Primo appello: prova scritta venerdì 24 gennaio ore 8:15 aula Levi-Civita. Per sostenere l'esame è necessario prenotarsi su Infostud (entro i termini previsti) e presentarsi all'appello muniti di documento di identità (in corso di validità).
Esercizi: foglio 1, foglio 2, foglio 3, foglio 4, foglio 5.
Testi di riferimento:
K. O'Grady, Algebra Lineare e Geometria.
M. Manetti, Algebra lineare, per matematici.
Diario delle lezioni:
25/09/24: (PB) Preliminari: insiemi e applicazioni tra insiemi.
26/09/24: (PB) Relazioni d'ordine e relazioni d'equivalenza. Lettura consigliata: prime tre sezioni del capitolo 1 delle note di O'Grady. Esercizi consigliati: primi dieci esercizi del capitolo 1 delle stesse note.
30/09/24: (PB) Applicazioni e operazioni che passano al quoziente: esempi dei numeri razionali e delle classi di congruenza di interi. Primi esempi di spazi vettoriali reali: vettori geometrici del piano applicati all'origine e spazio delle coppie di numeri reali.
02/10/24: (PB) Spazio delle n-ple di numeri reali. Sistemi lineari: definizioni ed esempi. Descrizione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare tramite parametrizzazione. Caso dei sistemi lineari omogenei: lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo non è mai vuoto e è sempre chiuso per le operazioni di somma e prodotto per scalari.
03/10/24: (PB) Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare compatibile si ottiene sommando a una singola soluzione del sistema tutte le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. Matrici e metodo di eliminazione di Gauss: operazioni elementari sulle righe di una matrice, relazione di equivalenza per righe tra matrici, matrici a gradini, in ogni classe di equivalenza per righe esiste almeno una matrice a gradini, due matrici a gradini equivalenti per righe hanno lo stesso numero di gradini e i gradini sono nelle stesse posizioni.
07/10/24: (PB) Matrici: somma, prodotto per scalari e prodotto righe per colonne tra matrici. Forma matriciale di un sistema lineare: matrice dei coefficienti e matrice completa. Se le matrici complete associate a due sistemi lineari sono equivalenti per righe allora i sistemi sono equivalenti. Condizione di compatibilità per i sistemi lineari a gradini e parametrizzazione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare a gradini compatibile. Enunciato del Teorema di Rouché-Capelli. Ora si possono svolgere tutti gli esercizi del Foglio 1. Riferimenti alle note: sezioni 1, 2 e 4 del capitolo 1 delle note di Manetti ed esercizi corrispondenti. Definizione di campo e primi esempi.
09/10/24: (PB) Esempi di campi: campo delle classi di congruenza modulo un primo p (algoritmo euclideo ed MCD), i campi sono domini d'integrità, estensione del campo dei numeri razionali con la radice quadrata di 2, anello dei polinomi in una variabile e campo delle funzioni razionali in una variabile. Lettura consigliata: sezioni 5, 6 e 7 del capitolo 1 delle note di O'Grady. Esercizi consigliati:1.17 e 1.18 delle stesse note.
10/10/24: (PB) Definizione di spazio vettoriale su un campo e primi esempi. Sottospazi vettoriali, combinazioni lineari, sottospazi vettoriali generati, lineare dipendenza tra vettori. Si possono già svolgere i primi due esercizi del Foglio 2. Riferimenti alle note: prime quattro sezioni del capitolo 2 delle note di O'Grady.
14/10/24: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 1.
16/10/24: (PB) Basi, coordinate di un vettore rispetto a una base, Teorema del completamento. Si possono svolgere gli esercizi 3 e 5 del Foglio 2.
17/10/24: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 1 e dal Foglio 2.
21/10/24: (PB) Dimensione di uno spazio vettoriale: osservazioni ed esempi. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali, Formula di Grassmann, somma diretta di sottospazi. Si possono svolgere tutti gli esercizi del Foglio 2 fino all'esercizio 14 compreso. Riferimenti alle note: sezioni 5 e 6 del capitolo 2 delle note di O'Grady.
23/10/24: (PB) Il campo dei numeri complessi: scrittura cartesiana, somma, prodotto, reciproco, piano di Gauss, descrizione geometrica della somma, coniugio, modulo, argomento, forma polare, descrizione geometrica del prodotto, potenze e radici n-esime. Riferimenti alle note: sezione 9 del capitolo 1 delle note di O'Grady. Si possono svolgere gli esercizi 19 e 20 del capitolo 1 delle stesse note e tutti gli esercizi del Foglio 2.
24/10/24: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 2.
28/10/24: (PB) Altri esercizi dal Foglio 2. Anelli: definizione ed esempi. Anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in un campo: algoritmo euclideo di divisione, MCD, polinomi irriducibili, il quoziente dell'anello dei polinomi modulo un polinomio irriducibile è un campo.
30/10/24: (PB) Radici di un polinomio e loro molteplicità. Enunciato del Teorema fondamentale dell'algebra. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali: definizione, esempi e costruzioni, nucleo, immagine, iniettività, suriettività. Si possono già cominciare a svolgere i primi tre esercizi del Foglio 3.
31/10/24: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 2.
04/11/24: (PB) Applicazioni lineari: iniettività, suriettività e isomorfismi. Teorema della dimensione (dimensione del nucleo + dimensione dell'immagine = dimensione del dominio). Spazio vettoriale quoziente. Riferimenti alle note: sezione 7 del capitolo 2 e prime due sezioni del capitolo 3 delle note di O'Grady.
06/11/24: (PB) Primo teorema di isomorfismo. Proiezione su un sottospazio vettoriale parallelamente a un complemento diretto. Forme lineari su K^n e Teorema della codimensione (lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare dato da m forme lineari indipendenti ha codimensione m). Ora si possono svolgere anche gli esercizi 4, 11 e 12 del Foglio 3.
07/11/24: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 3.
11/11/24: (PB) Proprietà del prodotto righe per colonne tra matrici, anello delle matrici n x n a coefficienti in un campo, matrici invertibili e utilizzo del metodo di Gauss per il calcolo dell'inversa di una matrice. Corrispondenza tra matrici m x n a coefficienti in un campo K e applicazioni lineari da K^n a K^m: somma, prodotto per scalari e prodotto righe per colonne. Definizione di rango di una matrice, il rango per righe è uguale al rango per colonne. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo. Dimostrazione del Teorema di Rouché-Capelli. Si possono svolgere gli esercizi 5, 6 e 7 del Foglio 3.
13/11/24: (PB) Matrici associate a un'applicazione lineare rispetto a basi qualsiasi, matrici di cambiamento di coordinate, relazione di similitudine tra matrici. Si possono svolgere gli esercizi 8, 9, 10 e 14 del Foglio 3.
14/11/24: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 3.
18/11/24: (PB) Spazio vettoriale duale, base duale, applicazione duale, matrice trasposta. Spazio vettoriale biduale e isomorfismo canonico. Si possono svolgere tutti gli esercizi del Foglio 3. Riferimenti alle note: sezione 13 del capitolo 3 delle note di O'Grady.
20/11/24: (SD) Ulteriori esercizi su basi, dimensione, somma, intersezione e applicazioni lineari.
21/11/24: (SD) Ulteriori esercizi su basi, dimensione, somma, intersezione e applicazioni lineari.
27/11/24: (PB) Determinante: prime proprietà, segno di una permutazione ed espressione del determinante in termini di permutazioni, caratterizzazione delle matrici singolari.
28/11/24: (PB) Teorema di Binet e Sviluppo di Laplace. Si possono svolgere gli esercizi 1, 4, 5 e 7 del Foglio 4.
02/12/24: (PB) Formula dei cofattori per la matrice inversa, Formula di Cramer, Teorema degli orlati. Gruppo simmetrico su n elementi: definizione, trasposizioni, inversioni e segno. Si possono svolgere tutti gli esercizi del Foglio 4. Riferimenti alle note: capitolo 8 (esclusa la sezione 6) delle note di Manetti.
04/12/24: (PB) Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico e diagonalizzabilità di un endomorfismo: definizioni ed esempi.
05/12/24: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 4.
09/12/24: (PB) Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore: condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzabilità. Si possono già svolgere tutti gli esercizi del Foglio 5.
11/12/24: (PB) Sottospazi invarianti per un endomorfismo, restrizione di un endomorfismo a un sottospazio invariante e endomorfismo indotto sul quoziente modulo un sottospazio invariante: i rispettivi polinomi caratteristici dividono il polinomio caratteristico dell'endomorfismo di partenza. Se l'endomorfismo è diagonalizzabile lo è anche la sua restrizione a un sottospazio invariante. Due endomorfismi sono simultaneamente diagonalizzabili se e solo se sono diagonalizzabili e commutano tra loro.
12/12/24: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 5.
16/12/24: (PB) Matrice di Frobenius associata ad un polinomio monico: il suo polinomio caratteristico e la valutazione del polinomio stesso nella matrice. Valutazione dei polinomi in un endomorfismo: definizione di polinomio minimo e sue proprietà. Teorema di Cayley-Hamilton. Riferimenti alle note: capitolo 9 (escluse le ultime due sezioni) e capitolo 10 (solo le prime due sezioni) delle note di Manetti.
18/12/24: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 5.
08/01/25: (SD) Esercizi scelti dal Foglio 5.
09/01/25: (SD) Ulteriori esercizi in preparazione all'esame.