Quinto appello d'esame: prova scritta con soluzioni.
Quarto appello d'esame: prova scritta con soluzioni.
Terzo appello d'esame: prova scritta con soluzioni.
Secondo appello d'esame: prova scritta.
Primo appello d'esame: prova scritta.
Materiale didattico relativo agli incontri di tutoraggio: https://sites.google.com/view/luca--casarin/teaching-didattica
Esercizi: foglio 1, foglio 2, foglio 3, foglio 4, foglio 5.
Primo esonero: versione 1 e versione 2.
Esercizi (Prof. Diverio): foglio di esercizi sulle forme hermitiane.
Esercizi svolti (Prof. Diverio): esonero bianco con soluzioni, esercizi su forme bilineari.
Testo di riferimento principale: Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri.
Diario delle lezioni:
28/02/22: (PB) Prodotto scalare standard, norma, angolo, disugualianza di Cauchy-Schwarz, disugualianza triangolare, basi ortogonali, basi ortonormali, matrici ortogonali. Le matrici ortogonali n x n formano un sottogruppo delle matrici reali n x n inveritibili. Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale.
01/03/22: (PB) Proiezione ortogonale su un sottospazio, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, significato geometrico del determinante. Ora si possono risolvere i primi 9 esercizi del foglio 1.
03/03/22: (PB) Prodotto vettoriale in R^3. Richiami sulle nozioni di gruppo, sottogruppo, omomorfismo di gruppi, isomorfismo di gruppi, nucleo, sottogruppo normale, quoziente. Esempi: gruppi di trasformazioni. Ora si possono risolvere anche gli esercizi 10 e 11 del foglio 1. Per rivedere le nozioni elementari sui gruppi si possono risolvere gli esercizi 11-14 del cap. 14 del libro.
07/03/22: (PB) Le matrici ortogonali corrispondono alle trasformazioni che preservano il prodotto scalare (trasformazioni ortogonali). Classificazione delle trasformazioni ortogonali di R^2 e di R^3, Teorema di Eulero. L'esempio delle riflessioni in R^n, con n qualsiasi. Ora si possono risolvere tutti gli esercizi del foglio 1.
08/03/22: (PB) Richiami sugli spazi affini: sistemi di riferimento, sottospazi affini, sottospazi affini paralleli, formula di Grassmann, punti affinemente indipendenti, punti in posizione generale, posizione reciproca di due sottospazi. Generalità sugli spazi euclidei: sottospazi perpendicolari, distanza, proiezione ortogonale su un sottospazio. Si possono cominciare a risolvere i primi 23 esercizi del foglio 2.
10/03/22: (SD) Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 1.
14/03/22: (PB) Risoluzione di esercizi scelti dai fogli 1 e 2.
15/03/22: (PB) Il gruppo delle affinità di uno spazio affine: traslazioni, affinità che fissano un punto, omotetie, simmetrie rispetto a un punto. Descrizione esplicita in coordinate. Le traslazioni formano un sottogruppo normale. Proprietà affini e sottoinsiemi affinemente equivalenti. Ora si possono provare a risolvere anche gli esercizi 24 e 25 del foglio 2.
17/03/22: (SD) Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 2.
21/03/22: (PB) Complementi di geometria affine: coordinate baricentriche, rapporto semplice di tre punti allineati, Teoremi di Menelao e di Ceva.
22/03/22: (PB) Il gruppo delle isometrie di uno spazio euclideo: le isometrie sono tutte e sole le applicazioni che preservano la distanza. Isometrie dirette e isometrie inverse. Proprieà euclidee e sottoinsiemi congruenti. Classificazione delle isometrie del piano euclideo. Due famiglie di sottogruppi finiti del gruppo delle isometrie del piano: i gruppi ciclici (finiti) e i gruppi diedrali. Ora si possono risolvere tutti gli esercizi del foglio 2.
24/03/22: (SD) Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 2.
28/03/22: (PB) Gli unici sottogruppi finiti del gruppo delle isometrie del piano sono i gruppi ciclici e i gruppi diedrali. Descrizione esplicita della composizione di due omotetie in uno spazio affine qualsiasi e della composizione di due rotazioni nel piano euclideo.
29/03/22: (PB) Forme bilineari: matrici associate in dimensione finita, formula del cambiamento di base, forme non degeneri. Forme bilineari simmetriche: vettori ortogonali, sottospazi ortogonali, vettori isotropi. Esistenza (in dimensione finita, in caratteristica diversa da 2) di una base ortogonale rispetto a una forma bilineare simmetrica qualsiasi. Ora si possono risolvere i primi 2 esercizi del foglio 3.
31/03/22: (SD) Ulteriori spiegazioni e chiarimenti sulle nozioni di forma bilineare e forma bilineare simmetrica. Risoluzione dell'esercizio 2 del foglio 3.
04/04/22: (PB) Il dato di una forma quadratica è equivalente al dato di una forma bilineare simmetrica. Forma canonica a coefficienti in un campo algebricamente chiuso e forma canonica a coefficienti in R (Teorema di Sylvester). Ora si possono provare a risolvere anche gli esercizi 3-6 del foglio 3.
05/04/22: (SD) Risoluzione di esercizi scelti dai fogli 2 e 3.
07/04/22: (PB) Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 3.
08/04/22: (LC) Tutoraggio.
11/04/22: (PB) Endomorfismi simmetrici: definizione, caratterizzazione in termini di matrici, esempi. Enunciato del Teorema Spettrale. Ora si possono provare a risolvere anche gli esercizi 7 e 8 del foglio 3.
12/04/22: (PB) Teorema Spettrale (reale): dimostrazione e suo utilizzo per il calcolo della segnatura di una matrice simmetrica. Ora si possono provare a risolvere anche gli esercizi 9-12 del foglio 3.
12/04/22: (LC) Tutoraggio.
20/04/22: (LC) Tutoraggio.
21/04/22: (SD) Risoluzione dell'esonero bianco.
26/04/22: (SD) Esonero.
28/04/22: (SD) Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 3.
02/05/22: (SD) Forme sesquilineari, e forme hermitiane. Definizioni basilari, ortogonalità, esistenza di basi ortogonali, esempi. Segnatura, Teorema di Sylvester hermitiano, nozione di (semi)definito positivo/negativo, caratterizzazione in termini della segnatura. Nozione di spazio vettoriale hermitiano: lunghezza, distanza, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (anche per la parte reale del prodotto hermitiano), coseno dell'angolo tra due vettori.
03/05/22: (SD) Proiezione ortogonale su un sottospazio rispetto a una forma hermitiana ivi non degenere, espressione delle coordinate di un vettore rispetto ad una base ortogonale per una forma hermitiana non degenere. Cambiamento per congruenza hermitiana delle matrici associate a una forma hermitiana in due basi diverse. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt in uno spazio vettoriale hermitiano, basi unitarie. Operatori autoaggiunti e unitari, e loro prime proprietà. Gli operatori autoaggiunti formano uno spazio vettoriale reale, gli unitari un gruppo. Spettro di operatori autoaggiunti e unitari, proprietà di ortogonalità di autovettori rispetto ad autovalori distinti. Vari enunciati del Teorema Spettrale sui complessi: per operatori autoaggiunti, per matrici, per forme hermitiane, per operatori unitari. Gruppo delle matrici unitarie. I proiettori ortogonali sono autoaggiunti. Ora si possono risolvere tutti gli esercizi del foglio di esercizi sulle forme hermitiane e i restanti esercizi del foglio 3.
04/05/22: (LC) Tutoraggio.
05/05/22: (PB) Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 3.
09/05/22: (SD) La derivata seconda come operatore autoaggiunto rispetto al prodotto L^2. Dimostrazione del Teorema Spettrale sui complessi per operatori autoaggiunti e unitari. Decomposizione di operatori autoaggiunti e unitari come somma pesata di proiezioni ortogonali. In uno spazio vettoriale hermitiano c'è un isomorfismo canonico tra lo spazio vettoriale reale delle forme hermitiane e lo spazio vettoriale reale degli operatori autoaggiunti. Applicazione: in uno spazio vettoriale hermitiano, data una forma hermitiana esiste una base unitaria che è ortogonale per la forma hermitiana data.
10/05/22: (PB) Gruppo degli operatori unitari e gruppo delle matrici unitarie. Classificazione delle matrici ortogonali: ogni trasformazione ortogonale speciale è prodotto di rotazioni rispetto a piani a due a due ortogonali. Discussione degli esercizi della prova di esonero.
12/05/22: (PB) Ipersuperfici algebriche affini: definizione, supporto, equivalenza affine, cambiamento di coordinate affini. Il caso delle quadriche (in caratteristica diversa da 2): matrice rappresentativa, classificazione a coefficienti in un campo algebricamente chiuso.
13/05/22: (LC) Tutoraggio.
16/05/22: (PB) Classificazione affine ed euclidea delle coniche nel piano e delle quadriche nello spazio: enunciati ed esempi. Vedi gli enunciati completi. Ora si possono provare a risolvere tutti gli esercizi del foglio 4.
17/05/22: (PB) Spazi proiettivi: definizione, dimensione, sistemi di riferimento, coordinate omogenee, sottospazi proiettivi, equazioni cartesiane di un sottospazio proiettivo, intersezione di sottospazi proiettivi, sottospazi proiettivi generati, formula di Grassmann proiettiva, proiezione di centro un punto su un iperpiano proiettivo, punti linearmente indipendenti e punti in posizione generale, equazioni parametriche di un sottospazio proiettivo. Si possono risolvere i primi 4 esercizi del foglio 5. Altri esercizi simili che ora si possono risolvere sono i primi 9 del cap. 24 del libro.
19/05/22: (SD) Esercizi scelti dal foglio 3 e dal foglio 4.
20/05/22: (LC) Tutoraggio.
24/05/22: (PB) Lo spazio proiettivo P^n come ampliamento dello spazio affine A^n: chiusura proiettiva di un sottospazio affine o di un'ipersuperficie algebrica, punti propri e punti impropri. Teorema di Pappo-Pascal. Ora si possono risolvere gli esercizi 5-8 del foglio 5. Altri esercizi semplici che si possono risolvere sono i primi 5 del cap. 25 del libro.
25/05/22: (PB) Modelli per gli spazi proiettivi: la circonferenza S^1 in corrispondeza biunivoca con P^1(R), la sfera S^2 in corrispondenza biunivoca con P^1(C), la n-sfera S^n in corrispondenza 2:1 con P^n(R). Spazio proiettivo duale: corrispondenza tra i punti dello spazio proiettivo duale e gli iperpiani dello spazio proiettivo e generalizzazione a sottospazi qualsiasi, la corrispondenza scambia intersezione e sottospazio generato. Principio di dualità: esempi. Teorema di Desargues. Ora si possono risolvere anche gli esercizi 9-10 del foglio 5.
26/05/22: (SD) Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 5.
27/05/22: (LC) Tutoraggio.
30/05/22: (PB) Sistemi di riferimento proiettivo: punti fondamentali e punto unità, classe di proporzionalità della matrice di cambiamento di coordinate omogenee. Isomorfismi proiettivi, gruppo delle proiettività, matrici associate a meno di un fattore di proporzionalità. Un isomorfismo tra due spazi proiettivi di dimensione n è univocamente determinato dalle immagini di n+2 punti in posizione generale. Punti fissi di una proiettività. Ora si possono risolvere anche gli esercizi 11-15 del foglio 5.
31/05/22: (PB) Il birapporto: definizione e invarianza proiettiva. Ipersuperfici algebriche proiettive, classificazione proiettiva delle quadriche a coefficienti in un campo algebricamente chiuso (in caratteristica diversa da 2) e a coefficienti reali. Grassmanniane: definizione generale e biezione tra la grassmanniana delle rette in P^3 e il supporto della quadrica di Klein in P^5. Ora si possono risolvere gli esercizi 16-18 del foglio 5. Altri esercizi semplici che si possono risolvere sono i primi 5 del cap. 27 del libro.
06/06/22: (SD) Risoluzione di esercizi scelti dal foglio 5.
07/06/22: (PB) Il gruppo delle trasformazioni di Moebius, o equivalentemente il gruppo delle proiettività della retta proiettiva complessa: i cerchi di Moebius vanno in cerchi di Moebius e sono tutti proiettivamente equivalenti, quattro punti stanno su un cerchio di Moebius sse il loro birapporto è reale, il sottogruppo delle trasformazioni di Moebius che preservano un cerchio di Moebius dato è isomorfo al gruppo delle proiettività della retta proiettiva reale. Ora si possono provare a risolvere anche gli ultimi due esercizi del foglio 5.
09/06/22: (PB) Tutoraggio. Esercizi proposti.
10/06/22: (LC) Tutoraggio.