Errico PRESUTTI
Università di Roma Tor Vergata
Microstrutture in meccanica dei continui e limiti di scala in meccanica statistica

Abstract: Alcuni fenomeni critici in solidi e fluidi sono legati alla formazione di microstrutture. Per esempio una goccia di acqua in equilibrio con il suo vapore porta alla formazione di una sottile interfaccia di spessore trascurabile, la cui struttura e geometria descrive la coesistenza tra le due fasi, liquida e gassosa, del fluido. L'applicazione di forti tensioni su un cristallo puo' portare all'insorgere di fratture; come questi si potrebbero portare molti altri esempi anche provenienti da altre aree della scienza.
Scopo della mia presentazione è di discutere la "controparte" matematica di tali fenomeni che a seconda della prospettiva coinvolge discipline diverse, quali calcolo delle variazioni, PDE, teoria geometrica della misura e probabilità. La medesima origine fisica lascia intravedere una forte interazione tra i diversi approcci, che infatti ha portato ad alcuni significativi progressi in alcune delle discipline coinvolte.
Accennerò brevemente allo studio della geometria ottimale di un interfaccia che, in una descrizione macroscopica, porta all'introduzione della nozione di Gamma-convergenza e come questa sia collegata ad un problema di grandi deviazioni, quando l'ottica iniziale sia invece un'analisi microscopica nell'ambito della meccanica statistica.
L'insorgere di microstrutture in meccanica dei continui e' studiata come un problema di limite singolare in PDE e come un problema di grandi scale e limite idrodinamico se invece si parte da sistemi stocastici di particelle in interazione. Per esemplificare il rapporto tra le varie scale spazio temporali presenterò un modello di particelle su reticolo con processi di nascita e morte, che e' stato introdotto recentemente per descrivere alcuni fenomeni di interesse biologico.