CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN ARCHITETTURA a.a. 2015/2016 PROGRAMMA DEL CORSO - Istituzione di Matematica I A.A. 2015/2016. 1. Preliminari Cenni di logica delle proposizioni. Gli insiemi: operazioni e relative proprietà (l'unione, l'intersezione). Gli insiemi numerici. I naturali, gli interi, i razionali, i reali. Gli intervalli dell'asse reale, insiemi aperti e chiusi. Coordinate cartesiane di punti del piano e dello spazio. 2. Spazi vettoriali Definizione di spazio vettoriale, esempi geometrici, fisici e analitici (spazio vettoriale dei polinomi) Somma di due vettori e prodotto per uno scalare: definizione e loro interpretazione geometrica e fisica etc... Componenti di vettori del piano e dello spazio. Somma di vettori e prodotto di un vettore per uno scalare in termini delle loro coordinate. Combinazione lineare tra vettori. Dipendenza ed indipendenza lineare. Norma di un vettore: definizione e proprietà. Versori. Prodotto scalare: definizione geometrica e proprietà. Caratterizzazione del prodotto scalare in termini delle componenti dei vettori. Ortogonalità. Prodotto vettoriale: definizione geometrica e sue proprietà. 3. Algebra lineare Equazioni lineari. Sistemi lineari. Equivalenza di sistemi, matrici, equivalenza per righe di matrici. Matrici ridotte, matrici triangolari. Rango di una matrice. Compatibilità e incopatibilità di un sistema lineare. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Dimensione delle soluzioni di un sistema omogeneo. Discussione di sistemi dipendenti da parametri. Determinante di una matrice quadrata. Minori di una matrice. Definizione di rango usando i determinanti. Invarianza del determinante rispetto a operazioni tra righe e tra colonne. Il determinante di matrici triangolari. Rango di una matrice e dipendenza e indipendenza lineare dei vettori righe e dei vettori colonna. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Le basi canoniche di E2 ed E3. Cambiamenti di riferimento. Cambiamenti di coordinate nel piano e nello spazio. Cambiamenti di coordinate ortonormali (rotazioni e traslazioni). Prodotto tra matrici (righe per colonne). Notazioni matriciali per i cambiamenti di riferimento. Matrice del cambiamento di riferimento. Matrice trasposta, matrice identità e matrice inversa. Trasformazioni lineari (esempi: omotetie, rotazioni, trasformazioni diagonali). Autovalori e autovettori. 4. Geometria analitica del piano e dello spazio Equazione cartesiana ed equazioni parametriche di una retta del piano. Vettore direzione di una retta: coefficiente angolare e parametri direttori. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra rette del piano. Individuazione dell'angolo tra due rette attraverso il prodotto scalare. Fascio di rette per un punto. Coniche: circonferenza, ellisse, iperbole e parabola. Equazione parametriche di una retta dello spazio. Equazione cartesiana di un piano, fasci di piani ed equazioni cartesiane della retta nello spazio. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra piani e rette. 5. Funzioni Definizione di funzione e esempi. Funzioni reali di variabile reale. Dominio e immagine di una funzione. Il grafico. Monotonia e stretta monotonia di una funzione: crescenza e decrescenza. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi relativi e assoluti, cenni sull'estremo superiore e l'estremo inferiore. Funzioni composte. Funzioni iniettive. Funzioni inverse. Alcune funzioni elementari, grafico e loro proprietà: il modulo, le funzioni trigonometriche, potenze, esponenziali e logaritmi, il numero di Nepero. Grafici ottenuti "manipolando" le funzioni elementari (traslazioni, riflessioni e composizione di funzioni elementari). Funzioni pari e funzioni dispari. La composizione di funzioni monotone è monotona. 6. Elementi di Calcolo Definizione di limite (al finito e all'infinito). Limite destro e sinistro. Criterio del confronto (con dimostrazione). Proprietà dei limiti: limite della somma, del prodotto e del rapporto. Forme indeterminate. Calcolo di alcuni limiti notevoli. Funzioni continue: definizione e proprietà. Somma, prodotto e rapporto di funzioni continue. Composizione di funzioni continue e inverse di funzioni continue. Discontinuità di una funzione e loro classificazione. Teoremi sulle funzioni continue (loro interpretazione, esempi e controesempi, senza dimostrazione): di esistenza degli zeri. Retta tangente al grafico in un punto. Definizione di derivata. Derivate di ordine superiore. Proprietà delle derivate. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. La derivata di una funzione composta e la derivata dell'inversa. Punti di non derivabilità (punti angolosi e cuspidi). La derivata in un punto di massimo o di minimo. Derivata e monotonia. Uso delle derivate seconde per lo studio della concavità di una funzione. Studio completo del grafico di una funzione. Definizione di integrale definito e di funzione integrabile. Proprietà dell'integrale definito: additività rispetto all'intervallo, linearità, confronto tra integrali. Integrabilità delle funzioni continue. Funzioni primitive e integrali indefiniti. Caratterizzazione delle primitive di una funzione tramite la funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (con cenni di dimostrazione). Metodi di integrazione per parti e per sostituzione. Calcolo delle aree. Testi consigliati G. Crasta e A. Malusa: Matematica 1, teoria ed esercizi.. Ed. Pitagora. M. Bertsch: Istituzioni di matematica. Ed. Bollati Boringhieri. P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, vol. I, II. Ed. Liguori Altri testi consigliati P. Marcellini, C. Sbordone: Calcolo, Ed. Liguori