Geometria (canale A-C) – Corso di Laurea in Fisica
Anno accademico 2016/2017

Programma di massima del corso

·       Nozioni fondamentali.
Insiemi, applicazioni di insiemi, immagine e immagine inversa; relazioni di equivalenza e insiemi quoziente.
Numeri naturali e induzione; numeri interi, razionali e reali; numeri complessi, rappresentazione geometrica, esponenziale e logaritmo.
Esempi di campi K; anelli di polinomi, divisione euclidea e fattorizzazione unica, principio di identità dei polinomi, teorema fondamentale dell’algebra (solo enunciato).

·       Spazi vettoriali.
Spazio vettoriale numerico Rⁿ (e Kⁿ), applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici, matrici, algebra delle matrici, prodotto di una matrice con un vettore.
Immagine e nucleo di una matrice, sistemi lineari. Spazi vettoriali e applicazioni lineari. Sottospazi vettoriali. Struttura di spazio vettoriale sulle matrici e su Hom(V,W).
Combinazioni lineari, sottospazio generato (span), indipendenza lineare, basi, dimensione. Estrazione di basi da un insieme di generatori, completamento di insieme linearmente indipendenti a basi.
Sottospazi vettoriali tramite equazioni lineari oppure tramite sistemi di generatori.
Immagine di una matrice e operazioni elementari sulle colonne; nucleo di una matrice e operazioni elementari sulle righe. Riduzione di Gauss e calcolo di nucleo e immagine di una matrice.
Formula per dim(ker(f))+dim(im(f)). Immagine inversa di un sottospazio vettoriale. Somme e intersezioni di sottospazi vettoriali, formula di Grassmann. Somma diretta.
Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Rappresentazione di un’applicazione lineari rispetto a basi date. Cambio di base e cambio di coordinate.
(Spazio vettoriale duale, base duale, dimensione. Annullatore. Biduale.)
(Spazio vettoriale quoziente, proiezione canonica, base, dimensione.)

·       Endomorfismi di spazi vettoriali.
Rappresentazione di endomorfismi, cambio di base, similitudine. Traccia di un endomorfismo.
Volume con segno in Rⁿ (idea intuitiva). Determinante di una matrice come rapporto di volumi con segno. Esempi in dimensione 1 e 2. Proprietà del determinante, unicità.
Gruppi di permutazioni di n elementi, proprietà elementari, parità. Formula classica del determinante. Sviluppi di Laplace. Formula di Binet. Determinante di un endomorfismo.
Formula di Cramer, inversa di una matrice. Minori invertibili e teorema degli orlati.
Autovalori e autovettori, autospazi, molteplicità algebrica e geometrica. Endomorfismi diagonalizzabili e triangolabili. Polinomi valutati su endomorfismi.
Polinomio caratteristico, teorema di Cayley-Hamilton, gli autospazi sono in somma diretta.
Criterio di diagonalizzabilità. Criterio di triangolabilità.
Polinomio minimo. Autospazi generalizzati, invarianza e decomposizione in somma diretta di autospazi generalizzati. Criterio di diagonalizzabilità via polinomio minimo.

·       Forme bilineari simmetriche (e sesquilineari hermitiane) e geometria euclidea.
Geometria dello spazio euclideo: distanza tra due punti, norma di un vettore, angolo tra vettori, prodotto scalare standard, proiezioni e proiezione ortogonale su un sottospazio, riflessioni e riflessione ortogonale rispetto ad un sottospazio, isometrie lineari.
Forme bilineari simmetriche su Kⁿ, rappresentazione tramite matrici simmetriche. Ortogonale di un sottospazio. Esempi di forme bilineari simmetriche (prodotto L² sulle funzioni, prodotti sullo spazio delle matrici). Applicazioni lineari che preservano la forma bilineare simmetrica.
Rappresentazione di una forma bilineare simmetrica in coordinate, cambio di coordinate. Radicale di una forma bilineare simmetrica, esistenza di una base ortogonale, sottospazi isotropi. L’applicazione L_b. Forme bilineari simmetriche non degeneri.
Forme bilineari simmetriche reali: forme definite positive (e semi-definite positive), proiezioni/riflessioni ortogonali, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, norma di un vettore rispetto ad una base ortonormale, indici di inerzia e teorema di Sylvester.
Isomorfismo di spazi vettoriali reali tra R²ⁿ e Cⁿ. Interpretazione reale di un endomorfismo complesso di C¹. Prodotto hermitiano canonico su Cⁿ. Forme sesquilineari hermitiane: risultati analoghi alle forme bilineari simmetriche reali.
Disuguaglianza triangolare e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Trasformazioni lineari ortogonali di R² e R³. Trasformazioni unitarie.
Aggiunta di un’applicazione lineare. Rappresentazione in coordinate dell’aggiunta. Applicazioni autoaggiunte (o hermitiana). Prodotti scalari (o hermitiani) associati ad un’applicazione autoaggiunta.
Teorema spettrale per operatori autoaggiunti (e per operatori hermitiani) rispetto ad un prodotto definito positivo. Interpretazione in termini di diagonalizzazione di matrici simmetriche (e hermitiane) e anti-simmetriche (e anti-hermitiane).
Teorema spettrale per operatori ortogonali (e unitari) rispetto ad un prodotto definito positivo. Classificazione delle matrici ortogonali e unitarie.