Lunedì 10 giugno 2013 -  COLLOQUIUM DI ANALISI MATEMATICA

Alessio Figalli (The University of Texas at Austin)
Stability results for the semisum of sets in $\mathbb{R}^n$

Given a Borel A in $\mathbb{R}^n$ of positive measure, one can consider its semisum S=(A+A)/2. It is clear that S contains A, and it is not difficult to prove that they have the same measure if and only if A is equal to his convex hull minus a set of measure zero. We now wonder whether this statement is stable: if the measure of S is close to the one of A, is A close to his convex hull? More in general, one may consider the semisum of two different sets A and B, in which case our question corresponds to proving a stability result for the Brunn-Minkowski inequality. When n=1, one can approximate a set with finite unions of intervals to translate the problem onto $\mathbb{Z}$, and in the discrete setting this question becomes a well studied problem in additive combinatorics, usually known as Freiman's Theorem. In this talk I will review some results in the one-dimensional discrete setting, and show how to answer to this problem in arbitrary dimension.

Stefania Patrizi (Instituto Superior Técnico, Lisbon)
Omogeneizzazione stocastica di equazioni di tipo porous medium

In un recente lavoro, Ambrosio, Frid e Silva studiano un problema di omogeneizzazione per una classe di equazioni di tipo porous medium in cui la funzione flusso è un processo stocastico stazionario su uno spazio di probabilità compatto. Noi estendiamo il loro risultato al caso generale, rimuovendo l'ipotesi di compattezza dello spazio di probabilità. Passando dalla scala microscopica a quella macroscopica, dimostriamo la convergenza in probabilità della soluzione del problema riscalato alla soluzione di un'equazione di tipo porous medium deterministica.

Alberto Cialdea (Università della Basilicata)
Sulla dissipatività in $L^{p}$ degli operatori differenziali alle derivate parziali

In questo seminario discuterò alcuni risultati ottenuti in collaborazione con Vladimir Maz'ya. Questi riguardano la dissipatività negli spazi $L^{p}$ ($1 < p < +\infty $), degli operatori differenziali alle derivate parziali. Per diverse classi sia di equazioni scalari che di sistemi, abbiamo determinato le condizioni algebriche necessarie e sufficienti che devono essere soddisfatte dall'operatore differenziale perché esso risulti $L^{p}$-dissipativo.

Fabio Cavalletti (RWTH-Aachen)
Singular spaces with generalized lower curvature bound

Lower curvature bounds play an important role in the study of singular spaces. In 2005 Lott, Sturm and Villani presented a synthetic definition in terms of Optimal Transportation of a metric space endowed with a reference measure verifying Ricci curvature greater than K and dimension less than N. By synthetic we mean equivalent to the standard one in the smooth framework but still meaningful for metric measure spaces. This definition is called CD(K,N). We will give a short introduction to CD(K,N) spaces and to some related problems with particular emphasis to the so called local-to-global problem.

Miguel Escobedo (Universidad del País Vasco)
Blow-up for a time-oscillating nonlinear heat equation

I will study a nonlinear heat equation with a periodic timeoscillating term in factor of the nonlinearity. In particular, I will give examples showing how the behavior of the solution can drastically change according to both the frequency of the oscillating factor and the size of the initial value.

Guido De Philippis (Hausdorff Center for Mathematics, Bonn)
The sharp Faber-Krahn inequality

The classical Faber-Krahn inequality asserts that balls (uniquely) minimize the first eigenvalue of the Dirichlet-Laplacian among sets with given volume. I will show a sharp quantitative enhancement of this result, confirming a conjecture by Nadirashvili and Bhattacharya-Weitsman: \[ \lambda_1(\Omega)-\lambda_1(B_1)\ge c_N \mathcal A (\Omega)^2\qquad \text{for all \(\Omega\subset \mathbb R^N\) such that \(|\Omega|=|B_1|\)}, \] where \(\mathcal A(\Omega)\) is the Frankel asymmetry of a set: \[ \mathcal A(\Omega)=\inf_{x_0\in \mathbb R^N} |\Omega \Delta B_1(x_0)|. \] More generally, the result applies to every optimal Poincar\'e-Sobolev constant for the embeddings $W^{1,2}_0(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega)$.


Thierry Gallouët (Université de Provence)
Compressible Stokes and Navier Stokes equations

I will first give two (similar) ways for proving the existence of a weak solution for the compressible (stationary) stokes problem : passing to the limit using (in particular) a viscous approximation of the mass conservation or passing to the limit using a convenient numerical scheme. I will also briefly show how to use this method for the compressible Navier-Stokes eqautions and how to extend the method for the evolution problem.

Andrea Braides (Università di Roma Tor Vergata)
Local minimization, variational evolution and Gamma-convergence

The limit behaviour of variational systems depending on small parameters (e.g. homogenization, phase transitions, etc.) is often successfully described in terms of Gamma-convergence both in the static and quasi-static case as long as a global minimization problem can be formulated. In general, Gamma-convergence is less useful if a local minimization (in the static picture) or gradient flow (in the dynamic case) standpoint is taken. I will recall the (few) known results, and explore some directions of research that take the Gamma-limit as a starting point to obtain "corrected" theories suitable for the description of local minimization or evolutionary problems.

Diego Córdoba (ICMAT Madrid)
Turning and breakdown of waves for incompressible fluids

We consider the evolution of an interface generated between two immiscible, incompressible and irrotational fluids. Specifically we study the Muskat equation (the interface between oil and water in sand) and water wave equation (interface between water and vacuum). For both equations we show the existence of smooth initial data for which the smoothness of the interface breaks down in finite time. Joint work with A. Castro, C. Fefferman, F. Gancedo, J. Gomez-Serrano and M. Lopez-Fernandez.

Massimiliano Morini (Università di Parma)
Motion of elastic films by anisotropic surface diffusion with curvature regularization

We present short time existence, uniqueness, and regularity results for a surface diffusion evolution equation with curvature regularization in the context of epitaxially strained two-dimensional films. The proof is based on the De Giorgi's minimizing movements approach, which exploits the gradient flow structure (with respect to the norm of a suitable negative Sobolev space) of the evolution law.

Piermarco Cannarsa (Università di Roma Tor Vergata)
Controllability and Lipschitz stability for degenerate parabolic operators of Grushin type

Baouendi-Grushin operators are important classes of degenerate elliptic operators which are strongly connected with other domains of mathematics such as subriemannian geometry. Parabolic problems associated with such operators possess very interesting properties from the point of view of controllability, with different kinds of behaviour depending on parameters. These properties will bediscussed in this seminar, as well as an inverse source problem for such operators.

Carlos Kenig (University of Chicago)
The energy critical nonlinear wave equation in 3D

We will discuss recent works with Duyckaerts and Merle, dealing with global well posedness, blow-up and soliton resolution, for the energy critical wave equation.

Ludovic Rifford (Université de Nice)
Generic Aubry sets on surfaces

Given a Tonelli Hamiltonian on a compact manifold, we can construct a compact invariant subset of the cotangent bundle enjoying variational properties which has the distinguished property of being a Lipschitz graph. This set called Aubry set captures many important features of the Hamiltonian dynamics. Fathi established a bridge between the Aubry-Mather theory and the properties of viscosity solutions and subsolutions of the critical Hamilton-Jacobi equation, thus giving rise to the weak KAM theory. A famous open problem concerning the structure of the Aubry set is the so-called Mañé conjecture, which states that, for a generic Hamiltonian, the Aubry set is a hyperbolic orbit. The aim of this talk is to present some of the ideas to prove that generic Aubry sets on surfaces are hyperbolic. This is a joint work with Alessio Figalli and Gonzalo Contreras.

Antonio Siconolfi (Sapienza Università di Roma)
Omogeneizzazione di equazioni di Hamilton-Jacobi modellata su varieta' compatte arbitrarie

Mostriamo che i risultati sull'omogeneizzazione periodica di equazioni di Hamilton-Jacobi possono essere generalizzati sostituendo il toro con una qualsiasi varieta' compatta. Un tale approccio consente di individuare fenomeni in qualche modo nascosti nel caso periodico, ad esempio il fatto che lo spazio ambiente delle equazioni contenenti il parametro di oscillazione e quello del problema limite sono differenti, ed hanno addirittura dimensioni diverse. In questo rispetto viene proposta e studiata una nozione opportuna di convergenza. La struttura di ripetizione per la varieta' di base, i cambi di scala, e l'analisi asintotica, che sono gli ingredienti base della procedura di omogeneizzazione, richiedono modifiche sostanziali per essere adattati al nuovo quadro, e questo viene in parte realizzato tramite strumenti della topologia algebrica.

Aldo Pratelli (Erlangen University)
Il problema isoperimetrico con densità: esistenza, regolarità, e limitatezza delle soluzioni

In questo seminario discuteremo il problema isoperimetrico su $\mathbb{R}^N$ dotato di una densità; in altre parole, ci si preoccupa di minimizzare il perimetro a volume fissato, considerando però perimetro e volume rispetto ad una assegnata funzione semicontinua inferiormente su $\mathbb{R}^N$. Molti casi particolari di questo problema sono stati e sono studiati intensamente per la loro importanza in varie applicazioni, mentre sono meno i risultati noti con ipotesi generali sulla densità; più precisamente, fino a pochi mesi fa praticamente niente era noto per densità che non fossero almeno Lipschitz. Ci occuperemo di descrivere il caso di densità che siano soltanto Holderiane, o anche solo continue, e di studiare le tre questioni principali, ossia l'esistenza di insiemi isoperimetrici, la loro limitatezza, e la loro regolarità; daremo poi un elenco delle principali questioni aperte al riguardo (lavoro in collaborazione con Eleonora Cinti).

Annalisa Cesaroni (Università di Padova)
Some results on the long time behaviour of forced mean curvature flow.

I will discuss some results on the existence and stability of traveling wave solutions for the forced mean curvature flow. I will present also some related results on homogenization of mean curvature flow in highly oscillating media.

José M. Mazón (Universitat de Valencia)
A non-homogeneous elliptic problem dealing with the level set formulation of the inverse mean curvature flow

This lecture deals with the following problem, let us call it (P): \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle - {\rm div} \left(\frac{Du}{\vert Du \vert} \right) + \vert Du \vert = f\,, \quad & \hbox{in} \ \ \Omega\,; \\ \\ u = 0\,, \quad & \hbox{on} \ \ \partial E_0\,; \\ \\ \displaystyle\lim_{\vert x \vert \to \infty} u(x) = +\infty\,; \end{array} \right. \end{equation} where $\Omega = {\mathbb R}^N \backslash \overline{E_0}$, being $E_0$ an open bounded set having Lipschitz-continuous boundary, and $0 \leq f \in L^{\infty}(\Omega)$. We introduce a natural concept of weak solution and prove existence, uniqueness and a comparison principle. In the homogeneous case, $f=0$, problem (P) deals with the level set formulation of the inverse mean curvature flow in an Euclidean space, studied by Huisken-Ilmanen and Moser. To prove the existence of solution of problem (P) we approximate it by the following problems related to the $p$-Laplacian operator: \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} - \Delta_p(u) + \vert \nabla u \vert^p = f\,, \quad & \hbox{in} \ \ \Omega\,; \\ \\ u = 0\,, \quad & \hbox{on} \ \ \partial E_0\,; \\ \\ \displaystyle\lim_{\vert x \vert \to \infty} u(x) = +\infty\,; \end{array} \right. \end{equation} where $\Delta_p(u):= {\rm div} \left( \vert \nabla u \vert^{p-2} \nabla u \right)$, with $1 < p \le2$. We show that the approximating problems are well-posed. Let us point out that this result is new, as far as we know, and interesting in itself.

Giampiero Palatucci (Università di Parma)
Asymptotics of the nonlocal perimeter functional

I will deal with the asymptotic behavior of the s-Perimeter as s goes to 0, providing an explicit formulation in terms of the Lebesgue measure. Moreover, I will construct some examples of sets for which such limit does not exist, and I will present related open problems. This talk is based on a joint work with S. Dipierro, A. Figalli and E. Valdinoci.

Vieri Benci (Università di Pisa)
Soluzioni generalizzate ed ultrafunzioni

La teoria delle distribuzioni ci fornisce la nozione di soluzione generalizzata per problemi che non hanno soluzioni classiche. Comunque ci sono problemi che non hanno soluzione neppure nello spazio delle distribuzioni. Come problema modello possiamo pensare a \begin{eqnarray*} u &\in &H_{0}^{1}(\Omega ),\ \Omega \ \text{aperto, limitato, stellato} \\ -\triangle u &=&u^{p-1}\ ,\ p\geq \frac{2N}{N-2},\ \ u>0 \end{eqnarray*} Avendo come modello questo problema, costruiamo una nuova classe di funzioni, chiamate ultrafunzioni, tra le quali questo problema é ben posto ed ha una soluzione (generalizzata). In questa costruzione utilizzeremo le idee generali della Matematica non-Archimedea ed alcune techiche dell'Analisi Non Standard. Se il tempo lo permette, discuteremo anche alcune situazioni proveniente dalla fisica in cui l'uso delle ultrafunzioni sembra fornire modelli appropriati.

Lorenzo Giacomelli (Sapienza Università di Roma)
Il flusso 1-armonico di un campo di versori

Per flusso 1-armonico di un campo di versori si intende, in modo puramente formale, il flusso gradiente (in $L^2$) della variazione totale di un campo vettoriale vincolato ad assumere valori sulla sfera unitaria di $\mathbb R^N$ o su un suo sottoinsieme. Il modello, introdotto per il trattamento di immagini a colori, possiede un interesse teorico come prototipo di problemi di evoluzione in spazi BV di campi vettoriali vincolati. Nel corso del seminario introdurrò un'adeguata formulazione del problema e discuterò alcuni risultati riguardanti l'esistenza (per qualunque N) e l'unicità (per N=2) delle soluzioni. La presentazione minimizzerà i dettagli tecnici e sarà incentrata su tre aspetti essenziali: stime a priori, identificazione di limiti deboli e un problema di semicontinuità inferiore che emerge in modo naturale dall'analisi. Il tutto è frutto di una collaborazione con José Mazon e Salvador Moll (U. Valencia).

Tien Duc Luu (Sapienza Università di Roma)
Regularity of minimal sets in Euclidean space

In the last century, there are major advances on the existence and structure of minimal sets. In 1968, F. Almgren has showed that if a minimal cone over a smooth hypersurface in ${\mathbb R}^4$ is stable, then the cone must be a hyperplane. In 1975, J.Taylor gave a complete local description of two-dimensional minimal surface in ${\mathbb R}^3$. Yet the existence of least-area soap films with given boundary in ${\mathbb R}^3$ and their structure in higher dimensions remains open. In this talk we give some results of regularity of three-dimensional minimal cones in ${\mathbb R}^n$, we also treat the regularity of three-dimensional minimal sets in some particuliar cases.

Juan Casado (Universidad de Sevilla)
Homogenization and correctors for the wave equation

We study the asymptotic behavior of a wave problem with periodic coefficients in the space variable and almost periodic coefficients in the time one. Contrary to the classical result for elliptic or parabolic problems, we prove that the corrector is non-local. Adding terms of first order in the equation, we show that the limit problem is in general non-local.

Renato Lucà (Sapienza Università di Roma)
Disuguaglianze con integrabilità angolare ed applicazioni

Estendiamo alcune disuguaglianze classiche (ad esempio le diseguaglianze di Hardy-Littlewood e Caffarelli-Kohn-Nirenberg) al caso in cui le variabili angolari e radiali hanno differente integrabilità. Come caso particolare otteniamo i risultati noti quando ci si restringe a funzioni a simmetria radiale. Infine mostriamo come queste tecniche possano essere utilizzate nello studio di criteri di regolarità per le soluzioni dell'equazione di Navier-Stokes. I principali risultati sono stati ottenuti in collaborazione con il prof. Piero D'Ancona.

Marta Strani (Sapienza Università di Roma)
Dinamica metastabile di interfacce per leggi di conservazione viscose e sistemi di rilassamento

In questo seminario tratteremo il problema della dinamica metastabile per leggi di conservazione viscose in un intervallo limitato della retta reale. In generale, per questo tipo di equazioni, si osserva come, a partire dal dato inziale, si forma un profilo di shock in un tempo di O(1); il successivo movimento di questo profilo verso la soluzione di equilibrio avviene invece con una velocità che è esponenzialmente piccola rispetto al coefficiente di viscosità. Saranno quindi presentati risultati rigorosi che descrivono la dinamica della posizione dello strato di shock. Applicheremo poi le stesse tecniche al sistema di Jin-Xin, che rientra nella classe più generale dei sistemi parabolici-iperbolici di rilassamento. I risultati ottenuti sono frutto della collaborazione con C. Mascia.

Roberto Natalini (Istituto per le Applicazioni del Calcolo "M. Picone"   -  CNR)
Alcune cose che mi sembra di aver capito su come si muovono gli aggregati di cellule e la possibilità di descriverli attraverso modelli matematici

Le cellule (batteri, amebe, staminali o altro) si muovono, si aggregano e si organizzano guidate da vari tipi di stimoli (chimici, luminosi, meccanici). Tutta la vita che conosciamo è basata sull'auto-organizzazione di questi aggregati e sono stati proposti un certo numero di modelli matematici per descriverne il comportamento, benché almeno per ora nessuno di questi modelli funzioni in modo completamente soddisfacente. In questo seminario cercherò di presentare alcuni risultati che ho ottenuto negli ultimi anni, in alcuni lavori in collaborazione, su alcuni modelli a velocità finita (=iperbolici). Parlerò di pesci zebra (un accenno), movimenti di e. coli (un bel po'), vasculogenesi (poco, ma c'è un risultato interessante), movimenti di staminali su strutture polimeriche (quanto basta), crescite di biofilms (se ci riesco).

Vladimir Maz'ya (University of Liverpool and University of Linkoeping)
Higher Order Elliptic Problems in Non-Smooth Domains

We discuss sharp continuity and regularity results for solutions of the polyharmonic equation in an arbitrary open set. The absence of information about geometry of the domain puts the question of regularity properties beyond the scope of applicability of the methods devised previously, which typically rely on specific geometric assumptions. Positive results have been available only when the domain is sufficiently smooth, Lipschitz or diffeomorphic to a polyhedron. The techniques developed recently allow to establish the boundedness of derivatives of solutions to the Dirichlet problem for the polyharmonic equation under no restrictions on the underlying domain and to show that the order of the derivatives is maximal. An appropriate notion of polyharmonic capacity is introduced which allows one to describe the precise correlation between the smoothness of solutions and the geometry of the domain.

Qidi Zhang ( Sapienza Università di Roma)
On growth of Sobolev norms of solutions to time-dependent Schroedinger equations

Let us consider the linear Schroedinger equation on the torus with a time dependent Gevrey potential. We shall show that the $H^s$ norm of the solution grows at most logarithmically. This extend the results of Wei-Min Wang, which deals with analytic potentials in dimension $1$.

Daniele Bartolucci (Università di Roma Tor Vergata)
Disuguaglianze di tipo Moser-Trudinger con pesi ed equazioni di Liouville con dati singolaris

L'analisi dell' equazione di Liouville con dati singolari suggerisce naturalmentre lo studio di una disuguaglianza di tipo Moser-Trudinger con peso. Dopo una introduzione al problema e alle sue motivazioni, discuteremo una nuova disuguaglianza pesata di tipo Moser-Trudinger ottenuta imponendo un vincolo non-radiale sulla distribuzione di massa. Discuteremo poi alcuni nuovi risultati di esistenza per l'equazione di Liouville singolare nel caso sopracritico sui domini semplicemente connessi e sulla sfera. Questi risultati sono stati ottenuti in un recente lavoro in collaborazione con A. Malchiodi.

Mohameden Ould Ahmedou (Università di Giessen)
Critical point at Infinity approach to Liouville Equations

We consider critical and supercritical Liouville equations on surfaces and on domains of $\mathbb{R}^2$ under Dirichlet boundary conditions. Using some tools of the "critical point theory at Infinity" of A. Bahri, we derive new existence and multiplicity results. In particular we provide an Euler-Hopf type criterium for the existence of solutions in the so called "resonant case" when the involved parameter is a multiple of $8 \pi.$ Such a criterium can be seen as a generalization of celebrated the degree formula of C.C.Chen and C.S. Lin.

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