(jungle rats are subject to die if confronted suddenly with a hopeless situation)
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Programma di massima del corso: Curve algebriche piane. Sottoinsiemi chiusi dello spazio affine. Funzioni razionali. Varietà quasiproiettive. Prodotti di e morfismi tra varietà quasiproiettive. Dimensione di una varietà quasiproiettiva. Punti singolari e nonsingolari. Espansioni in serie di potenze. Proprietà dei punti nonsingolari. La struttura dei morfismi birazionali. Varietà normali. Singolarità di un morfismo. Testo consigliato:
Altri testi di riferimento:
Lezioni:
Martedì 9-11 in Aula F; giovedì 9-11 in Aula C.
Appelli d'esame:
OPIS: SWYCTW5T
Lezione 1. Curve algebriche piane. Curve razionali. Interpretazione in termini di campi di funzioni razionali. [Shafarevich, Capitolo 1, 1.1, 1.2, 1.3]
Lezione 2. Mappe razionali. Punti lisci e punti singolari. Parametri locali. Il piano proiettivo. [Shafarevich, Capitolo 1, 1.4, 1.5, 1.6]
Lezione 3. Chiusi dello spazio affine (la topologia di Zariski). Il teorema della base di Hilbert [Shafarevich, Capitolo 1, 2.1]
Lezione 4. Ancora sulla topologia di Zariski. Il teorema degli zeri di Hilbert. Funzioni regolari su una varietà affine e mappe regolari tra varietà affini [Shafarevich, Capitolo 1, 2.1, 2.2, 2.3] [slides]
Lezione 5. Varietà irriducibili. Funzioni razionali su una varietà affine e mappe razionali tra varietà affini. Equivalenze birazionali. [Shafarevich, Capitolo 1, 3.1, 3.2, 3.3] [slides]
Lezione 6. Varietà proiettive. Ricoprimenti affini di varietà proiettive. Le varietà Grassmanniane [Shafarevich, Capitolo 1, 4.1, 4.2] [slides]
Lezione 7. Ancora sulle Grassmanniane. L'immersione di Veronese [Shafarevich, Capitolo 1, 4.3, 4.4] [slides]
Lezione 8. Prodotti di varietà proiettive. L'immersione di Segre. Le mappe regolari da una varietà proiettiva verso una varietà quasiproiettiva sono chiuse [Shafarevich, Capitolo 1, 5.1, 5.2] [slides]
Lezione 9. Mappe finite tra varietà affini. Il lemma di Nakayama. [Shafarevich, Capitolo 1, 5.3] [slides]
Lezione 10. Mappe finiteà quasiproiettive. La proiezione da un sottospazio è finita sull'immagine. Il teorema di normalizzazione di Noether. [Shafarevich, Capitolo 1, 5.4] [slides]
Lezione 11. La dimensione di una varietà quasiproiettiva. [Shafarevich, Capitolo 1, 6.1] [slides]
Lezione 12. La dimensione dell'intersezione di varietà quasiproiettive. [Shafarevich, Capitolo 1, 6.2] [slides]
Lezione 13. La dimensione delle fibre. Rette nelle superfici di grado m in
Lezione 14. Anelli locali e spazi tangenti. [Shafarevich, Capitolo 2, 1.1, 1.2, 1.3] [slides]
Lezione 15. La fibrazione tangente. Punti lisci e punti singolari. Il cono tangente. [Shafarevich, Capitolo 2, 1.4, 1.5] [slides]
Lezione 16. Parametri locali. Espansioni in serie di potenze. [Shafarevich, Capitolo 2, 2.1, 2.2., 2.3] [slides]
Lezione 17. Geometria locale delle sottovarietà attorno a un loro punto liscio. Il luogo di indeterminazione di una mappa razionale verso uno spazio proiettivo ha codimensione almeno 2 [Shafarevich, Capitolo 2, 3.1, 3.2.] [slides] [qualche conto attorno lemma di preparazione di Weierstrass
Lezione 18. Lo scoppiamento in un punto dello spazio affine e dello spazio proiettivo [Shafarevich, Capitolo 2, 4.1, 4.2] [slides]
Lezione 19. Lo scoppiamento in un punto di una varietà quasiproiettiva. Sottovarietà eccezionali. Modelli minimali. [Shafarevich, Capitolo 2, 4.3, 4.4, 4.5] [slides]
Lezione 20. Varietà normali. [Shafarevich, Capitolo 2, 5.1] [slides]
Lezione 21. La normalizzazione delle varietà affini. La normalizzazione delle curve algebriche [Shafarevich, Capitolo 2, 5.2, 5.3] [slides]
Lezione 22. Serie di Puiseux. Poligoni di Newton. [Shafarevich, Capitolo 2, 5.3] [slides]
Lezione 23. Una varietà proiettiva liscia di dimensione n si può immergere in uno spazio proiettivo di dimensione 2n+1. Il teorema di Bertini sull'irriducibilità delle fibre. [Shafarevich, Capitolo 2, 5.4, 6.1] [slides]
Lezione 24. Il teorema di Bertini sulla non singolarità delle fibre. [Shafarevich, Capitolo 2, 6.2] [slides]
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