Programma del corso Metodi matematici per la meccanica statistica
Corsi di Laurea Magistrale in Matematica A.A. 2020/21, Prof. L. Bertini.
- Motivazioni.
Dinamiche hamiltoniane a molti gradi di libertà.
Ensembles statistici: microcanonico, canonico e gran canonico.
Misure di Gibbs. Entropia e funzionali termodinamici.
- Meccanica stastica per modelli sul reticolo.
Misure di Gibbs di volume finito, funzione di partizione e limite
termodinamico per la pressione. Misure di Gibbs di volume
infinito: equazioni DLR. Principio variazionale di Gibbs:
entropia relativa e entropia relativa per sito,
stati di volume infinito come funzionali tangenti alla
pressione.
- Teoria delle grandi deviazioni.
Assiomatica di grandi deviazioni, principo delle contrazioni e
asintotica di Laplace-Varadhan. Grandi deviazioni per la misura
empirica: teorema di Sanov. Processo empirico. Grandi deviazioni
per il processo empirico nel caso di variabili indipendenti e per
campi di Gibbs.
- Transizioni di fase.
Ferromagnetismo e temperatura di Curie. Interazione a campo
medio: modello di Curie-Weiss. Unicità dello stato di Gibbs
di volume infinito: criterio di Dobrushin. Sistemi
unidimensionali: matrice di trasferimento e rappresentazione in
termini di catene di Markov stazionarie.
- Modello di Ising.
Transizione di fase nel caso bidimensionale: argomento di Peierls.
Diseguaglianze di Griffith. Ordine stocastico e diseguaglianze
FKG, criterio di Holley. Temperatura critica.
Diseguaglianze GHS e diagramma di fase del modello di Ising.
Stati di Dobrushin. Rappresentazione FK e percolazione.
Fenomeni critici (cenni).