Analisi II

• 29 Settembre: Derivate direzionali, derivate parziali, differenziabilità. Iperpiano tangente. Teorema del differenziale totale. Equazione di Trasporto omogenea.
• 30 settembre: Significato del gradiente, curve di livello. Derivazione di ordine superiore: Teorema di Schwartz, controesempio e dimostrazione. Matrice Hessiana, calcolo dell'Hessiana di |x|.
• 2 Ottobre: sviluppo di Taylor. Teorema su funzioni con gradiente identicamente nullo. Punti estremali e loro caratterizzazione.
• 6 Ottobre. Funzioni convesse: definizione, esempi. Continuità delle funzioni convesse. Caratterizzazione delle funzioni convesse differenziabili e di quelle due volte differenziabili.
• 7 ottobre. Funzioni omogenee: formula di Eulero. Cenni sulle EDP.
• 9 ottobre. Esercizi.
• 13 ottobre. Curve parametrizzate: definizione. Curve chiuse, semplici, regolare. Curve rettificabili e lunghezza di una curva, il caso delle curve regolari.
• 14 ottobre. Rettificabilità delle curve concatenate e dunque delle curve regolari a tratti. Curve equivalenti hanno la stessa lunghezza. Integrali curvilinei. Curva di Hilbert-Peano.
• 16 ottobre. Teorema delle funzioni implicite in dimensione 2 enunciato, dimostrazione, generalizzazioni e esercizi.
• 20 Ottobre. Teorema delle funzioni implicite il caso generale con la dimostrazione.
• 21 Ottobre. Applicazioni del teorema delle funzioni implicite: Teorema di inversione locale, massimi e minimi vincolati.
• 23 ottobre. Metodo di Lagrange. Applicazioni: caratterizzazione degli autovalori di una matrice. Media geometrica minore o uguale della media aritmetica. Cenni sul teorema di inversione globale.
• 27 ottobre. Misura di Lebesgue. Pluriintervallo, misura di un aperto, misura di un chiuso. Misura esterna, misura interna. Insiemi misurabili. Prime proprietà.
• 28 Ottobre. Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Misura dell'unione, dell'intersezione e diffferenza di insiemi misurabili. Misurabilità dell'unione e intersezione numerabile di aperti. Insieme di Cantor. Misurabilita' dell'insieme dei razionali dell intervallo [0,1].
• 30 Ottobre. Integrale di Lebesgue, prime proprietà.
• Settimana 3-7 novembre esercizi
• settimana 10-14 novembre Esonero
• 17 novembre: Richiamo sulle definizioni di integrale di Lebesgue. confronto con l'integrale di Riemann. Proprietà elementari: linearità, monotonia, etc..
• 18 Novembre. Teorema di Beppo Levi, Lemma di Fatou, convergenza dominata di Lebesgue.
• 20 novembre: Teorema di Fubini.
• 24 novembre: Teoremi di cambi di coordinate: diffeomorfismi.Il caso lineare, il caso genereale.
• 27 novembre fine della dimostrazione. I casi delle coordinate polari piano e spazio. Coordinate cilindriche.
• 1 Dicembre: Forme differenziali e campi vettoriali. Esatti, conservativi.
• 2 dicembre: Insiemi stellati, semplicemente connessi. Forme chiuse, forme esatte. Campi irrotazionali.
• 4 Dicembre: Teorema di Gauss Green.
• 9 dicembre: Fine della dimostrazione del Teorema di Gauss-Green. Aperto connesso implica aperto connesso per archi. Identità di Green e unicità della soluzione per il problema di Dirichlet.