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Per commenti/correzioni al sito scrivere a C.Malvenuto, indicando nel subject un riferimento al sito del corso di Algebra per Intelligenza Artificiale. Diario delle lezioni

1) Giovedì  22 settembre (lezioni 1-2):
Introduzione al corso. Modalità di esame. Contenuti. Libri di testo.

2) Venerdì  23 settembre (lezioni 3-4):
Argomenti del corso. Motivazioni. Insiemi. Elementi. Appartenenza. Insieme vuoto. Sottoinsieme. Sottoinsieme proprio. Uguaglianza tra insiemi. Insiemi in forma tabulare e caratteristica. Quantificatori: esistenziale, universale. Connettivi logici: e, oppure, implica, è implicato, se e solo se, la negazione.
[Alg] 1.1

3) Martedì  27 settembre (lezioni 5-6-7):
Operazioni tra insiemi. Unione, intersezione, differenza, complementare di un insieme in un altro. Unione e intersezione di famiglie di insiemi. Il complemento relativo di un insieme in un altro. Prodotto cartesiano di insiemi. Insieme delle parti di un insieme. Esempi.
[Alg] 1.1 e 1.2

4) Giovedì  29 settembre (lezioni 8-9):
Relazioni. Esempi. La relazione inversa. Relazione inversa di una relazione data. Relazione di equivalenza. Proprietà di una relazione: simmetrica, transitiva, riflessiva, antisimmetrica, totale.
[Alg] 1.2

5) Venerdì  30 settembre (lezioni 10-11):
Classe di equivalenza. Insieme quoziente. Esempi. Partizioni insiemistiche. Teorema 1. data una relazione di equivalenza, l'insime quoziente è una partizione di A. Teorema: Ogni partizione di A determina una relazione di equivalenza le cui classi sono gli insiemi della partizione.
[Alg] 1.2

6) Lunedì  3 ottobre (lezioni 12-13):
Teorema: ogni partizione di A permette di definire una relazione di equivalenza (le cui classi sono gli insiemi della partizione data. In sostanza: partizioni su A e classi di equivalenza su A, pur essendo oggetti diversi, sono in corrispondenza biunivoca. Insiemi parzialmente ordinati. Esempi. Diagramma di Hasse di un insieme parzialemtne ordinato. La relazione di divisibilità tra interi. Applicazioni (o funzioni).
[Alg] 1.2 e 1.3

7) Martedì  4 ottobre (lezioni 14-15-16):
Immagine e controimmagine di un elemento. Immagine dell'applicazione. Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche. Applicazione inversa. Composizione di funzioni.
[Alg] 1.3

8) Giovedì  6 ottobre (lezioni 17-18):
Il principio di induzione, gli assiomi di Peano. Definizione di somma di naturali. Uso del principio di induzione. Alcuni esercizi.
[Alg] 1.4

8) Giovedì  6 ottobre (lezioni 17-18):
Il principio di induzione, gli assiomi di Peano. Definizione di somma di naturali. Uso del principio di induzione. Alcuni esercizi.
[Alg] 1.4

9) Venerdì  7 ottobre (lezioni 19-20):
Esercizi sulle funzioni dala Scheda 2. e Scheda 3. Successioni ricorsive. Il fattoriale.
[Alg] 1.4

10) Lunedì  10 ottobre (lezioni 21-22):
Applicazione composta. Applicazione identica di un insieme in se'. Funzioni invertibili. Numeri di Fibonacci. Esercizi dalla Scheda 3.
[Alg] 1.3, 1.4, 2.5

11) Martedì  11 ottobre (lezioni 23-24-25):
Esercizi sull'induzione. Il Principio di induzione forma forte e il principio del buon ordinamento: due forme equivalenti al principio di induzione. Teorema di esistenza e unicità di quoziente e resto sugli interi.
[Alg] 2.1

12) Giovedì  13 ottobre (lezioni 26-27):
Costruzione dei razionali come classi di equivalenza di coppie di interi (il secondo non nullo). Costruzione degli interi come classi di equivalenza. La divisibilità. Elementi irriducibili. Primi. Proposizione: Primo equivalente a irriducibile. Massimo comune divisore. Elementi coprimi. Teorema di esistenza e unicità del massimo comune divisore. Identità di Bézout
[Alg] 2.2

13) Venerdì  14 ottobre (lezioni 28-29):
Algoritmo di Euclide. Dimostrazione. Identità di B&eavure;zout: si trova ricavando i resti dalle divisioni successive. Prop.1 a e b sono coprimi se e solo se 1=as+bt per qualche s, t in Z. Prop. 2. Se due coprimo dividono un terzo numero, allora anche il loro prodotto lo divide. Prop. 3. Se p irriducibile, allora se p divide ab allora si deve avere che p divide a oppure p divide b. Teorema fondamentale dell'aritmetica: ogni numero maggiore di 1 si fattorizza in prodotto di primi in modo unico a meno dell'ordine.
[Alg] 2.3

14) Lunedì  17 ottobre (lezioni 30-31):
Unicità della fattorizzazione in primi a meno dell'ordine. Corollario: un numero e il successivo sono primi fra loro. Equazioni diofantee. Equazioni diofantee in due variavili di primo grado. Cirtirio necessario e sufficuente per la risolubilità della equazione diofantea ax+by=c. Esempi, esercizi. Teorema di Euclide: CI sono infiniti numeri primi. La congruenza modulo un intero: è una relazione di equivalenza.
[Alg] 1.3 p> 15) Martedì  18 ottobre (lezioni 32-33-34):
Congruenza modulo n. Insieme quoziente Z_n. Rappresentanti canonici: sistema di rappresentanti "resti della divisione" e "minimi in modulo". Operazioni su Z_n. Somma e prodotto di classi. Opposto. Inverso.
[Alg] 1.3

16) Giovedì  20 ottobre (lezioni 35-36):
Divisori di classe 0. Teorema: La classe di a in Z_n è invertibile se e solo se a è comprimo col modulo n. Ricerca dell'inverso moltiplicativo.
[Alg] 2.6

17) Venerdì  21 ottobre (lezioni 37-38):
Esempi tabelline di Z_n. L'nsieme U(Z_n) degli invertibili delle classi resto modulo n. Proprietà delle congruenze. Equazioni alle congruenze. Proposizione: se p è primo, allora (x+y)^p= x^p+y^p. Piccolo teorema di Fermat.Corollario: se a e p sono coprimi, allora a^(p-1) congruo a 1 modulo p.
[Alg] 2.6

18) Lunedì  24 ottobre (lezioni 39-40):
Criteri per risuluzioni di congruenze lineari. Esercizi.Funzione phi di Eulero. Teorema di Eulero-Fermat.
[Alg] 2.7 2.8 2.9

19) Martedì  25 ottobre (lezioni 41-42-43):
Teoria della cardinalità. Insiemi finiti, insiemi numerabili. Unione finita di numerabili è numerabile. Unione numerabile di numerabili è numerabile. Corollario. L'insieme dei razionali è numerabile. La cardinalità del numerabile è la più piccola cardinalità per un insieme finito. Calcolo combinatorio. Permutazioni. Selezione di k elementi da un insieme a n elementi.
[Alg] 1.5 e 1.6

*) Giovedì  27 ottobre:
Lezione cancellata per motivi familiari

*) Venerdì  28 ottobre:
Lezione cancellata per motivi familiari

20) Lunedì  31 ottobre (lezioni 44-45):
Esercitazione, ripasso cul coefficiente binomiale. Teorema del binomiale. Alcune proprietà dei binomiali. Simmetria centrale, Ricorsione del binomiale. Somma dei coefficienti sulla riga n-sima del binomiale.
[Alg] 1.6

21) Giovedì  3 novembre (lezioni 46-47):

22) Venerdì  4 novembre (lezioni 48-49):
Esempi di gruppi. Le k-uple. Le classi resto modulo n. L'insieme degli invertibili. Il gruppo delle permutazioni di un insieme A. Permutazioni di n interi. Periodo di una permutazione. Notazione in due righe. Notazione ciclica.
[Alg] 5.2

23) Lunedì  7 novembre (lezioni 50-51):
Rappresentazione ciclica di una permutazione. Orbite di un elemento. Cicli disgiunti. Inverso di una permutazione. Cenni sulla classificazione ai gruppi finiti. Legge di cancellazione in un gruppo.
[Alg] cap. 5.

24) Martedì  8 novembre (lezioni 52-53-54):
Ordine di un gruppo. Unicità dell'inverso. Unività dell'ele,emto neutro. Gruppi di ordine 1, 2, 3, 4. Il gruppo di Klein (dei movimenti rigidi del quadrato). Gruppi diedrali.
[Alg] 5.4

25) Giovedì  10 novembre (lezioni 55-56):
Sottogruppo generato da un insieme.Ordine o periodo di un elemento. Elementi aperiodici. Esempi. Sottogruppi generati da un elemento (gruppi ciclici). Struttura dei gruppi ciclici e sottogruppi. Diagramma di Hasse dei divisori di n. Diagramma di Hasse dei sottogruppi di un gruppo ciclico di ordine n. Esercizi.
[Alg] 5.1

26) Venerdì  11 novembre (lezioni 57-58):
Esercizio su matrici 2X2 invertibili. Isomorfismi di gruppi. Omomorfismi di gruppi. Esempi Esercizi dalla scheda 7. Struttura dei sottogruppi di (Z,+).
[Alg] 5.6 Strutture algebriche. Semigruppo. Esempi. Monoide. Esempi. Il monoide delle parole. Gruppo.
[Alg] 5.1

27) Lunedì  14 novembre (59-60):
Esercizi sui gruppi. scheda 8. Sottogruppi. Due criteri equivalenti perché un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo. Il gruppo simmetrico. Scambi o trasposizioni. Proposizione 1. Ogni permutazione si scrive come prodotto di scambi. Struttura ciclica delle permutazioni. Teorema: la parità del numero di scambi in cui si scrive una permutazione è una invariante per la permutazione. Permutazioni pari e dispari.
[Alg] 5.2

28) Martedì  15 novembre (lezioni 61-62-63):
Ogni permutazione si scrive come prodotto di trasposizioni adiacenti. Anelli: assiomi. Esempi. Anelli unitari. Anelli commutativi. Esempi. Campi. Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Regole di calcolo negli anelli. Ordine di una permutazione: minimo comune multiplo dell'ordine dei suoi cicli disgiunti. Struttura ciclica di una permutazione.
[Alg] 4 e 5.2

29) Giovedì  17 novembre (lezioni 64-65):
Sottoanelli. Isomorfismo tra anelli. Sottocampi. Esempi. I polinomi. Il sottoanello generato da un polinomio. Se K è un campo si può eseguire la divisione euclidea tra polinomi. Polinomi a coefficienti in un campo finito. Somma diretta di anelli. L'anello delle matrici quadrate...
[Alg] 4

30) Venerdì  18 novembre (66-67):
Tutti e soli i sottogruppi di Z[x] sono della forma (p(x)), con p(x) polinomio. Dominio di integrità. Classi laterali modulo un sottogruppo. Congruenza destra e sinistra. Esempi. Classi destre e sinistre. QUoziente modulo la congruenza destra. Teorema di Lagrange: Sia G è un gruppo finito, e H un suo sottogruppo. Allora l'ordine di H divide l'ordine di G. Indice di un sottogruppo in un gruppo.
[Alg] 5.5

31) Lunedì  21 novembre (lezioni 68-69):
Esempi per il teorema di Lagrange. Se G è abeliano, le classi destre coincidono con le classi sinistre. Corollario1. al teorema di Lagrange: Se G è un gruppo di indice 2, allora le classi destre e sinistre sono le stesse. Il gruppo alterno (sottogruppo delle permutazioni pari di Sn). Corollario 2. Se G finito di ordine un primo, allora G è ciclico. Corollario 3. In un gruppo finito, l'ordine di un elemento divide l'ordine del gruppo. Corollario 4. Sia G finito di ordine n e g un suo elemento: allora g^n=id.

32) Martedì  22 novembre (lezioni 70-71-72):
Corollario 5. Teorema di Eulero - Fermat: se a è coprimo con n allora a elevato alla phi(n) congruo a 1 mod n (phi funzione di eulero) Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Elementi coniugati di un gruppo. Criterio per la normalità (diverse condizioni equivalenti). Omomorfismi, e nucleo di omomorfismi. Automorfismi di un gruppo.

33) Giovedì  24 novembre (lezioni 73-74):
Classi coniugate in Sn. Ci sono tante classi coniugate quante partizioni dell'intero n. Algebra Lineare: Definizione di Spazio vettoriale: assiomi. Esempi: i vettori della fisica. Lo spazio vettoriale delle n-uple reali. Spazio delle righe, spazio delle colonne.
[AlgLin] 2.1 e 4.1

34) Venerdì  25 novembre (lezioni 75-76):
Esempio: Spazio vettoriale delle matrici rettaglolari a valori su un campo K. Somma di Matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Esempio: i polonomi a coefficienti in un campo K. Somma di polinomi, prodotto per uno scalare. Esempio: lo spazio vettoriale dei polinomi troncati al grado t. Definizione di sottospazio vettoriale. Criteri perché un sottoinsieme di uno spazio V sia un sottospazio. Esercizi. Traccia di una matrice.
[AlgLin] 6.2

35) Lunedì  28 novembre (lezioni 77-78):
Esempio: lo spazio delle funzioni da U a valori reali. Regole di calcolo negli spazi vettoriali. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare.
[AlgLin] 4.2

36) Martedì  29 novembre (lezioni 79-80-81):
Lo spazio generato da un insieme di vettori. Isomorfismi di spazi vettoriali. Trasformazioni lineari. Base di uno spazio vettoriale. Esercizio. Insieme di generatori per V. Base canonica dello spazio delle colonne. Esempi. Matrici elementari. Importanza delle basi. Le coordinate. Esistenza delle basi. Teorema del completamento di una base.
[AlgLin] 4.3 e 4.4

37) Giovedì  1 dicembre (lezioni 82-83):
Due basi dello stesso spazio hanno la stessa cardinalità. Dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema del completamento: dimostrazione. Sottospazi speciali: intersezione, somma, somma diretta. Teorema: formula di Grassmann. Equazioni lineari, sistemi lineari. Equazioni omogenee (vedi dispensa su Classroom).
[AlgLin] 5.1

38) Venerdì  2 dicembre (lezioni 84-85):
La trasposta di una matrice. matrici simmetriche. Sistemi di equazioni ienari. Soluzioni del sistema. Colonna dei termini noti, matrice del sistema. Sistema in forma matriciale. Sistemi equivalenti. Sistema incompatibile. Nucleo della matrice. Sistema omogeneo associato ad A. COme risolvere un sistema.
[AlgLin] 6.1

39) Lunedì  5 dicembre (lezioni 86-87):
Equivalenza di righe. Operazioni elementari di riga. Matrici equivalenti per riga. Forme canoniche delle matrici. Matrici elementari. Prodotto matriciale righe per colonne.
[AlgLin] 6.1 e Note personali online

40) Martedì  6 dicembre (lezioni 88-89-90):

[AlgLin] 6.2 Criterio per invertire una matrice. L'algoritmo di Gauss-Jordan. Pivot. Matrice ridotta per righe. Colonna pivot. Matrice ridotta a scala. Rango di una matrice. Proprietà del rango. Esercizi. Teorema per i sistemi lineari.
[AlgLin] 6.2

*) Giovedì  8 dicembre (no lezione):
Festività

41) Venerdì  9 dicembre (lezioni 91-92):
Esercitazione
[AlgLin] 6.2 e 6.3

42) Lunedì  12 dicembre (lezioni 93-94):
Teorema di Rouché-Capelli (rango della matrice del sistema e della matrice aumentata). Trasformazioni lineari. Sottospazi associati a T. Nucleo e immagine di una trasformazione lineare. Trasposizione. Proposizione: per determinare univocamente una trasformazione lineare occorre conoscere le immagini dei vettori di una vase del dominio. Corollario: due applicazioni da V a W coincidono se sono uguali i trasformati di unabase di V. Nucleo di una matrice. Nullità di una matrice. Nullità di una trasformazione lineare. Rango di una trasformazione lineare. Teorema della dimesione. Esempio.
[AlgLin] 7.1 e 7.2

43) Martedì  13 dicembre (lezioni 95-96-97):
Teorema della dimensione. (5.7) Corollario: Se T: V-->W è lineare, allora:
T iniettiva se e solo se rg(T)= dim V
T suriettiva se e solo se rg(T)= dim W
se dim V= dim W, T iniettiva se e solo se suriettiva.
Teorema di Rouché- Capelli (5.9)
Sistemi lineari e uso dell'algoritmo di Gauss-Jordan: Teorema 6.3. Tecniche di calcolo paragrafo 6.3
Svolti esercizi relativi.
[AlgLin] cap 5.2 e cap 6.3

44) Giovedì  15 dicembre (lezioni 98-99):
Composizioni e isomorfismi. Proposizione 7.1, 7.2, Corollario 7.3. Esempi di isomorfismi canonici.
Isomorfismo L tra lo spazio vettoriale L(R^n, R^m) e lo spazio vettoriale delle matrici m X n. Proposizione 7.5.
Le matrici invertibili. Teorema 7.7 con condizioni equivalenti sulle matrici invertibili.
[AlgLin] cap 7.1 e cap 6.3 . Esercizi cap 7 n: 2, 3, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21

45) Venerdì  16 dicembre (lezioni 100-101):
Determinante di una matrice. Proposizione 9.1, 9.2. Teorema 9.5. Sviluppo di Laplace. Teorema di Binet.
[AlgLin] cap 9.1, 9.2, 9.3. Esercizi cap 9 n: 2, 3, 5, , 6, 7, 9, 11, 20, 26, 28

46) Lunedì  19 dicembre (lezioni 102-103):
Sottomatrice di ordine k di A. Minore du una matrice. Cofattore di A Sviluppo di Laplace. Esercizi. Gruppo lineare. Esercizi.
[AlgLin] 9.1 e 9.2

47) Martedì  20 dicembre (lezioni 104-105-106):
Teorema di Binet. Teorema di Cramer. Teorema degli orlati. Cambiamenti di base.
[AlgLin] 8.1 e 8.2

48) Giovedì  22 dicembre (lezioni 107-108):
Cambiamento di base. Matrice associata a una trasformazione lineare. Esercizi.
[AlgLin] 6.2

49) Lunedì  9 gennaio (lezioni 109-110):
Esercitazione Come cambia la matrice nel cambiamento di base? Matrici simili. La similitudine è una relazione di equivalenza. Classe di similitudine. Problema della diagonalizzazione.
[AlgLin] 13.1

50) Martedì  10 gennaio (lezioni 111-112-113):
Autovettori. Autovalori. Spettro di una trasformazione lineare. Autospazio relativo a un autovalore. Come trovare aurovalori e una base per gli autospazi. Polinomio caratteristico di una matrice. Matrici diagonalizzabili: molteplicità Algebrica e geometrica di un autovalore. Criterio per una matrice diagonalizzabile.
[AlgLin] 13.1

51) Giovedì  12 gennaio (lezioni 109-110):
Esercitazione finale su matrici diagonalizzabili.

52) Venerdì  13 gennaio (lezioni 109-110):
Seconda prova di Esonero.