Programma del corso Probabilità 1 (Canale 1)

Corso di Laurea Triennale in Matematica A.A. 2020/21, Prof. L. Bertini.

• Introduzione alla teoria della probabilità. Assiomi e regole di corrispondenza.
• Spazi di probilità discreti, eventi e loro operazioni.
• Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione. Coefficienti binomiali e multinomiali.
• Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento.
• Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti. Schemi di Bernoulli.
• Distribuzione binomiale, multinomiale e ipergeometrica.
• Probabilità condizionate. Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes.
• Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità.
• Passeggiata aleatoria unidimensionale. Problema della rovina del giocatore.
• Passeggiata aleatoria simmetrica semplice d-dimensionale: ricorrenza e transienza.
• Passeggiata aleatoria simmetrica semplice unidimensionale: calcolo della probabilià di primo ritorno nell'origine.
• Variabili aleatorie discrete: distribuzione, valore di attesa, varianza e covarianza.
• Variabili aleatorie indipendenti.
• Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali.
• Variabile geometrica e sua perdita di memoria, variabile binomiale negativa.
• Somma di variabili aleatorie indipendenti.
• Variabile di Poisson come limite di binomiali.
• Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate.
• Diseguaglianza di Chebyshev e legge dei grandi numeri.
• Dimostrazione probabilistica del teorema di Weierstrass sull'approssimazione di funzioni continue con polinomi.
• Valore di attesa condizionato e sua interpretazione geometrica.
• Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore di attesa e varianza.
• Variabile aleatoria uniforme. Rappresentazione di variabili aleatorie in termini della variabile aleatoria uniforme.
• Variabile esponenziale come limite di geometriche e sua perdita di memoria.
• Variabili aleatorie gaussiane.
• Teorema di De Moivre Laplace sull'approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana.
• Teorema limite centrale per somma di variabili indipendenti (senza dimostrazione)
• Convergenza in legge di variabili aleatorie.
• Variabili alatorie continue ma non assolutamente continue. Funzione di Cantor.
• Processo di Galton-Watson. Probabilità di estinzione.

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