Seminario di Algebra e Geometria 2008/09


September, 24th, 2008.
Jürg Kramer (Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik)
An arithmetic Riemann-Roch theorem for modular curves of non-compact type

In this talk we will state and sketch the proof of an arithmetic Riemann-Roch theorem in degree one for the canonical line bundle on an arithmetic surface equipped with a hermitian metric allowing a finite number of hyperbolic cusps. The theorem gives an explicit relation between the generalized arithmetic self-intersection number of the canonical line bundle equipped with a logarithmically singular hermitian metric (due to Bost, Kuehn) and the arithmetic degree of the determinant of cohomology with respect to a suitably regularized Quillen metric associated to the metric on the canonical line bundle. In this way, we establish a new link between the spectral theory of Riemann surfaces with cusps and the arithmetic algebraic geometry in the spirit of arithmetic Riemann-Roch theorems for vector bundles equipped with smooth hermitian metrics.


October, 1st, 2008.
Riccardo Salvati Manni (Sapienza Università di Roma)
Forme modulari e misura di superstringa chirale

Negli ultimi anni D'Hoker and Phong hanno sviluppato un programma di studio per trovare la misura di superstringa chirale partendo dai principi primi. Uno strumento importante e' la costruzione di forme modulari soddisfacenti alcune condizioni. Grushevsky ha presentato un ansatz per generi bassi (g <5 >) e un possibile ansatz per tutti i generi soggetto alla condizione di modularità per radici 2(g-4)-esime di forme modulari. Verrà risolto il caso di genere 5 usando le relazioni di Riemann e di Schottky-Jung. Sara' illustrato anche il legame tra la costante cosmologica e una particolare forma modulare di peso 8 definita per ogni genere g.


October, 8th, 2008.
Claudio Procesi (Sapienza Università di Roma)
Teorema dell'indice per operatori trasversalmente ellittici


October, 15th, 2008.
Claudio Procesi (Sapienza Università di Roma)
Teorema dell'indice per operatori trasversalmente ellittici, II


October, 22nd, 2008.
Maria Gorelik (The Weizmann Institute of Science)
On complete reducibility for infinite-dimensional Lie algebras


October, 29th, 2008.
Peter Fiebig (Universität Freiburg)
Bruhat graphs between geometry and representation theory

We show how one can associate to any root system a labelled graph that encodes the intersection cohomology of finite or affine Schubert varieties as well as the structure of projective objects in various representation theoretic categories. Then we discuss how this can be used to prove various multiplicity conjectures in representation theory. In particular, this approach gives a new and significantly simplified proof of Lusztig's conjecture on simple characters of algebraic groups in almost all characteristics, as well as a bound on the exceptional primes.


November, 5th, 2008.
Oksana Yakimova (Centro De Giorgi, Pisa)
On commuting varsities associated with Lie algebras

The classical commuting variety is the set of pairs of commuting square matrices. One gets a straightforward generalisation by replacing the algebra of matrices with an arbitrary reductive Lie algebra g. These commuting varieties are known to be irreducible by a result of Richardson. There is another possibility if g is not reductive. We can consider a "mixed" commuting variety, i.e., the set of pairs $(x,a)\in \mathfrak g\times \mathfrak g^*$ such that $a([\mathfrak g,x])=0$. In other words, the mixed commuting variety is the zero set of the moment map $\mathfrak g\times \mathfrak g^* \to \mathfrak g^*$. In the talk, we will discus the irreducibility problem for both usual and mixed commuting varieties associated with centralisers of matrices and some commuting varieties related to symmetric pairs.


November, 12th, 2008.
Dmitri Panyushev (Independent University of Moscow)
Periodic contractions of semisimple Lie algebras and their invariants

Let $\theta$ be an automorphism of finite order of a semisimple Lie algebra $\frak g$. Associated with the pair $(\frak g, \theta)$ there is a new non-reductive Lie algebra $\frak q$, which is called a periodic contraction of $\frak g$. For instance, if $\theta$ is an involution and $\frak g=\frak g_0\oplus \frak g_1$ is the corresponding symmetric decomposition, then $\frak q$ is the semi-direct product of $\frak g_0$ and the $\frak g_0$-module $\frak g_1$. In my talk, I'll discuss invariant-theoretic properties of periodic contractions; especially the invariants of the adjoint and coadjoint representations, and their relations with the invariants of the initial algebra $\frak g$.


November, 26th, 2008.
Pavle Pandzic (University of Zagreb)
Dirac cohomology of Harish-Chandra modules

In the 1970's, Parthasarathy introduced a version of the Dirac operator D attached to a real reductive group, and used it to construct the discrete series representations. He also obtained a useful necessary condition, Dirac operator inequality, for unitarizability of an irreducible Harish-Chandra module. In 1997 Vogan studied a purely algebraic version of D and used it to attach an invariant, called Dirac cohomology, to a Harish-Chandra module X. He conjectured that Dirac cohomology, if nonzero, determines the infinitesimal character of X. This conjecture was proved by Huang and myself in 2002. Subsequent generalizations to other settings were obtained by Kostant, Kumar, Alekseev-Meinrenken and Kac-Frajria-Papi. Further results on Dirac cohomology of Harish-Chandra modules included a relationship to n cohomology in some special cases (joint with Huang and Renard). In this talk I will give a brief overview of the definitions and the above mentioned results. I will then describe some further work in progress. The topics I plan to mention are algebraic Dirac induction (with D.Renard), p+ cohomology of unitary highest weight modules (with V.Protsak) and unipotent representations (with D.Barbasch), and sharpening the Dirac inequality (with D.Renard).

December, 3rd, 2008.
Simone Diverio (Sapienza Università di Roma)
Congettura di Green-Griffiths-Lang effettiva per ipersuperfici proiettive generiche

La congettura di Green-Griffiths-Lang prevede che su ogni varietà algebrica proiettiva di tipo generale X esista una sottovarietà propria Y tale che l'immagine di ogni applicazione olomorfa non costante dal piano complesso in X sia contenuta in Y. In questo seminario daremo una conferma di tale congettura per ipersuperfici proiettive generiche di grado elevato (con stima effettiva sul grado), recentemente ottenuta in collaborazione con E. Rousseau e J. Merker.

December, 10th, 2008.
Gerard Van der Geer (Korteweg-de Vries Instituut, Universiteit van Amsterdam)
Cycle classes on the moduli space of K3 surfaces


December, 17th, 2008.
Victor Kac (MIT)
Seminar on modular invariance in representation theory


January, 12th, 2009.
Andrea Maffei (Sapienza Unversità di Roma)
Seminar on modular invariance in representation theory


January, 14th, 2009.
Giovanni Felder (ETH Zurich)
Circle action on configuration spaces and cyclic homology

Kontsevich's formality theorem states that the graded Lie algebra of multidifferential operators is equivalent as as a homotopy Lie algebra to its cohomology. A consequence is the classification of formal associative deformations of the algebra of functions on a manifold in terms of Poisson brackets. Recently several proofs of a version of the formality theorem for Hochschild and cyclic chains have appeared. We will present one based on Feynman integrals of S^1-equivariant differential forms on configuration spaces of points on the unit disk. (Joint work with Alberto S. Cattaneo and Thomas Willwacher)

January, 19th, 2009.
Paolo Papi (Sapienza Università di Roma)
Seminar on modular invariance in representation theory


January, 21st, 2009.
Pierluigi Moseneder Frajria (Politecnico di Milano)
Seminar on modular invariance in representation theory


January, 28th, 2009.
Alberto De Sole (Sapienza Università di Roma)
Seminar on modular invariance in representation theory


February, 11th, 2009.
Winfried Kohnen (Mathematisches Institut der Universitat Heidelberg)
Generalized modular functions

We study the Fourier coefficients of generalized modular forms $f(\tau)$ of integral weight $k$ on subgroups $\Gamma$ of finite index in the modular group. We establish two Theorems asserting that $f(\tau)$ is constant if $k = 0$, $f(\tau)$ has empty divisor, and the Fourier coefficients have certain rationality properties. (The result is false if the rationality assumptions are dropped.) These results are applied to the case that $f(\tau)$ has a cuspidal divisor, $k$ is arbitrary, and $\Gamma = \Gamma_{0}(N)$, where we show that $f(\tau)$ is modular, indeed an eta-quotient, under natural rationality assumptions on the Fourier coefficients. We also explain how these results apply to the theory of orbifold vertex operator algebras.

February, 25th, 2009.
Vikram Mehta (Tata Institute of Fundamental Research)
The Fundamental Group Scheme of a Family of Varieties, following Gasbarri and Antei

We construct these group schemes using essentially finite vector bundles and Tannaka Lattices. We show commutavity with products and base field extensions (joint work with S. Subramanian).

April, 1st, 2009.
Andrea Ferretti (Sapienza, Università di Roma)
L'anello di Chow delle sestiche EPW doppie

Le varietà simplettiche olomorfe sono una classe di varietà Kahleriane che si presenta naturalmente nel cercare di classificare varietà con canonico banale. Il loro studio è parallelo, per molti versi, a quello delle superfici K3. Purtroppo non sono conosciuti molti esempi sostanzialmente differenti di queste varietà. Dopo una breve panoramica mi concentrerò sull'esempio delle sestiche EPW doppie. In particolare presenterò alcune proprietà del loro anello di Chow che ho studiato nella tesi di dottorato.

April, 15th, 2009.
Filippo Nuccio (Sapienza, Università di Roma)
Congettura di Greenberg in teoria di Iwasawa

Dopo un'introduzione alla teoria di Iwasawa classica per campi di numeri e all'analogia con la teoria delle curve su campi finiti, presenterò la congettura di Greenbger per campi di numeri abeliani totalmente reali e ne discuterò le implicazioni e i legami con la teoria ciclotomica classica. Infine, presenterò due risultati della mia tesi di dottorato in merito alla congettura di Greenberg in casi particolari.

April, 22nd, 2009.
Luca Migliorini (Università di Bologna)

La varietà delle rappresentazioni (twisted) del gruppo fondamentale di una curva algebrica in GL_2 ha una struttura naturale di varietà affine. La sua coomologia è perciò dotata di una struttura di Hodge mista, recentemente indagata da Hausel a Rodriguez-Villegas, che hanno notato che la filtrazione dei pesi soddisfa una strana proprietà di simmetria, da loro chiamata "Curious Hard Lefschetz". La varietà delle rappresentazioni è diffeomorfa in modo naturale allo spazio dei moduli dei fibrati di Higgs semistabili di rango 2, sul quale è definita la fibrazione di Hitchin, una mappa propria a valori in uno spazio lineare. Nel seminario discuterò la descrizione della filtrazione dei pesi sulla coomologia della varietà dei caratteri in termini di una filtrazione di natura topologica (la filtrazione perversa) associata alla fibrazione di Hitchin. Lavoro in collaborazione con M. de Cataldo (SUNY) e T. Hausel(Oxford).

May, 6th, 2009.
Giovanni Cerulli Irelli (Università di Padova)
Quiver Grassmannians and Cluster Algebras


May, 13th, 2009.
Lucio Bedulli (Sapienza, Università di Roma)
Sottovarietà totalmente complesse di varietà quaternion-Kähler e geometria dello spazio dei twistori

Le sottovarietà totalmente complesse massimali (TCM) sono l'analogo quaternion-Kähler delle sottovarietà Lagrangiane nelle varietà Kähleriane. Il loro studio è legato alla geometria delle sottovarietà Lagrangiane e Legendriane delle varietà di Fano di contatto (gli spazi dei twistori). Classificheremo le sottovarietà omogenee TCM di HPn e di conseguenza le sottovarietà Legendriane omogenee di CP2n+1 generalizzando un risultato di Landsberg e Manivel.

May, 20th, 2009.
Massimo Bertolini (Università di Milano)