Analisi I

• 2/3/2016: Definizione di spazio metrico, metrica banale, metrica euclidea, metrica lp in $R^N$. Disuguaglianza di Cauchy Schwarz, disuguaglianza di Young, disuguaglianza di Holder. (Riferimento bibliografico: appunti di Orsina, Principia di Analisi matematica di Rudin)
• 3/3/2016: Definizione di spazio normato, metrica definita la norma. Prodotto scalare, norma come radice del prodotto scalare. Norme $L^\infty$, $L^1$ e $L^p$ in $C^o([a,b])$. Disuguaglianza di Minkowski, disuguaglianza di Holder per integrali. (Negli appunti del professor Orsina, gli spazi normati sono nell'ultimissima pagina, ma la parte sulle disuguaglianze di Holder sono fatte per le metriche associate alle norme $L^p$.)
• 7/03/2016 -Convergenza negli spazi metrici. Convergenza uniforme in $C^o([a,b])$, convergenza puntuale, esempi. Spazi $l_p$. Esempi di successioni che convergono in $l_p$. Confronto tra convergenza puntuale e convergenza in norma.
• 9/03/2015- Teorema della convergenza dominata in $l_p$, enunciato e dimostrazione. Inclusioni tra spazi $l_p$. Definizione di intorno negli spazi metrici. Le palle $B_r(x_o)$ in $R^N$ nelle norme $l_p$.
• 10/03/2016. Topologia degli spazi metrici: aperti, chiusi, derivato di un insieme, chiusura e frontiera di un insieme, unione di aperti, intersezione finita di aperti, intersezione di chiusi, unione finita di chiusi. (sempre dagli appunti di Orsina)
• 14/03/2016. Compatti. Dimostrazione che i compatti sono chiusi e totalmente limitati. Dimostrazione che i sottoinsiemi chiusi di compatti sono compatti. Dimostrazione che (R,|.|) non è compatto e dimsotrazione che R munito della metrica d(x,y)=arctg|x-y| non è compatto. Definizione di compatto per successione. Dimostrazione che i compatti sono compatti per successione. Teorema di Heine-Borel.(sempre dagli appunti di Orsina)
• 16/03/2016- Dimostrazione che i compatti per successione sono chiusi e limitati, dimostrazione che i compatti per successione sono compatti nel caso in cui il ricoprimento è numerabile. Dimostrazione che la palla unitaria in $l_2$ non è compatta. Definizione di successione di Cauchy. Dimostrazione che le successioni di Cauchy sono limitate, che se una sottosuccessione di una successione di Cauchy converge allora converge tutta la successione. Definizione di spazio metrico completo.
• 17/03/2016-Funzioni da uno spazio metrico a uno spazio metrico. Definizione di funzione limitata, definizione di limite in un punto, definizione di funzione continua in un punto e in un insieme. Spazio delle funzione limitate L(X,Y) e spazio delle funzioni conitnue e limitate C(X,Y). Completezza di L(X,Y) e C(X,Y) se Y è uno spazio metrico completo. Completezza di $C^o([a,b])$ con la metrico uniforme, non completezza nella metrica $L_1$.
• 21/03/2016-Completezza degli spazi $l_p$. Teorema di completamento di uno spazio metrico con la sua dimostrazione. Il caso di $C^o([a,b])$ con $L_1$. Equivalenza tra spazi metrici compatti, spazi metrici completi e totalmente limitati e spazi metrici compatti per successione.
• 23/03/2016-Continuità, Uniforme continuità, Teorema di Heine Cantor, Teorema delle contrazioni.
• 30/03/2016-Limite puntuale di funzioni di più variabili, esercizi. Funzioni omogenee. Legame tra funzioni Lipschitz e funzioni uniformemente continue.
• 31/03/2016-Studio della Lipschitzianità della funzione $|x|^\alpha$. Funzioni di più variabili: insieme di defizione, grafico, insiemi di livello, esempi. Successioni di funzioni, convergenza uniforme, convergenza esempi di successioni di funzioni. Convegenza uniforme di funzioni con derivate equilimitate. Passaggio al limite sotto segno di integrale per successioni convergenti uniformemente. Esempi.
• 04/04/2016 Piccolo teorema del Dini (cioe' le successioni monotonedi funzioni continue su un compatto convergono uniformemente al loro limite puntule). Convergenza uniforme di funzioni mnotone in un intervallo.
• 06/04/2016 Richiami: definizioni varie di serie, convergenza, divergenza etc, serie geometrica, criterio di Cauchy e corollario sulla condizione necessaria della convergenza. Serie armonica come controesempio di serie divergente con termine generale infinitesimo. Serie a termini non negativi, confronti, criterio della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti: teorema 15.1 del Giusti con due dimostrazioni inclusa quella basata sul criterio di Cauchy. Serie alternata e criterio di Leibniz: teorema 15.2 del Giusti. Stima dell'errore.
• 07/04/2016 serie armonica a segni alterni come esempio di serie semplicemente ma non assolutamente convergente; riordinamenti, teoremi 16.1-16.2 del testo di Giusti.
• 11/04/2016 Esercizi sui limiti di funzioni di più variabili. Esercizi sull'uniforme continuit\a. Condizione necessaria per l'uniforme continuit\a in $R$.
• 13/04/2016 Esercizi per l'esonero
• 14/04/2016 Esercizi per l'esonero
• 27/04/2016 Serie di funzioni: convergenza puntuale, convergenza uniforme e convergenza totale. Definizione e implicazioni. Serie di funzioni a somme alterne.
• 28/04/2016 Serie di potenze in ambito complesso. Convergenza, raggio di convergenza e le sue proprietà. Funzione esponenziale complessa. Formula di Eulero. Funzione seno e coseno in ambito complesso. Serie di Taylor. FUnzioni analitiche. Esempio di funzione infinite volte derivabile ma non analitica. Condizione sufficiente per l'analiticità.
• 2/05/2016 Integrali impropri: definizione, criteri di convergenza di funzioni positive, criterio del confronto e del confronto asintotico. Esempi: Funzione Gamma, Distribuzione normale.
• 4/05/2016 Convergenza assoluta. Teorema della convergenza dominata. Limite superiore e limite inferiore, definizione.
• 5/05/2016 Ancora sulla formula di Taylor e esercizi
• 9/05/2016 Serie di Fourier: Funzioni periodiche, Definizione di somma di Fourier, calcolo dei coefficienti di Fourrier, teorema della convergenza puntuale(enunciato), calcolo della serie di Fourier per le funzioni "x" e "x^2" prolungate per periodicità. Disuguaglianza di Bessel (enunciato).
• 11/05/2016 Serie di Fourier: Dimostrazione della disuguaglianza di Bessel, "base ortonormale", Nucleo di Dirichlet, dimostrazione della convergenza puntuale per funzioni $C^1$ e periodiche.
• 12/05/2016 Serie di Fourier: Convergenza della Serie di Fourier della derivata continua di una funzione, convergenza uniforme della serie di Fourier per le funzioni $C^1$. Connessione tra le serie di Fourier e la corda oscillante (cenni).
• 16/05/2016: Equazioni Differenziali: definizione di soluzione, problema di Cauchy. Esempi: equazione logisitica, oscillatore armonico. Equivalenza di equazione di ordine "n" con sistemi di n equazioni di ordine 1.
• 18/05/2016:Equazioni Differenziali: Teorema di esistenza e unicità di Cauchy con la sua dimostrazione. Un caso di non unicità. Equazioni a variabili separabili.
• 19/05/2016:Equazioni Differenziali: Ancora sulle equazioni a variabili separabili, vari esempi.
• 23/05/2016: Prolungamenti e soluzioni massimali. soluzioni di una equazione lineare del primo orddine non omogenea e le equazioni di tipo Bernoulli
• 25/05/2016: teorema di esistenza e unicità globale, esempi
• 26/05/2016. Sistemi di equazioni del primo ordine. Spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione omogenea. Spazio affine delle soluzioni dei sistemi non omogenei. Matrice fondamentale, formula di Duhamel. Wronskiano.
• 30/05/2016: Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee. Classificazione delle soluzioni. Il caso non omogeneo con le variazioni delle costanti e con il metodo delle somiglianze.
• 01/06/2016. Sistemi lineari di EDO. Esponenziale di una matrice, definizione, proprietà. Soluzione del proble di Cauchy. Formula di Duhamel. Il caso di sistemi due per due.