Famiglie differenza in Z2d+1 x
Z2d+1 e famiglie perfette in Z x Z
Andrea Vietri (Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici,
Università di Roma "La Sapienza")
Le famiglie differenza sono un importante punto di contatto tra la teoria
dei gruppi e la teoria dei disegni. In molti casi esse sono state lo
strumento principale con cui il linguaggio algebrico ha prodotto teoremi
di esistenza per disegni a blocchi e, più in generale, per
decomposizioni di grafi in copie di sottografi assegnati. In questo
seminario si riassumono alcuni concetti di base sulle famiglie differenza
e sulle decomposizioni di grafi, per poi descrivere particolari famiglie
differenza con blocchi di cardinalità 3 in gruppi del tipo
Z2d+1 x Z2d+1. Tali blocchi provengono
da terne in Z x Z che si proiettano adeguatamente sul
prodotto degli insiemi quoziente, così da generare le famiglie
richieste. Una proiezione simile è stata studiata nel caso
1-dimensionale. Nel presente contesto l'aggiunta di una dimensione
favorisce l'interpretazione geometrica.
Nella seconda parte del seminario si fornisce una condizione necessaria
affinché esista una proiezione per un d fissato, e si
esibiscono due classi infinite di famiglie di terne in Z x
Z, oltre a citare due esempi sporadici che, per ora, non si sono
lasciati generalizzare.