Quinto appello: prova scritta (prima parte, seconda parte).
Quarto appello: prova scritta (prima parte, seconda parte).
Terzo appello: prova scritta.
Secondo appello: prova scritta con soluzioni.
Primo appello: prova scritta con soluzioni.
Esercizi: foglio 1, foglio 2, foglio 3, foglio 4, foglio 5, foglio 6, foglio 7, foglio 8.
Tutoraggio: Marco Iacovelli. Materiale didattico: tutoraggio del 4/10, tutoraggio del 11/10, tutoraggio del 18/10, tutoraggio del 25/10, tutoraggio del 8/11, tutoraggio del 15/11, tutoraggio del 22/11, tutoraggio del 29/11, tutoraggio del 6/12, tutoraggio del 13/12, tutoraggio del 20/12.
Altro materiale didattico gentilmente fornito dal Prof. Luigi Provenzano, docente del canale A-K: Esercizi settimana 1, Esercizi settimana 2, Esercizi settimana 3, Esercizi settimana 4, Esercizi settimana 5, Esercizi settimana 6, Esercizi settimana 7, Primo appello 21/22 con soluzione, Secondo appello 21/22 con soluzione, Terzo appello 21/22 con soluzione, Quarto appello 21/22 con soluzione, Quinto appello 21/22 con soluzione, Esercizi settimana 8, Esercizi settimana 9, Esercizi settimana 10, Esercizi settimana 11, Esercizi settimana 12.
Prova autovalutativa, soluzioni.
Tutoraggio diffuso: vedi https://www.sbai.uniroma1.it/~giovanni.cerulliirelli/tutoraggiodiffuso
Diario delle lezioni:
27/09/22: (PB) L'insieme dei vettori del piano applicati all'origine: somma e prodotto per scalari, basi. La scelta di una base dà una corrispondenza biunivoca con l'insieme R^2.
28/09/22: (PB) Tale corrispondenza biunivoca preserva le operazioni di somma e prodotto per scalari. L'insieme R^n con somma e prodotto per scalari. Sistemi di equazioni lineari, insiemi di soluzioni, parametrizzazioni. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalari.
29/09/22: (PB) Basi e parametrizzazioni dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo e legame con lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. Matrici e prodotto righe per colonne tra matrici. Si può già provare a risolvere il primo esercizio del foglio 1.
03/10/22: (PB) Eliminazione di Gauss: operazioni elementari sulle righe di una matrice, equivalenza per righe, matrici a gradini, definizione provvisoria di rango. Utilizzo dell'eliminazione di Gauss sulla matrice completa associata a un sistema lineare, enunciato del Teorema di Rouché-Capelli. Ora si possono risolvere i primi 4 esercizi del foglio 1.
04/10/22: (PB) Campi: definizione ed esempi. Il campo dei numeri complessi: somma, prodotto, elemento reciproco, parte reale e parte immaginaria, piano di Gauss, coniugio, modulo, argomento, significato geometrico del prodotto. Ora si può risolvere anche l'ultimo esercizio del foglio 1.
05/10/22: (SD) Esercizi sui sistemi lineari.
06/10/22: (PB) Definizione di spazio vettoriale, esempi. Definizione di sottospazio vettoriale, esempi. Sottospazio vettoriale generato, esempi. Si può già provare a risolvere il primo esercizio del foglio 2.
10/10/22: (PB) Esercizi sui sistemi lineari. Lineare dipendenza tra vettori e definizione di base (finita) di uno spazio vettoriale. Ora si possono provare a risolvere anche gli esercizi 2, 3 e 4 del foglio 2.
11/10/22: (PB) Utilizzo dell'eliminazione di Gauss per estrarre un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti da un insieme di vettori di K^n. Enunciato del Teorema del completamento e definizione di dimensione di uno spazio vettoriale.
12/10/22: (SD) Esercizi su sistemi lineari, sottospazi vettoriali e lineare dipendenza.
13/10/22: (PB) Dimostrazione del Teorema del completamento. Utilizzo dell'eliminazione di Gauss per completare un insieme di vettori linearmente indipendenti a una base. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali: definizioni e prime proprietà. Ora si possono risolvere anche gli esercizi 5 e 6 del foglio 2.
17/10/22: (PB) Formula di Grassmann. Definizione di somma diretta. Ora si possono risolvere tutti gli esercizi del foglio 2.
18/10/22: (PB) Applicazioni lineari: definizione, esempi, nucleo, immagine, iniettività, suriettività, invertibilità. Si può già provare a risolvere il primo esercizio del foglio 3.
19/10/22: (SD) Esercizi su lineare dipendenza, basi, completamento di basi, somma e intersezione di sottospazi vettoriali.
20/10/22: (PB) Isomorfismi di spazi vettoriali. Teorema della dimensione: dimensione del nucleo + dimensione dell'immagine = dimensione del dominio. Forme lineari ed enunciato del Teorema della codimensione: lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo formato da m equazioni linearmente indipendenti ha codimensione m. Ora si possono risolvere anche gli esercizi 2 e 3 del foglio 3.
24/10/22: (PB) Dimostrazione del Teorema della codimensione. Proprietà del prodotto righe per colonne tra matrici, matrici invertibili, matrice inversa, utilizzo dell'eliminazione di Gauss per calcolare l'inversa di una matrice. Ora si possono risolvere anche gli esercizi 4, 5 e 6 del foglio 3.
25/10/22: (SD) Esercizi su somma e intersezione di sottospazi vettoriali e su applicazioni lineari.
26/10/22: (PB) Definizione di rango di una matrice: il rango per righe è uguale al rango per colonne. Dimostrazione del Teorema di Rouché-Capelli. Matrice associata a una applicazione lineare rispetto a basi fissate: il prodotto righe per colonne delle matrici corrisponde alla composizione delle applicazioni, matrici di cambiamento di coordinate e formula del cambio di base. Ora si possono risolvere tutti gli esercizi del foglio 3.
27/10/22: (PB) Determinante: prime proprietà. Terorema di caratterizzazione delle matrici non singolari: una matrice quadrata ha determinante diverso da zero se e solo se ha rango massimo.
02/11/22: (SD) Esercizi su applicazioni lineari e matrici.
03/11/22: (PB) Formule che coinvolgono il determinante (solo enunciati, senza dimostrazione): Teorema di Binet (il determinante del prodotto è uguale al prodotto dei determinanti), Sviluppo di Laplace, Formula per la matrice inversa, Teorema di Cramer. Si possono risolvere tutti gli esercizi del foglio 4.
07/11/22: (PB) Teorema degli orlati (senza dimostrazione). Autovalori e autovettori: definizioni ed esempio di calcolo degli autovalori.
08/11/22: (PB) Polinomio caratteristico, basi diagonalizzanti, molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore, Teorema delle condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzabilità.
09/11/22: (SD) Esercizi su matrici associate ad applicazioni lineari e determinante.
10/11/22: (PB) Richiami generali sui polinomi e sulle loro radici. Teorema fondamentale dell'algebra (solo enunciato). Radici reali e complesse di polinomi a coefficienti reali. Radici razionali di polinomi a coefficienti interi. Esempi ed esercizi sulla diagonalizzazione. Si possono risolvere tutti gli esercizi del foglio 5.
14/11/22: (PB) Il prodotto scalare standard su R^n: norma, angolo tra vettori, disugualianza di Cauchy-Schwarz, basi ortogonali e ortonormali, matrici ortogonali, coefficienti di Fourier, complemento ortogonale a un sottospazio, proiezione ortogonale su un sottospazio.
15/11/22: (SD) Esercizi su determinante e diagonalizzazione.
16/11/22: (PB) Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt: definizione, proprietà ed esempi. Teorema di caratterizzazione delle matrici ortogonali: le matrici ortogonali corrispondono alle trasformazioni che preservano il prodotto scalare. Proprietà delle matrici ortogonali. Si possono risolvere i primi cinque esercizi del foglio 6.
17/11/22: (PB) Classificazione e descrizione delle matrici ortogonali 2x2 e 3x3. Significato geometrico del determinante e prodotto vettoriale. Si possono risolvere anche gli esercizi 6, 7 e 8 del foglio 6.
21/11/22: (PB) Teorema spettrale. Si può risolvere anche l'ultimo esercizio del foglio 6.
22/11/22: (SD) Esercizi sulla diagonalizzazione.
23/11/22: (SD) Esercizi su prodotto scalare e proiezioni ortogonali.
24/11/22: (SD) Esercizi su matrici ortogonali e teorema spettrale.
28/11/22: (PB) Esercizi su area e volume. Diagonalizzabilità sui complessi delle matrici ortogonali.
29/11/22: (PB) Lo spazio euclideo n-dimensionale: distanza, sistemi di riferimento cartesiano. Sottospazi affini: giacitura, dimensione, equazioni parametriche ed equazioni cartesiane. Parallelismo. Intersezione di sottospazi affini. Punti affinemente indipendenti. Si possono già risolvere i primi quattro esercizi del foglio 7.
30/11/22: (SD) Esercizi sul teorema spettrale ed esercizi su equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di sottospazi affini.
01/12/22: (PB) Altri esercizi su equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di sottospazi affini e indipendenza affine di punti. Posizione reciproca di due sottospazi affini: il caso di due rette nello spazio. Si possono risolvere gli esercizi 5, 6 e 7 del foglio 7.
05/12/22: (PB) Distanza di un punto da un sottospazio affine, proiezione ortogonale di un punto su un sottospazio affine, perpendicolarità. Formula di cambio di coordinate tra sistemi di riferimento cartesiano. Isometrie: definizione ed esempi. Si possono risolvere tutti gli esercizi dal numero 8 al numero 19 del foglio 7.
06/12/22: (PB) Esercizio 18 del foglio 7: area del triangolo e cenni al volume del tetraedro, cenni alle coordinate baricentriche e agli inviluppi convessi di punti, circonferenza circoscritta in un triangolo e circonferenza inscritta in un triangolo. Isometrie: costruzione dell'isometria a partire dalle immagini dei punti di un sistema di riferimento cartesiano, teorema di caratterizzazione delle isometrie come le applicazioni dallo spazio euclideo in sé che preservano la distanza (senza dimostrazione), cenni alla classificazione delle isometrie del piano e dello spazio tridimensionale. Si possono risolvere tutti gli esercizi del foglio 7.
07/12/22: (SD) Esercizi su incidenza, parallelismo, perpendicolarità tra sottospazi affini e proiezioni ortogonali.
12/12/22: (PB) Forme bilineari: definizione, matrici associate e formula del cambiamento di base. Forme bilineari simmetriche, matrici simmetriche e forme quadratiche: enunciato del Teorema di Sylvester, definizione di segnatura e calcolo della segnatura. Si possono già provare a risolvere i primi tre esercizi del foglio 8.
13/12/22: (SD) Esercizi su distanza e isometrie.
14/12/22: (PB) Esercizio sulla segnatura e cenni al Criterio di Cartesio. Coniche e quadriche: definizione di ipersuperficie quadrica nello spazio euclideo n-dimensionale, equazione e supporto, esempi di coniche e quadriche. Matrice simmetrica associata ad un polinomio di secondo grado.
15/12/22: (PB) Trasformazione di un'ipersuperficie quadrica tramite un'isometria, cambiamento di sistema di riferimento cartesiano, invarianti. Teorema di classificazione delle coniche con idea di dimostrazione: uso degli invarianti per riconoscere il tipo di conica, costruzione del cambiamento di coordinate che mette l'equazione in forma canonica. Ora si possono provare a risolvere gli esercizi 4 e 5 del foglio 8.
19/12/22: (PB) Ancora sul cambiamento di coordinate che mette l'equazione di una conica in forma canonica. Definizioni classiche dell'ellisse e dell'iperbole, e loro proprietà. Il Teorema di classificazione delle superfici quadriche nello spazio euclideo non fa parte del programma d'esame ma il suo enunciato è riportato qui. Ora si possono risolvere tutti gli esercizi del foglio 8. In particolare gli esercizi 9 e 10, che riguardano le quadriche, sono comunque utili per comprendere a fondo gli argomenti del corso.
20/12/22: (SD) Esercizi su distanza, segnatura e coniche.
21/12/22: (SD) Esercizi su coniche e quadriche.