Lunedì 5 marzo 2012
Adriana Garroni (Sapienza Università di Roma)
Funzionali con singolarita' topologiche: applicazione alle dislocazioni piane
Vedremo come il problema delle dislocazioni nei cristalli, che costituiscono il principale meccanismo per la plasticita', si possa modellare con un energia su campi che presentano delle singolarita' del rotore. Lo studio del comportamento asintotico di queste energia in diversi regimi puo' essere interpretato come una derivazione a partire da una descrizione microscopica delle dislocazioni, di modelli mesoscopici o macroscopici per la plasticita'. L'analisi in termini di Gamma convergenza presenta molte similitudini con i modelli di Ginzburg Landau per lo studio dei vortici con delle difficolta' specifiche che derivano dalla natura vettoriale del problema.

Lunedì 12 marzo 2012
Carlo Sinestrari (Università di Roma "Tor Vergata")
Flusso gradiente generalizzato per la funzione distanza e applicazioni
Consideriamo la funzione distanza dal bordo di un aperto limitato di uno spazio euclideo o di una varieta' riemanniana. E' noto che a questa funzione si puo' associare un flusso gradiente, da intendersi in senso generalizzato in quanto la funzione non e' ovunque derivabile. Il risultato principale che esponiamo, ottenuto in collaborazione con P. Albano, P. Cannarsa e K. T. Nguyen, mostra che ogni traiettoria del flusso che raggiunge l'insieme singolare della distanza vi rimane per tutti i tempi successivi. Tale proprieta' e' legata ad una stima ottimale di semiconcavita' per la funzione distanza in un generale spazio ambiente riemanniano. Come applicazione, si ottiene l'equivalenza omotopica tra un aperto limitato e l'insieme singolare della sua funzione distanza.

Lunedì 19 marzo 2012
Jose' M. Mazon (Università di Valencia)
An optimal transportation problem with import/export taxes on the boundary
In this lecture we analyze a mass transportation problem in a bounded domain in which there is the possibility of import/export mass across the boundary paying a tax fee in addition to the transport cost. We show a general duality argument and for the dual problem we find a Kantorovich potential as the limit as p tends to infinity of solutions to p-Laplacian type problems with non-homogeneous Dirichlet restrictions on the boundary.

Lunedì 26 marzo 2012
Thomas Bartsch (University of Giessen)
Solitary waves for coupled Gross-Pitaevskii equations
Coupled Gross-Pitaevskii equations have found considerable interest for many years, being motivated by various problems in mathematical physics. We present existence results for vector solitary wave solutions achieved in the last years using variational methods.

Lunedì 26 marzo 2012
Stephan Luckhaus (Università di Lipsia)
Almost quasi minimizers of the Mumford-Shah functional and optimal shape for the Robin condition
The Mumford-Shah functional was originally defined as the $(n-1)$-measure of a closed set plus the Dirichlet integral on the complement. Since there is no semicontinuity for this functional, it was redefined in terms of SBV functions by De Giorgi. The main step in going back to the original formulation is a lower density estimate for the energy of minimizers at each point of their jump set. We are generalizing this result and simplifying the proof, so that it can be applied to weak solutions of shape optimization with Robin boundary condition.

Lunedì 16 aprile 2012
P.N.Srikanth (TIFR Centre for Applicable Mathematics - Bangalore - India)
On a problem of Resonance
In this talk we will discuss the question of existence of solutions for the equation $$ -\Delta u =\lambda_1 u +e^u -f \mbox{ in } \Omega $$ $$ u = 0 \mbox{ on } \partial \Omega $$ when $\Omega$ is ball in ${{I\!\!R}}^2$ and $f$ is radial satisfying \begin{equation}\label{eq1} \int\limits_\Omega f \varphi _1 > 0 \qquad\qquad \qquad (1) \end{equation} where $\varphi_1$ is the eigenfunction corresponding to the first eigen value of $ `` - \Delta" $ with Dirichlet boundary condition. Note (1) is a necessary condition for existence and we will show it is also sufficient. In the talk we will also introduce Resonance problems and the reason for study of such problems before going into some details about $(P_f).$

Lunedì 23 aprile 2012
Flavia Smarrazzo (Sapienza Università di Roma)
Soluzioni a valori-misura per una classe di equazioni paraboliche quasi-lineari
Problemi iniziali ed al contorno per equazioni paraboliche quasi-lineari della forma $u_t=\Delta\phi(u)$, con una misura di Radon limitata come dato iniziale, sono stati largamente studiati, considerando principalmente soluzioni che, per ogni tempo strettamente positivo, assumono valori in un qualche spazio di funzioni sommabili o limitate. Al contrario, per non-linearità $\phi$ con saturazione all'infinito, in questo seminario verranno definite e studiate soluzioni a valori-misura, ovvero soluzioni che per tempi positivi assumono valori nello spazio delle misure di Radon limitate. In particolare, saranno descritti risultati ottenuti in collaborazione con M. M. Porzio ed A. Tesei che riguardano l'unicità, la dinamica della parte diffusa e della parte concentrata di tali soluzioni rispetto alla capacità Newtoniana ed il carattere monotono nel tempo della loro parte singolare (rispetto alla decomposizione di Lebesgue). Infine, per quanto concerne eventuali proprietà qualitative ed effetti regolarizzanti, verranno fornite condizioni sui dati iniziali e sull'ordine di degenerazione a zero di $\phi'(u)$ nel limite per $u\to\infty$ affinchè tali soluzioni a valori-misura regolarizzino istantaneamente a funzioni nello spazio di Lebesgue $L^1$.

Lunedì 7 maggio 2012
Enzo Mitidieri (Università di Trieste)
Su una congettura di James Serrin
Recentemente James Serrin ha formulato alcuni problemi riguardanti una classe generale di problemi quasilinear ellittici associati ad operatori differenziali debolmente ellittici. Durante il seminario presenterò qualche contributo riguardante la soluzione di questi problemi. In particolare mi occuperò dei seguenti:
$P_1$: Sia $q > p- 1> 0$. Se $u\in W^{1,p}_{loc}(R^N)\cap L^q_{loc}(R^N)$ è una soluzione debole di \[ (1)\qquad \Delta_p u =|u|^{q-1} u \qquad su \qquad R^N\qquad \] allora $u \equiv 0$ quasi ovunque su $R^N$.
$P_2$: Sia $q > p -1> 0$. Sia $f\in L^1_{loc}(R^N)$. Allora il problema, \[ (2)\qquad \Delta_p u =|u|^{q-1} u +f \qquad su \qquad R^N\qquad \] possiede al più una soluzione $u\in W^{1,p}_{loc}(R^N)\cap L^q_{loc}(R^N)$.
La soluzioni di $P_1$ è stata ottenuta recentemente da Farina e Serrin (2010) sotto ipotesi più forti sulle soluzioni. La soluzione completa di $P_1$ sotto l'ipotesi $u\in W^{1,p}_{loc}(R^N)\cap L^q_{loc}(R^N)$ richiede la validità di una versione quasilineare della diseguaglianza di Kato combinata con stime capacitarie e la versione debole della disuguaglianza di Harnack. Presenterò la soluzione di $P_2$ nel caso $1 < p\leq 2$. Il caso $p > 2$ è aperto.
Tutti i risultati sono stati ottenuti in collaborazione con Lorenzo D'Ambrosio (Diparti mento di Matematica - Università di Bari).

Lunedì 14 maggio 2012
Enrike Zuazua (BCAM - Basque Center for Applied Mathematics)
Optimal placement of sensors and actuators for waves
In this lecture we address the problem of the optimal placement of sensors and actuators for wave equations. We shall describe the links with the dynamics of the billiard indicating some (more or less) intuitive properties and rules one should take into account when facing these design problems. In some particular cases, using Fourier series representations the problem can be recast as an optimal design one involving all the spectrum of the laplacian. We shall develop a complete theory allowing to distinguish, depending on the complexity of the data to be observed/controlled, cases in which the solution is a classical set constituted by a finite number of simply connected subdomains, from others in which the optimal set is of Cantor type or those when relaxation occurs. These results will be illlustrated by numerical simulations. The lecture is base don recent joint work in collaboration with Y. Privat and E. Trélat.

Lunedì 21 maggio 2012
COLLOQUIO DI ANALISI MATEMATICA
Lawrence C. Evans (Berkeley, University of California)
Adjoint methods for the infinity Laplacian
I will firstly explain the general principle that in studying nonlinear PDE it is often useful to introduce Green's function for the linearization. I will then illustrate this principle with applications to the infinity Laplacian.

Lunedì 28 maggio 2012
Kay Kirkpatrick (University of Illinois)
Bose-Einstein condensation, quantum many-body systems, and a central limit theorem
Near absolute zero, a gas of quantum particles can condense into an unusual state of matter, called Bose-Einstein condensation (BEC), that behaves like a giant quantum particle. The rigorous connection has recently been made between the physics of the microscopic many-body dynamics and the mathematics of the macroscopic model, the cubic nonlinear Schrodinger equation (NLS). I'll discuss recent progress with Gerard Ben Arous and Benjamin Schlein on a central limit theorem for the quantum many-body systems, a step towards large deviations for Bose-Einstein condensation.

Lunedì 4 giugno 2012
Nadia Ansini ( Sapienza Università di Roma)
Gamma-convergenza e H-convergenza di operatori ellittici lineari
Si considera una famiglia di problemi di Dirichlet per operatori lineari del secondo ordine in forma di divergenza. Se le matrici (soddisfacenti condizioni di crescita e di uniforme ellitticità) sono simmetriche, la convergenza delle soluzioni dei problemi di Dirichlet può essere equivalentemente studiata attraverso la Gamma-convergenza di forme quadratiche o la G-convergenza delle matrici simmetriche. Nel seminario presento alcuni lavori, in collaborazione con G. Dal Maso e C.I. Zeppieri, in cui si considera il caso di matrici non simmetriche e si dimostra l'equivalenza tra la H-convergenza delle matrici e la Gamma-convergenza di forme quadratiche opportunamente associate. In particolare, si dimostra la compattezza della H-convergenza applicando risultati generali di Gamma- convergenza per funzionali integrali con condizioni al bordo di Dirichlet e vincolo di divergenza.

Lunedì 11 giugno 2012
Pavol Quittner ( Comenius University, Bratislava)
Symmetry of components for semilinear elliptic systems
We give sufficient conditions ensuring that any positive classical solution $(u,v)$ of an elliptic system in the whole space $R^n$ has the symmetry property $u=v$. As an application, we improve some known results on Sobolev-critical elliptic systems of Schroedinger type. Our techniques apply to some supercritical problems as well. We also obtain new Liouville-type theorems for non-cooperative systems. Moreover, we provide some counter-examples which indicate that our assumptions are in a sense necessary. Our proofs are based on suitable maximum principle arguments, combined with properties of spherical means of superharmonic functions and on some appropriate auxiliary functions. This is a joint work with Philippe Souplet.