Lunedì 25 Ottobre 2010 Luigi De Pascale (Università di Pisa) Optimal transport problems in some sandpile models
We will discuss the relationships of the Monge problem with a
common differential model in granular matter theory.
We will show that the Monge problem permits to prove existence and
uniqueness/multiplicity
of solution for the PDEs involved in the model in the stationary case.
If time permits we will introduce two open problem related to the results above.
Lunedì 8 Novembre 2010 Jerome Vétois (Università di Nizza) Stability results for sign-changing solutions of critical
elliptic equations
On a compact Riemannian manifold, we present stability results
and their instability counterpart for sign-changing solutions of
elliptic equations with critical nonlinearities. Such equations are said
to be stable if any family of solutions, bounded in the energy space, is
in fact bounded in $C^0$. In particular, we emphasize the threshold role
played by the geometric Yamabe potential. As an application of
stability, we obtain multiplicity results of sign-changing solutions.
Lunedì 15 Novembre 2010 Haim Brezis (Rutgers University) Jacobians revisited
I will present joint results with H.-M. Nguyen concerning the study of the
Jacobian determinant of maps from $R^N$ into $R^N$ (and also $S^N$
into $S^N$).
New estimates in the Wasserstein metric illuminate classical results of Y. Reshetnyak
and J.Ball concerning the behavior of the distributional Jacobian under weak convergence e.g.
in $W^{1, N}$. I will also discuss the optimal Sobolev space where one can define a concept of weak
Jacobian.
Lunedì 22 Novembre 2010 Yann Brenier (Università di Nizza) Least action principles allowing dissipation effects
Usually, least action principles lead to hamiltonian,
conservative and time reversible solutions in which no
dissipation effect can be input. We show, through some
examples related to ODEs or PDEs in astrophysics, how
sticky collisions and mass concentrations, for example,
can be handled by a suitable modification of the action
functional on a very small set of the functional space.
Lunedì 29 Novembre 2010 David Arcoya (Università di Granada) Dirichlet problems with singular and quadratic growth lower order terms
We present some of the results obtained in collaboration with Boccardo,
Leonori and Porretta about the existence of positive solutions of
Dirichlet problems like
$$
\begin{cases}
-\Delta u = B \frac{|\nabla u|^2}{u} + f & \mbox{in $\Omega$,} \\
u = 0 & \mbox{on $\partial\Omega$,}
\end{cases}
$$
where $B > 0$ and $f \geq 0$ belongs to a Lebesgue space.
Lunedì 6 Dicembre 2010 Annamaria Micheletti (Università di Pisa) Alcune proprietà generiche di non degeneratezza di punti critici
Data una varietà Riemanniana compatta, regolare, di dimensione
finita $n$, senza frontiera, possiamo dimostrare che,
per una generica metrica $g$, tutti i punti critici della curvatura
scalare $S_g$ associata a $g$ sono non degeneri .
Inoltre, data una metrica $g_0$ e un sottoinsieme limitato A dello spazio
$H^1_g(M)$, otteniamo che,
se g è in un intorno di $g_0$ e il numero positivo $\epsilon$ è piccolo, allora genericamente,
rispetto alla coppia di parametri $\epsilon,g$, tutte le soluzioni positive u in
A privato di {1} dell'equazione $-\epsilon^2 \Delta_g u+u=|u|^{p-2}u$
sono non degeneri. Qui $2 < p <2n/(n-2)$.
Questi risultati possono essere usati per ottenere alcune stime del numero
di soluzioni dell'equazione precendente.
Lunedì 13 Dicembre 2010 Enrico Valdinoci (Università di Roma Tor Vergata) Un approccio geometrico alle transizioni di fase frazionarie
Prenderemo in considerazione alcune equazioni ellittiche
frazionarie ed alcuni problemi geometrici a loro collegati,
tra cui: simmetria e rigidita` delle soluzioni,
stime di densita`, Gamma-convergenza e relazione
con problemi di perimetri nonlocali.
Lunedì 10 Gennaio 2011 Massimo Gobbino (Università di Pisa) Equazione di Perona-Malik: risultati noti e problemi aperti
L'equazione di Perona-Malik e' stata introdotta ormai vent'anni or sono nel contesto del trattamento d'immagini.
Nella sua versione semplificata in dimensione uno si tratta di un'equazione parabolica quasilineare, in cui pero'
il coefficiente della derivata seconda ha segno variabile. Per questo motivo risulta un'equazione di tipo "forward-backward".
La cattiva positura che ci si aspetta dal punto di vista analitico e' controbilanciata dalle simulazioni numeriche, che mostrano invece molta piu' stabilita' del previsto. Questo e' noto in letteratura come "paradosso di Perona-Malik".
Una spiegazione rigorosa del paradosso sembra oggi essere ancora molto lontana.
In questa conferenza saranno illustrati i risultati finora ottenuti ed i numerosi problemi aperti.
Lunedì 17 Gennaio 2011 Aldo Pratelli (Università di Pavia ) Some new quantitative spectral inequalities
In last years, there has been some effort to get quantitative versions of the
most classical spectral inequalities, namely the Faber-Krahn inequality for the
first eigenvalue of the Dirichlet Laplacian and its generalization to the case
of the p-Laplacian. In this talk, we will present two new results, which
involve the second eigenvalue of the Dirichlet Laplacian and the second
(that is, the first non-trivial) eigenvalue of the Neumann Laplacian.
We will also discuss the sharpness of these two estimates.
The results are in collaboration with Lorenzo Brasco (Napoli).
Lunedì 24 Gennaio 2011 Laurent Véron (University of Tours) Capacity estimates of solutions of semilinear parabolic equations
We prove that any positive solution of $ \partial_tu-\Delta u+u^q=0$ ($q>1$)
in $R^N\times(0,\infty)$ with singular initial trace $(F,0)$, where $F$ is a closed
subset of $R^N$ can be represented, up to two universal multiplicative constants,
by a series involving the Bessel capacity $C_{2/q,q'}$. As a consequence we prove that
there exists a unique positive solution of the equation with such an initial trace.
We also characterize the blow-up set of $u(x,t)$ when $t\downarrow 0$ , by using the "density" of
$F$ expressed in terms of the $C_{2/q,q'}$-capacity.
Lunedì 31 Gennaio 2011 Francesco Maggi (Università di Firenze ) Il problema isoperimetrico rispetto ad una densità simmetrica
Dopo aver rivisto alcuni risultati di base e alcuni problemi aperti sul
problema isoperimetrico nello spazio Euclideo con densità,
discuteremo il caso modello di densità di tipo misto
Euclideo-Gaussiana. I risultati sono in collaborazione con Nicola Fusco
ed Aldo Pratelli.
Lunedì 14 Febbraio 2011 Francoise Demengel (Université de Cergy-Pontoise) One-dimensional symmetry for solutions of Allen Cahn fully nonlinear equations
In this talk we shall present some qualitative results for solutions of the fully nonlinear elliptic Allen Cahn Equation;
precisely we shall see that under specific conditions the solutions are one-dimensional, we shall in particular
show similarity and differences with the classical linear case.
Mercoledì 23 Febbraio 2011 Jean Van Schaftingen (Université Catholique de Louvain, Belgium) What can be estimated by the $L^1$ norm of some components of the derivatives of
a vector field?
Given a vector homogeneous differential operator of order 1 \(A(D)\) acting on
vector fields, I will answer to the question whether there is a Gagliardo--Nirenberg type estimate
of the form
\[
\Vert u \Vert_{L^{n/(n-1)} } \le C \Vert A(D) u \Vert_{L^1}.
\]
In order to characterize such operators, I will introduce a new canceling condition on
differential operators.
Lunedì 7 Marzo 2011 Luigi Ambrosio (Scuola Normale Superiore, Pisa) Semiclassical limit of linear
Schrodinger equation with singular and rough potentials
We describe some recent work on the semiclassical limit of the linear
Schrodinger equation. Under mild regularity assumptions on the potential
$U$ which include Born-Oppenheimer potential energy surfaces in
molecular dynamics, we establish asymptotic validity of classical dynamics
globally in space and time for "almost all" initial data, with respect to an
appropriate reference measure on the space of initial data. In order to achieve
this goal we prove existence, uniqueness and stability results for the
flow in the space of measures induced by the continuity equation.
Lunedì 14 Marzo 2011 Fabio Camilli (Sapienza Università di Roma) Equazioni di Hamilton-Jacobi su grafi
Equazioni alle derivate parziali su grafi hanno numerose applicazioni
(per esempio modelli di traffico, circolazione del sangue, social networks,
internet, etc.). In molti di questi problemi e' importante trovare il cammino
piu' breve tra due vertici del grafo. Se il costo di percorrenza di un arco del grafo non
e' costante lungo l'arco, il problema del cammino piu' breve non puo' essere
risolto attraverso algoritmi di tipo combinatorico. In questo seminario
presentero' un approccio al problema precedente basato
sullo studio di equazioni di Hamilton-Jacobi definite su grafi e su una corrispondente
teoria delle soluzioni viscosita'.
Lunedì 21 Marzo 2011 Giorgio Fusco (Università dell'Aquila) Osservazioni sulla dinamica di
certe equazioni di tipo forward-backward
If $\phi: {\mathbb R}\to {\mathbb R}$ is a non-convex
energy density, the initial-boundary value problem for the equation
\begin{equation}{(1)}\qquad\qquad
\begin{cases}
u_t&=\frac{1}{2}(\phi(u_x))_x,\quad x\in(0,1)\\
u(\cdot,0)&=u_0,\\
+BC&
\end{cases}
\end{equation}
is not well posed. In the attempt to define a notion of solution for
equation (1) we consider, for $0 <\epsilon<< 1$, the regularization: $u_t =
-\epsilon^2 \, u_{xxxx}+\frac{1}{2} \phi''(u_x)u_{xx}$ of problem (1) and, motivated by numerical
experiments, we reinterpret equation (1) as a suitable free-boundary
problem which is well defined for any given initial datum.
Lunedì 28 Marzo 2011 Ilaria Fragalà (Politecnico di Milano) Shape optimization problems for variational functionals
under geometric constraints
We consider extremum problems for some classical functionals of the
Calculus of Variations (such as torsional rigidity, first Dirichlet
eigenvalue, electrostatic capacity), subject to geometric constraints
(such as prescribed volume, perimeter or mean width). For some of
them the solution is well-known by classical methods, for some others
it is conjectured but currently open. We shall try to overview some
features and methods, which are related to the first order
stationariety condition (involving overdetermined boundary value
problems) and to second order properties
(involving concavity inequalities for shapes).
Lunedì 4 Aprile 2011 Andrea Malchiodi (Sissa, Trieste) Costanti ottimali in disuguaglianze di Moser-Trudinger e equazioni
di Liouville singolari
Consideriamo un'equazione di Liouville su superfici compatte
motivata dallo studio di modelli di Chern-Simons autoduali e dal problema
di prescrizione della curvatura Gaussiana con singolarità coniche.
Dimostriamo nuovi risultati di esistenza usando disuguaglianze di
Moser-Trudinger migliorate e metodi variazionali.
Lunedì 11 Aprile 2011 David Lannes (Ecole Normale Supérieure, Paris ) A stability criterion for two fluids interfaces
Two-fluids interfaces are known to be unstable without surface
tension because of the formation of Kelvin-Helmholtz instabilities.
In presence of surface tension, local existence results can be
proved, but on a time scale that depends a priori dramatically on
the surface tension coefficient. We will show that a careful
analysis of the formation of Kelvin-Helmholtz instabilities allows
us to exhibit a stability criterion generalizing the Rayleigh-Taylor
criterion in the one fluid case, and which can be used to explain
many physical observations.
Lunedì 2 Maggio 2011 Alessio Porretta (Università di Roma Tor Vergata) Stime Lipschitz per problemi ellittici singolari al bordo
In questo seminario discutero' una classe di problemi ellittici in
domini regolari con campi di trasporto singolari alla frontiera, es.
dell'ordine dell'inverso della distanza al bordo. L'interesse per
tali modelli origina da problemi di controllo stocastico in cui si
cerca di vincolare il moto Browniano all'interno del dominio tramite
l'azione del drift. Lo studio dei controlli ottimi di tipo feedback
conduce a equazioni di tipo Hamilton-Jacobi -Bellmann in cui la
componente di trasporto dell'Hamiltoniana e' illimitata al bordo e
diretta trasversalmente. Nel seminario presenteremo risultati di
stime Lipschitz globali (a dispetto della singolarita'
nell'equazione), esistenza di soluzioni regolari fino al bordo
nonche' applicazione di tali stime al problema di controllo.
Lunedì 9 Maggio 2011 Franco Tomarelli (Politecnico di Milano) Discontinuità libere, segmentazione ed inpainting
In questo seminario sono presentati alcuni funzionali del secondo ordine
dipendenti da discontinuità libere nella funzione e nel gradiente, i cui
minimizzanti forniscono una soluzione variazionale al problema di
"edge-detection" nella segmentazione di immagini.
I recenti risultati relativi alla minimizzazione di tali energie con dato al
bordo di tipo Dirichlet sono utilizzati per affrontare anche il problema di
"inpainting".
Sono analizzate alcune proprietà dei minimi e le relative equazioni di Eulero.
Le condizioni necessarie forniscono molte informazioni di natura geometrica,
identità integrali e vincoli sui coefficienti dell'espansione asintotica attorno
al crack-tip di una segmentazione ottimale: in particolare hanno suggerito
la formulazione di alcune congetture circa i minimi locali non banali.
La prova di stime di densità dell'energia uniformi fino al bordo e di buone
proprietà per il contenuto di Minkowski della segmentazione ottimale hanno
consentito progressi nelle approssimazioni numeriche effettuate recentemente
da vari autori.
Lunedì 16 Maggio 2011 Paolo Secchi (Università di Brescia) Su alcuni problemi di frontiera libera in magneto-idrodinamica
Verranno discussi alcuni problemi di frontiera libera della
magneto-idrodinamica ideale, dove si trascurano gli effetti di
dissipazione o la tensione superficiale, con l'obiettivo più generale di
mostrare una panoramica del tipo di problemi e delle tecniche per la
risoluzione.
In particolare sarà presentato un recente risultato sui current-vortex
sheets per fluidi incomprimibili con condizioni ottimali di regolarità.
Sarà discusso inoltre il problema di evoluzione dell'interfaccia
plasma-vuoto di fluidi comprimibili.
Lunedì 23 Maggio 2011 Gabriele Grillo (Politecnico di Milano) Behaviour near extinction for the fast diffusion equation on
bounded domains
We consider the fast diffusion equation in a bounded smooth
domain with homogeneous Dirichlet
conditions. It is known that bounded positive solutions of such problem
extinguish in a finite time T, and also that such
solutions approach a separate variable solution provided the parameter m
appearing in the equation is in a suitable range. Here we are interested
in describing the behaviour of the solutions near the extinction time.
We first show that, for a certain range of the parameter m appearing in
the equation, the convergence
takes place uniformly in the relative error norm. Then, we study the
question of rates of convergence. For m close to 1 we get such rates by
means of entropy methods and weighted Poincar inequalities. The
analysis of the latter point makes an essential use of fine properties
of an associated stationary elliptic problem when m tends to 1, and such
a study has an independent interest.
This is a joint work with Matteo Bonforte and Juan Luis Vazquez (UAM,
Madrid).
Lunedì 30 Maggio 2011 Benjamin Texier (Université Paris 7) Ill-posedness issues for first-order quasi-linear systems
Metivier proved in 2005 that hyperbolicity, meaning reality of the
spectrum of the principal symbol, is a necessary condition for the
well-posedness of the initial-value problem associated with first-order
quasi-linear operators. Following recent work by Lerner, Morimoto, and
Xu, we show that instabilities persist in the limiting case in which
hyperbolicity holds initially, but is instantaneously lost. Examples in
nonlinear optics (Klein-Gordon-Zakharov) and gas dynamics (Van der
Waals, Burgers) illustrate the results.
This is joint work with Nicolas Lerner (Paris 6) and Toan Nguyen (Brown).
Lunedì 6 Giugno 2011 Mark Peletier (Eindhoven University ) Striped patterns and the eikonal equation
In this talk I discuss work with Marco Veneroni on
curvature-penalizing energies that arise in models of pattern
formation. These nonlocal energies contain competing terms,
penalizing both rapid variation and large-scale aggregation, and
this competition results in structures with a preferred length
scale.
I will concentrate on a model that produces striped patterns that may
be curved and may show defects. One of the central challenges in the
field of pattern formation is to rigorously connect the properties of
the microscopic model on one hand with large-scale features of the
striped pattern (such as curvature and defects) on the other.
For the model at hand we have proved a result of this type,
which connects the value of the microscopic energy to the presence
or absense of certain large-scale features.
An interesting consequence of this result is the appearance of a
new formulation of the eikonal equation, in terms of projection
matrices. This formulation avoids unphysical singularities that
arise in the usual vectorial formulation of the eikonal equation
and raises many questions about the properties of this equation.
Lunedì 13 Giugno 2011 Vladimir Maz'ya (University of Liverpool and Linkoping University ) Differentiability of solutions to second-order elliptic
equations via dynamical systems
For a second-order elliptic equation in divergence form we investigate conditions
on the coefficients which imply that all solutions are Lipschitz continuous or differentiable at a
given point. We assume the coefficients have modulus of continuity satisfying the square-Dini
condition, and obtain additional conditions that examples show are sharp. Our results extend
those of previous authors who assume the modulus of continuity satisȚes the Dini condition.
Our method involves the study of asymptotic properties of solutions to a dynamical system
that is derived from the coefficients of the elliptic equation.
This is a joint work with R. McOwen ( NorthEastern).
Lunedì 20 Giugno 2011 E.N.Dancer (University of Sidney) Weakly Nonlinear Elliptic Systems with large Interactions
We discuss problems where there is a large interacting term.These occur in
population models and nonlinear optics.we discuss some new Holder
estimates and some new results on the behaviour of the corresponding flow.