Testi di riferimento:
R. Stanley, Enumerative Combinatorics, volume 1, second edition, Cambridge University Press, 2011.
R. Stanley, Enumerative Combinatorics, volume 2, Cambridge University Press, 2001.
Diario delle lezioni:
06/03/25: Contare insiemi e multinsiemi: coefficienti binomiali, composizioni, composizioni deboli, multinsiemi.
07/03/25: Coefficienti multinomiali. Riferimenti: sezione 1.2. Esercizi proposti: (capitolo 1) 2, 3, 8, 10, 25, 34. Permutazioni: rappresentazione standard e biezione fondamentale, tipo di una permutazione e permutazioni di tipo fissato.
13/03/25: Numero di permutazioni di [n] con un numero k di cicli (numeri di Stirling del primo tipo senza segno).
14/03/25: Tavola delle inversioni di una permutazione e distribuzione della statistica inv (numero di inversioni). Insieme delle discese di una permutazione, numero delle discese, numeri euleriani. Riferimenti: sezioni 1.3 e 1.4. Esercizi proposti: (capitolo 1) 35, 36, 37, 49a, 50, 51, 52, 117, 120, 127. q-analoghi degli interi positivi, del fattoriale e dei coefficienti binomiali.
20/03/25: Statistica maj (major index), biezione che trasforma maj in inv (inv e maj sono equidistribuite). La biezione che trasforma maj in inv preserva l'insieme delle discese della permutazione inversa (reading set), segue che inv e maj hanno distribuzione simmetrica. Riferimenti: sezione 1.4.
21/03/25: Matrice di una permutazione e diagramma di una permutazione. Permutazioni di [n] che evitano una fissata permutazione di [3] e numeri di Catalan. Riferimenti: sezione 1.5. Esercizi proposti: (capitolo 1) 57, 58, 60. Permutazioni di un multinsieme e distribuzione della statistica inv. Riferimenti: sezione 1.7. Esercizi proposti: (capitolo 1) 56, 62, 64, 176.
27/03/25: Partizioni: ricorsione per il numero di partizioni di n di lunghezza k. Funzioni generatrici che contano le partizioni con diagramma contenuto in un rettangolo fissato, le partizioni con al più k parti, le partizioni con k parti, tutte le partizioni, partizioni con restrizioni fissate sulle molteplicità. Riferimenti: sezioni 1.7 e 1.8. Esercizi proposti: (capitolo 1) 22, 70, 71, 73, 75, 80.
01/04/25: Tre identità con produttorie infinite interpretabili in termini di partizioni e loro varianti finite (q-analogo dello sviluppo della potenza del binomio). Riferimenti: sezione 1.8. Esercizi proposti: (capitolo 1) 76, 100. Dodici modi per contare le applicazioni tra due insiemi finiti.
Attenzione, le prossime lezioni sono:
03/04/25: giovedì dalle 8:00 alle 10:00 come al solito
04/04/25: venerdì dalle 15:00 alle 17:00 come al solito
08/04/25: martedì dalle 8:00 alle 10:00 in aula C (lezione di recupero)
10/04/25: giovedì dalle 8:00 alle 10:00 come al solito
11/04/25: venerdì dalle 15:00 alle 17:00 come al solito
Pausa totale di tre settimane
06/05/25: martedì dalle 8:00 alle 10:00 in aula C (lezione di recupero)
A partire da giovedì 8 maggio in poi come da orario definitivo giovedì dalle 8:00 alle 10:00 e venerdì dalle 15:00 alle 17:00 senza ulteriori lezioni di recupero (salvo imprevisti).