Domande a cui dovreste sapere rispondere se avete seguito e studiato il corso.

  1. Operazioni tra vettori.

    1. Quali sono le operazioni che definiscono un spazio vettoriale?
    2. La moltiplicazione per uno scalare non modifica una delle "caratteristiche" di un vettore geometrico; quale?
    3. Dati due vettori, in quale caso la loro somma è un vettore che ha lunghezza pari alla somma delle lunghezze? e in quali casi la loro somma è un vettore di lunghezza nulla?
    4. Dati due vettori u e v, che relazione c'è tra |u+v|, |u| e |v|?
    5. Qual'è l'operazione che permette di calcolare l'angolo tra due vettori?
    6. Dati due vettori nello spazio V3, quante sono le direzioni ortogonali a questi due vettori dati?
    7. La domanda precedente è ben posta?
    8. Se u e v sono due vettori di V3 che formano un angolo diverso da zero e pi-greco, con quale operazione posso trovare un vettore ortogonale ad entrambi i vettori?
    9. Come si definisce geometricamente il prodotto vettoriale?
    10. Qual'è un esempio di spazio 4 dimensionale ?
    11. Come si verifica se due vettori sono ortogonali?
    12. Usando la risposta alla domanda precedente, dimostrare che un triangolo ottenuto prendendo tre punti di un cerchio in modo che un lato del triangolo sia un diametro del cerchio è un triangolo rettangolo.

  2. Vettori linearmente dipendenti.

    1. Cosa significa geometricamente che due vettori sono linearmente dipendenti?
    2. Cosa significa geometricamente che tre vettori sono linearmente dipendenti?
    3. Se due vettori sono ortogonali tra loro allora sono linearmente dipendenti?
    4. I vettori che sono gli spigoli di un parallelepipedo sono linearemente dipendenti?
    5. Quant'è il massimo numero di vettori indipendenti in V2, V3, V12?
    6. Se i tre vettori u, v e w sono linearmente dipendenti, come sono i tre vettori u, u+v e w?
    7. Se conosco le coordinate di due vettori di V2 come si studia la loro dipendenza lineare? e se i vettori sono in V3?
    8. Se conosco le coordinate di tre vettori di V2 come si studia la loro dipendenza lineare? e se i vettori sono in V3?

  3. Sistemi lineari

    1. Cos'è la matrice dei coefficienti?
    2. Come si può interpretare vettorialmente un sistema lineare?
    3. Cos'è il rango di una matrice?
    4. Come si calcola il rango di una matrice 2x2? di una matrice 2x3?, di una matrice 3x3? di una matrice 3x4?
    5. Qual'è il significato geometrico del determinante di una matrice 3x3? e di una matrice 2x2?
    6. L'insieme delle matrici 3x3 è uno spazio vettoriale? e l'insieme delle matrici 3x4?
    7. Se A è una matrice nxm con n&le m, qual'è il rango massimo di A?
    8. Se A è una matrice nxm con n&le m e tale che una riga di A sia nulla. Qual'è il rango massimo di A?
    9. Quale condizione sul rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa deve essere verificata affinchè un sistema sia compatibile?
    10. Dato il sistema di equazioni Ax=b dove A è una matrice nxm e b è la colonna dei termini noti: Se il rango di A è k=m, il sistema è sicuramente compatibile? Se si spiegare perchè se no dare un contro esempio.
    11. Dato il sistema di equazioni Ax=b dove A è una matrice nxn tale che detA &ne 0. Per quali vettori colonna b, il sistema è compatibile?
    12. Se una matrice quadrata è triangolare, quanto vale il suo determinante?
    13. Costruire una matrice 6x7 di rango 5 che non ha nessuna riga o colonna nulla.
    14. Se A è una matrice nx(n+2), tale che B è un minore di ordine n-2. Quanti sono i minori di ordine n-1 che orlano B?(facile) quanti sono i minori di ordine n-1?(difficile)
    15. Cos'è Aij il complemento algebrico di aij?
    16. Quando esiste la matrice inversa di una matrice A? come si calcola? qual'è la connessione tra la matrice inversa e il metodo di Kramer per risolvere i sistemi lineari?
    17. Cosa sono gli autovalori di una matrice 2x2? esistono sempre? quanti ce ne sono al massimo?

  4. Rette nel piano.

    1. Cos'è il vettore direttore di una retta?
    2. Com'è la generica equazione cartesiana di una retta nel piano?
    3. Come si determina un vettore ortogonale alla retta nota la sua equazione cartesiana?
    4. Quante equazioni ci sono nell'equazione parametrica della retta?
    5. Come si passa dall'equazione cartesiana all'equazione parametrica di una retta?
    6. Cos'è il coefficiente angolare? quale è il suo significato geometrico?
    7. Trovare l'equazione di tre rette tali che i tre punti di intersezione siano i vertici di un triangolo rettangolo.
    8. Determinare l'equazione di una generica retta tangente al cerchio unitario di centro l'origine.

  5. Rette e piani nello spazio.

    1. Quanti punti servono per determinare in modo univoco un piano nello spazio?
    2. Cos'è la giacitura di un piano?
    3. Come si determina se tre punti sono o meno alineati?
    4. Quante sono le direzioni ortogonali a un piano?
    5. Se ax+by+cz=d è l'equazione cartesiana di un piano, qual'è un vettore ortogonale a questo piano?
    6. Come si può determinare l'equazione cartesiana di un piano &pi, se conosco una retta contenuta in &pi e conosco un puno di &pi che non appartiene alla retta?
    7. Quante equazioni servono per determinare l'equazione cartesiana di una retta nello spazio? qual'è il loro significato geometrico?
    8. Data una retta e un piano nello spazio, come si può determinare se sono paralleli? Se sono paralleli, come si determina la distanza tra loro (intesa come la distanza minima tra due punti uno sul piano e uno sulla retta)?
    9. Nello spazio, date due rette che non hanno la stessa direzione, esse si incontrano per forza in un punto?
    10. Date due rette dello spazio che hanno un solo punto di intersezione, determinare l'equazione del piano che le contiene.
    11. Se due rette sono parallele sono coplanari?

  6. Proprietà qualitative delle funzioni reali.

    1. Cos'è il dominio di definizione di una funzione?
    2. Quando è invertibile una funzione?
    3. Che legame c'è tra il dominio e l'immagine di una funzione e della sua inversa?
    4. Quando è limitata, monotona crescente o monotona decrescente una funzione? Dare esempi.
    5. Se f è una funzione strettamente monotona crescente nel suo dominio è invertibile?
    6. In quali casi, una curva del piano è il grafico di una funzione?
    7. Quali rette sono il grafico di una funzione?
    8. Data una funzione f. Quali sono le funzioni che hanno un grafico che è il traslato a sinistra del grafico di f, quali il traslato a destra? quali il traslato in alto?
    9. Quali sono le funzioni simmetriche rispetto all'asse delle y? quali quelle simmetriche rispetto all'oirigine?
    10. Dare un esempio di funzione continua che non ha minimo ma ha un massimo e una di una funzione che non ha massimo ma ha minimo.

  7. Proprietà analitiche delle funzioni reali.

    1. Se f è una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [a,b]. Com'è l'immagine di f?
    2. Se f è una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] tale che f(a)f(b)&lsaquo 0. Può avere un numero pari di zeri?
    3. Se f è una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] tale che f sia monotona crescente, qual'è l'immagine di f?
    4. Se f è derivabile in [a,b] e esiste xo tale che f( xo)=0 possiamo dire che xo è un punto estremale?
    5. Se f è derivabile in [a,b] e la sua derivata cambia segno due volte. Quant'è il massimo numero di zeri che può avere?

  8. Integrale definito, teorema fondamentale del calcolo.

    1. Se f è una funzione continua e positiva in [a,b], cosa rappresenta &intabf(x)dx ?
    2. Cos'è una primitiva?
    3. Che legame c'è tra la primitiva e l'integrale definito?
    4. Se F e G sono due primitive di f, quanto vale F-G?
    5. Sia F(x)=arctg x e G(x)=-arctg(1/x). Quanto vale F(x)-G(x)?
    6. Se f è una funzione continua in [a,b], e F(x)=&intaxf(t)dt. La funzione F è derivabile? Quanto vale la sua derivata?
    7. Se f e g sono due funzioni continue con f&le g in [a,b]. Come sono ordinati gli integrali di f e g in [a,b]?
    8. Come si trova l'area compresa tra i grafici di due funzioni ordinate?