizione e principali proprietà.
34) 9-5-2017: Esercizi sui funtori Tor. I funtori Tor su domini ad ideali principali e sull'anello degli interi.
36) 12-5-2017: lunghezza di un modulo a teorema di Jordan-Holder. Definizione di moduli noetheriani e artiniani.
38) 16-5-2017: generalità sui moduli noetheriani ed artiniani. Esempi d esercizi. Il teorema della base di Hilbert.
40) 19-5-2017: esercizi su anelli noetheriani, interpretazione geometrica del teorema degli zeri di Hilbert.
42) 23-5-2017: dimostrazione del teorema degli zeri di Hilbert. Ideali irriducibili e loro radicali. Ogni anello noetheriano possiede un numero finito di ideali primi minimali.
44) 26-5-2017: Il criterio di piattezza locale. Anelli artiniani. Un anello è artiniano se e solo se è noetheriano ed ogni ideale primo è massimale.
Osservazioni sugli anelli di successioni
46) 30-5-2017: Esempi di anelli artiniani, le potenze di un ideale massimale, teorema di struttura per anelli artiniani, K-algebre artiniane finitamente generate. Il criterio di piattezza locale per anelli locali artiniani.
48) 1-6-2017: Applicazioni dell'algebra commutativa all'algebra lineare: teorema di Cayley-Hamilton, forma canonica razionale e di Jordan.