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Programma di massima del corso: Omologia simpliciale. Omologia persistente. Campi finiti e residui quadratici. Elementi di crittografia. Crittografia a chiave pubblica e l'algoritmo RSA. Test di primalità e algoritmi di fattorizzazione. Aritmetica delle curve ellittiche. Crittosistemi basati su curve ellittiche. Testi consigliati:
Lezioni:
Martedì 9-11 in aula E, giovedì 10-12 in aula C, venerdì 14-16 in aula G.
Codici OPIS: 9BS31PLQ, I4JAMZ0H, KM50ADFQ, WI7CMKK0
Google classroom: aopalrj
Streaming: https://meet.google.com/pfr-ybhb-omd
Lezione 1. Principi generali di crittografia a chiave privata e a chiave pubblica. Lo scambio di chiavi di Massey-Omura. (K IV.1, K IV.2, K IV.3)
Lezione 2. Complessi simpliciali astratti (M 1.2).
Lezione 3. La chiave condivisa di Diffie-Hellman. Anelli a ideali principali. (K IV.1, K IV.2, K IV.3)
Lezione 4. Omologia dei complessi simpliciali ordinati (M 2.8, M 3.4).
Lezione 5. Il calcolo del massimo comun divisore con l'algoritmo di Euclide delle divisioni successive. L'identità di Bezout. La funzione φ di Eulero (K I.2, K I.3).
Lezione 6. H0 e il numero di componenti connesse (M 3.1,3.5). La forma normale di Smith (prima parte)
Lezione 7. Il teorema cinese dei resti. (K I.2, K I.3)
Lezione 8. La forma normale di Smith.
Lezione 9. Il teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati (prima parte). Il gruppo moltiplicativo di un campo finito è ciclico.
Lezione 10. Il teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati (seconda parte).
Lezione 11. Il test di primalità di Fermat. Numeri pseudoprimi.
Lezione 12. Residui quadratici. Il simbolo di Legendre. (K II.2)
Lezione 13. I simboli di Legendre (-1|p) e (2|p). (K II.2)
Lezione 14. La reciprocità quadratica. (K II.1, K II.2)
Lezione 15. Il simbolo di Jacobi. (K II.2)
Lezione 16. Il test di primalità di Solovay-Strassen. (K V.1, K II.2 esercizio 21)
Lezione 17. Categorie e funtori. Funtorialità dell'omologia. (M 1.5, M 2.8)
Lezione 18. Moduli di persistenza (prima parte). (M 6.4, M 6.5)
Lezione 19. Il test di primalità di Miller-Rabin. (K V.1)
Lezione 20. Moduli di persistenza (seconda parte). (M 6.4, M 6.5)
Lezione 21. Il metodo di fattorizzazione di Fermat e le basi di primi. (K V.3)
Lezione 22. Barcodes. Dai dati al barcode. (M 6.3, M 6.4, M 6.5)
Lezione 23. Frazioni continue (K V.4)
Lezione 24. Ancora frazioni continue (K V.4)
Lezione 25. Lo sviluppo in frazione continua della radice di un intero non quadrato. (K II.2)
Lezione 26. Di nuovo il metodo di fattorizzazione di Fermat e le basi di primi. I crittosistemi di tipo RSA. (K IV.1, K IV.2, K IV.3)
Lezione 27. Il metodo di fattorizzazione p-1 di Pollard. Curve ellittiche (prima parte) (K VI.4, K VI.1).
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