Universitą di Roma Sapienza

Corso di Laurea Magistrale in Matematica

Curriculum Didattica e Storia

 

MATEMATICHE ELEMENTARI DA UN PUNTO DI VISTA SUPERIORE

2° semestre,  6 crediti (Gruppo opzionale G, 2° sem. I anno e 1° sem. II anno) = 48 h (24 incontri). Valido ai fini dell’acquisizione dei 24 crediti per l’insegnamento nell’ambito di “Metodologie e tecnologie didattiche".

 

Testi consigliati:

1) V. Villani e M. Berni, Cominciamo da zero, Pitagora

2) V. Villani, Cominciamo dal punto, Pitagora

3) V. Villani et al., Non solo calcoli, Springer

i volumi sono disponibili in biblioteca

 

Argomento 1

(1.3.17)

L”approccio alla dimostrazione in geometria. La teoria dei livelli di van Hiele. Il metodo ipotetico-deduttivo. Cosa vuol dire dimostrare un teorema? (Villani, 2, cap. 2).

(6.3.17)

Alcuni teoremi significativi. (Villani, 2, cap. 2)

Approfondimento a) Un approccio alle definizioni secondo la teoria di van Hiele (quaderno reperibile su http://www1.mat.uniroma1.it/ricerca/gruppi/education/quadernoDEF.pdf)

 

Argomento 2

(6.3.17)

I due teoremi sull”angolo esterno. Teorema debole e teorema forte. Il 5° postulato di Euclide. La geometria assoluta. (Villani 2, cap. 4).

Siti sugli Elementi di Euclide:

 

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

http://www.scienzaatscuola.it/euclide/home/libro1.html

 

Entrambi i siti presentano le dimostrazioni di tutte le proposizioni, indicando postulati, nozioni comuni e proposizioni utilizzati nella dimostrazione. Le dimostrazioni sono illustrate con software di geometria dinamica.

 

La disuguaglianza triangolare (Villani 2, cap. 5). Dimostrazione euclidea. Confronto con la dimostrazione in algebra lineare.

Approfondimento: b) Il riferimento alle figure e il ruolo dell’intuizione (Villani 2, cap. 3)

 

Argomento 3

Il postulato delle parallele. Dimostrazioni di esistenza e unicitą. Formulazioni equivalenti: il quadrilatero birettangolo isoscele di Saccheri, teoremi di Wallis e Legendre. (Villani 2, cap. 6) Siti suggeriti: http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometrieNonEuclidee/par4.html#il%20quinto%20postulato;

http://filosofia.dafist.unige.it/epi/hp/pal/NonEucl-2.pdf

Saccheri (§1.6 fino a pag. 58)

Legendre (Prop. 1 e Prop. 3)

 

Argomento 4

Impostazioni assiomatiche per la geometria. Nuovi assiomi e enti primitivi. Assiomatiche di Hilbert, Birkhoff e Choquet (Villani 2, cap. 8). Confronto fra dimostrazioni nelle tre assiomatiche.

Birkhoff e Choquet (assiomi e dimostrazioni)

Approfondimento c) Confronto fra assiomatica euclidea e libri di testo scolastici.

Esempio 2019

 

Argomento  5

Definizioni di lunghezza. Teoremi sulle misure. Lunghezza di una linea curva (Villani 2, cap. 9)

Approfondimento d) E’ didatticamente opportuno previlegiare la geometria piana?  (Villani 2, cap.7).

 

Argomento 6

Definizioni di area per superfici poligonali e curve. Superfici equiestese. Teoremi relativi. Equi-scomponibilitą, equi-completabilitą, Lemma di de Zolt. Superifici sviluppabili e non (Villani 2, cap. 10).

Definizione di volume. Equiscomponibilitą. Il volume della piramide. Teorema di Dehn. Cenno ai metodi di Archimede e di Cavalieri (Villani 2, cap. 11). (cfr. corso Storia d. Mat.: calcolo dei volumi con Euclide, Archimede, Cavalieri, Torricelli, etc.)

Approfondimento: e) pregi e difetti di una trattazione analitica; esempi (Villani 2, capp. 13, 14, 15).

 

Argomento 7

I problemi insolubili. Duplicazione del cubo, trisezione dell”angolo, rettificazione della circonferenza. Dimostrazione dell”insolubilitą (Villani 2, cap. 17)

Approfondimento: f) costruzioni eseguibili con riga e compasso: teoria di Galois, ampliamenti algebrici (testi di algebra, p. es. Piacentini Cattaneo 7.1)

 

 

Argomento 8

I poligoni: isometrie e simmetrie. I poligoni regolari. Tassellazione del piano. Formula di Eulero. I poliedri regolari. Possibili definizioni. Gruppi di isometrie dei poliedri regolari. Caratteristica di Eulero (Villani 2, capp. 20, 21).

 

Argomento 9

La geometria sferica come esempio di geometria non euclidea. Definizioni di geometria ellittica, iperbolica, sferica. Geodetiche, triangolo sferico, teoremi relativi (Villani 2, cap. 22)  (per la geometria iperbolica, cfr. modello di Beltrami nel corso monografico di Storia della Matematica)

Approfondimento: g) Modello di Poincaré

 

Argomento 10

Ruolo di teoremi, dimostrazioni, esempi e contro-esempi (Villani 3, cap. 8)

Teorie assiomatiche, assiomi e enti primitivi (Villani 3, cap. 10). Problemi aperti. Legame con enunciati indecidibili e problemi irresolubili (Villani 3, cap. 13).

Approfondimento: h) gli assiomi della probabilitą. Situazioni ludiche in probabilitą: i modelli (Villani 3, capp. 25, 27).

 

Argomento 11

I Numeri naturali: assiomi di Peano, strutture d’ordine, additiva, moltiplicativa  (Villani 1, capp. 1-4). Teorema fondamentale dell’aritmetica (http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete4/algebra1_pdf/lezione7.pdf, punto 7.6). Infinitą dei numeri primi. MCD e mcm. Algoritmo euclideo per il MCD (cfr. Corso storia della matematica); identitą di Bezout (Villani 1, cap. 6).

 

Argomento 12

Ampliamento dei numeri naturali. Strutture d’ordine e algebriche su Z; (Villani 1, cap. 7). Ampliamenti con il linguaggio delle coppie. Ampliamento da Z a Q, regola del prodotto (Villani 1, cap. 8).

Complementi sugli ampliamenti numerici, da N a C.

Approfondimento: i)  la regola dei segni (Villani 1, cap. 7 + articolo E. Castelnuovo)

 

Argomento 13

Decimali finiti e periodici. I numeri della calcolatrice (Villani 1, cap. 11). Ampliamento da Q a R. Irrazionali algebrici e trascendenti. Allineamenti decimali (Villani 1, cap. 13) Dimostrazioni dell’irrazionalitą di radice di 2. Verificabilitą sperimentale di teoremi geometrici.

Approfondimento: l) Difficoltą nell’uso dei decimali (Villani 1, cap. 12 + articolo Foschi)

 

Argomento 14

Metodi per la costruzione dei numeri reali. Assiomi di Dedekind, Cantor e le successioni di Cauchy, Hilbert. Continuitą, completezza (Villani 1, cap. 14)  (cfr. Corso Storia della matematica: numeri reali in Euclide, approcci equivalenti…).

 

Argomento 15

Strutture additive e moltiplicative in base alle differenti definizioni di R; strutture d’ordine.

Approfondimento: m) la teoria delle proporzioni; sezione aurea; proporzionalitą diretta e inversa (Villani 1, cap.10)

 

Argomento 16

Cifre esatte, cifre significative. Propagazione degli errori (differenza fra uso matematico e applicativo); misure sperimentali, Gaussiana, intervalli di confidenza (Villani 1, capp. 16,17)

 

Argomento 17

Ampliamento complesso dei numeri reali. Cenni storici. Teorema fondamentale dell’algebra. Cenno al teorema di Bezout. Interpretazione geometrica dei numeri complessi, scrittura trigonometrica e esponenziale, formula e^i -1=0 (Villani 1, cap. 19).

 

Argomento 18

Riassunto sulle strutture numeriche (Villani 1, cap. 20, parti).

Assiomi e teoremi in algebra.

approfondimento: n) Il controllo semantico. La forma finale di un calcolo algebrico. Le diverse accezioni di uguaglianza (Villani 1, cap.22; Villani 3, cap.2).

Equivalenza di equazioni e disequazioni. Trasformazioni di equivalenza. I “principi” d’equivalenza (Villani 1, cap. 31).

approfondimento: o) i significati dei termini costante, variabile, parametro, incognita (Villani 1, cap. 33+articolo Bernardi/Cannizzaro)

 

Argomento 19

Introduzione all’analisi con funzioni o con successioni. Successioni note per l’approssimazione di alcuni valori. Cenni storici sul concetto di funzione. Le funzioni elementari. Le funzioni “mostruose” (Villani 3, cap. 14)

 

Argomento  20

La nozioni di limite: questioni didattiche. Cenni storici; definizioni possibili. Approccio ai teoremi di analisi prima della formalizzazione con  e  (Villani 3, capp. 15-16)]. (Vedi anche Corso di Storia della Matematica: evoluzione del concetto di limite).

 

Argomento 21

Le trasformazioni geometriche del piano e dello spazio. Composizione e gruppi di trasformazioni. Caratterizzazione di isometrie, similitudini affinitą. Equazioni delle trasformazioni nel piano e nello spazio. Il programma di Erlangen. (Villani, 2, cap. 18).

Approfondimento: p) Proiezioni dallo spazio ad un piano. Cenno alla genesi delle trasformazioni geometriche (Villani 2, cap.19)

Altri approfondimenti:

- Frazioni continue

- meccanismi articolati