Fac-simile prova d'esame, primo appello, secondo appello, quarto appello, quinto appello.
Testi di riferimento:
R. Stanley, Enumerative Combinatorics, volume 1, second edition, Cambridge University Press, 2011. https://math.mit.edu/~rstan/ec/ec1
R. Stanley, Enumerative Combinatorics, volume 2, Cambridge University Press, 2001.
Diario delle lezioni:
02/03/22: Contare insiemi e multinsiemi: coefficienti binomiali, serie formali e generalizzazione dei coefficienti binomiali per numeri complessi qualsiasi, composizioni, composizioni deboli, multinsiemi.
03/03/22: Coefficienti multinomiali. Permutazioni: rappresentazione standard e biezione fondamentale, permutazioni di tipo fissato, valore atteso del numero di k-cicli di una permutazione random.
09/03/22: Numero di permutazioni di [n] con un numero k di cicli (numeri di Stirling del primo tipo).
10/03/22: Tavola delle inversioni di una permutazione, distribuzione della statistica inv (numero di inversioni). Insieme delle discese di una permutazione, numero delle discese, numeri euleriani. Cenni ai q-analoghi degli interi positivi, del fattoriale e dei coefficienti binomiali.
16/03/22: Statistica maj (major index), biezione che trasforma maj in inv (inv e maj sono equidistribuite). La stessa biezione preserva l'insieme delle discese della permutazione inversa (reading set), segue che inv e maj hanno distribuzione simmetrica.
17/03/22: Matrice di una permutazione, diagramma di una permutazione. Partizioni, diagramma di una partizione. Permutazioni di [n] che evitano una fissata permutazione di [3], numeri di Catalan. Definizione di permutazione di un multinsieme e q-analogo dei coefficienti multinomiali.
23/03/22: Distribuzione della statistica inv per le permutazioni di multinsiemi. Partizioni: ricorsione per il numero di partizioni di n di lunghezza k. Numero di partizioni con diagramma contenuto in un rettangolo fissato: funzione generatrice e corrispondenza con le permutazioni di un multinsieme su due elementi.
24/03/22: Varie identità sulle partizioni: funzioni generatrici che contano le partizioni con al più k parti, le partizioni con k parti, tutte le partizioni, le partizioni autoconiugate, le partizioni con parti distinte, le partizioni con parti dispari.
30/03/22: Tre identità con produttorie infinite interpretabili in termini di partizioni e loro varianti finite (q-analogo dello sviluppo della potenza del binomio). Dodici modi per contare le applicazioni tra due insiemi finiti. Numeri di Stirling del secondo tipo e numeri di Bell: ricorsione e serie generatrici.
31/03/22: I numeri di Stirling del secondo tipo sono i coefficienti della matrice di cambiamento di coordinate (matrice di transizione) dalla base di K[x] data dai monomi x^n alla base data dai polinomi [x]_n, i numeri di Stirling del primo tipo segnati sono i coefficienti della matrice inversa. Formalismo del calcolo alle differenze finite.
06/04/22: Il principio di inclusione-esclusione. Applicazioni ed esempi: probleme des rencontres ovvero permutazioni che non fissano nessun elemento.
07/04/22: Numero di permutazioni con insieme delle discese fissato, e q-analogo. Permutazioni con restrizioni sul grafico (non-attacking rooks).
13/04/22: Probleme des menages. Insiemi parzialmente ordinati (poset): definizione, alcuni esempi fondamentali, terminologia (intervalli, catene, lunghezza). Poset graduati, funzione rango e funzione generatrice di un poset graduato.
04/05/22: Costruzioni astratte di poset: somma disgiunta, prodotto diretto, duale, poset dei morfismi tra due poset. Convoluzione e algebra di incidenza. Principio di inversione di Moebius.
05/05/22: Calcolo della funzione di Moebius negli esempi più semplici. Teorema di Hall e interpretazione in termini di caratteristica di Eulero del complesso simpliciale d'ordine.
11/05/22: Cenni alla nozione di reticolo e reticolo distributivo, enunciato del teorema di caratterizzazione dei reticoli distributivi localmente finiti con elemento minimo. Poset binomiali e funzioni generatrici ordinarie, esponenziali e euleriane: algebra di incidenza ridotta di un poset binomiale e isomorfismo con l'algebra delle serie di potenze formali.
12/05/22: Funzioni generatrici razionali: teorema di caratterizzazione delle sequenze che danno luogo a funzioni generatrici razionali, esempi (numeri di Fibonacci), caso particolare delle sequenze polinomiali.
18/05/22: Funzioni generatrici razionali associate a matrici di adiacenza di grafi orientati e non orientati: esempi semplici.
19/05/22: Algebra delle funzioni simmetriche: funzioni simmetriche monomiali, funzioni simmetriche elementari, funzioni simmetriche omogenee complete.
25/05/22: L'involuzione dell'algebra delle funzioni simmetriche: scambia funzioni simmetriche elementari e funzioni simmetriche omogenee complete. Funzioni simmetriche di Newton (somme di potenze): sono autofunzioni dell'involuzione. Il prodotto scalare: le funzioni simmetriche monomiali e le funzioni simmetriche omogenee complete sono basi duali, le funzioni simmetriche di Newton sono una base ortogonale, l'involuzione è un'isometria.
26/05/22: Formule di prodotto e composizione di funzioni generatrici esponenziali: dimostrazione del fatto che le funzioni simmetriche di Newton sono autofunzioni dell'involuzione e formano una base ortogonale. Tableaux semi-standard (sghembi e non) e funzioni simmetriche di Schur.
01/06/22: Algoritmo di Robinson-Schensted-Knuth, Identità di Cauchy, le funzioni simmetriche di Schur formano una base ortonormale. Duale dell'algoritmo di Robinson-Schensted-Knuth e duale dell'Identità di Cauchy.
08/06/22: Definizione classica dei polinomi di Shur come bialternanti. Coefficienti e regola di Littlewood-Richardson, con dimostrazione solo accennata (enunciati e definizioni: Teorema di Green, equivalenza di Knuth, jeu de taquin). Riassumo qui gli esercizi assegnati sul capitolo 7: 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13a, 28, 30, 31, 32, 37, 58, 59.