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| Docente | Num. Telefono | Orario Ricevimento | Stanza | |
| Claudia Malvenuto | 06 4991 3210 | claudia@mat.uniroma1.it | Per appuntamento tramite email | 105, primo piano |
Le lezioni daranno solo in presenza, in Aula Levi Civita
o in aula IV
Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo.
Codice corso Classroom qjc5thw
È *necessario* iscriversi al corso su Classrom, seguendo
queste semplici istruzioni,
usando l'indirizzo istituzionale Sapienza:
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poi fai clic su Iscriviti.
In questo modo mi sarà possibile ottenere in automatico una mailing
list. Eventuale link ad appunti manoscritti dell'a.a. 2022-23
prodotti col tablet nele lezioni di quell'anno verrà comunicato a chi
non può frequentare le lezioni (studentesse lavoratrici, studenti lavoratori
o part-time).
Orario lezioni:
(Dipartimento
di Matematica "Guido Castelnuovo")
lunedì ore 14:00-16:00 Aula Levi Civita;
martedì ore 11:00-13:00 Aula Levi Civita,
mercoledì ore 13:00-16:00 Aula IV;
venerdì ore 9:00-11:00 Aula Levi-Civita
Inizio del corso:
mercoledì 25 settembre 2024.
Fine prevista del corso:
... gennaio 2025.
Avvisi
* Le lezioni hanno inizio il 25 settembre 2024.
* Le vacanze di Natale inizieranno il ... dicembre 2024
e terminaneranno il ... gennaio 2025 inclusi.
* Un articolo critico, tratto dal settimanale Internazionale,
La fiducia delle donne:
studiano, lavorano e fanno carriera, ma arrivano raramente ai vertici.
Perché le donne restano indietro?
Leggete la risposta provocatoria di due giornaliste al problema.
* Una lettura interessante, l'articolo di Carl Pomerance
Alla ricerca dei numeri primi
apparso su Le Scienze, numero 174,
febbraio 1983.
*
Istituzione universitaria dei Concerti:
campagna abbonamenti a 30 euro per gli studenti di Sapienza
qui.
* La foto di gruppo
Esami
* L'esame è scritto e orale. Il voto finale è formato
dalla media dei
due voti ottenuti. Nell'orale la docente saggia la capacità di
studenti e studentesse di aver appreso mediante studio approfondito
e analitico gli argomenti svolti durante le lezioni con una esposizione
dei diversi concetti matematici, le
definizioni, i risultati (teoremi), l'uso consapevole del materiale
presentato, dove contano la precisione, la chiarezza espositiva,
il rigore logico e metodologico.
* Le date degli appelli relativi
all'a.a. 2024/25 sono su InfoStud.
SESSIONE INVERNALE
SESSIONE ESTIVA
SESSIONE AUTUNNALE
Prima prova in itinere: ... novembre 2024 ore ... Aula Levi Civita.
Seconda prova in itinere: ...gennaio 2025 ore ... Aula Levi Civita
Primo appello: 24 gennaio 2025 ore... Aula ...
Orale: dal ... gennaio 2025.
Secondo appello: 11 febbraio 2025 ore ... Aula ...
Orale: dal ... febbraio 2025.
Terzo appello: 23 giugno 2025 ore ... Aula ...
Quarto appello: 10 luglio 2025 ore ... Aula ...
Quinto appello: 9 settembre 2025 ore 10 Aula ...
Programma di esame
Obiettivo del corso:
Piano del corso:
Programma di massima provvisorio
Il programma completo e dettagliato del corso
si ottiene solo alla fine delle lezioni consultando il
diario delle lezioni.
* Insiemi, relazioni, relazioni di equivalenza, relazioni di ordine,
applicazioni, iniettività, suriettività, applicazioni biunivoche.
* Principio di induzione, Assiomi di Peano. Numero naturali, interi,
razionali, complessi.
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Testi Adottati
Altri testi consultabili
Esercizi
Per superare l'esame scritto è necessario svolgere molti esercizi
a casa.
Si può fare riferimento sia ai molti esercizi dei due libri di testo
adottati, che
svolgere gli esercizi delle schede che sono qui sotto elencate:
Diario delle lezioni (Attenzione: per ora c'è il diario delle lezioni dello scorso anno.)
1) Mercoledì 25 settembre (lezioni 1-2-3 CM):
2) Venerdì 27 settembre (lezioni 4-5 CM):
3) Lunedì 30 settembre (lezioni 6-7 CM):
4) Martedì 1 ottobre (lezioni 8-9 CM):
5) Mercoledì 2 ottobre (lezioni 10-11-12 CM):
6) Venerdì 4 ottobre (lezioni 13-14 CM):
7) Lunedì 7 ottobre (lezioni 15-16):
8) Martedì 8 ottobre (lezioni 17-18):
9) Mercoledì 9 ottobre (lezioni 19-20-21):
Il principio di induzione, gli assiomi di Peano. Definizione di somma di
naturali. Uso del principio di
induzione. Alcuni esercizi.
Numeri di Fibonacci.
10) Venerdì 11 ottobre (lezioni 22-23 DV):
11) Lunedì 14 ottobre (lezioni 24-25):
Il Principio di induzione forma forte e il principio del buon ordinamento:
due forme equivalenti al principio
di induzione.
Successioni ricorsive. Il fattoriale.
Teorema di esistenza e unicità di quoziente e resto sugli interi.
Costruzione dei razionali come classi di equivalenza di coppie di interi
(il secondo non nullo).
12) Martedì 15 ottobre (lezioni 26-27):
13) Mercoledì 16 ottobre (lezioni 28-29-30):
14) Venerdì 18 ottobre (lezioni 31-32):
15) Lunedì 21 ottobre (lezioni 33-34):
16) Martedì 22 ottobre (lezioni 35-36):
17) Mercoledì 23 ottobre (lezioni 37-38-39):
18) Venerdì 25 ottobre (lezioni 40-41 DV):
19) Lunedì 28 ottobre (lezioni 42-43):
20) Martedì 29 ottobre (lezioni 44-45):
21) Mercoledì 30 ottobre (lezioni 46-47-48):
22) Lunedì 4 novembre (lezioni 49-50):
23) Martedì 5 novembre (lezioni 51-52):
24) Mercoledì 6 novembre (lezioni 53-54-55):
25) Venerdì 8 novembre (lezioni 56-57 DV):
26) Lunedì 11 novembre (lezioni 58-59 DV):
27) Martedì 12 novembre (lezioni 60-61 DV):
28) Mercoledì 13 novembre (lezioni 62-63-64 DV):
29) Venerdì 15 novembre (lezioni 65-66 DV):
30) Lunedì 18 novembre (lezioni 67-68):
31) Martedì 19 novembre (lezioni 69-70):
32) Mercoledì 20 novembre (lezioni 71-72-73):
33) Venerdì 21 novembre (lezioni 74-75 DV):
34) Lunedì 25 novembre (lezioni 76-77):
35) Martedì 26 novembre (lezioni 78-79):
36) Mercoledì 27 novembre (lezioni 80-81-82):
37) Venerdì 29 novembre (lezioni 83-84 DV):
38) Lunedì 2 dicembre (lezioni 85-86):
39) Martedì 3 dicembre (lezioni 87-88):
40) Mercoledì 4 dicembre (lezioni 89-90-91):
41) Venerdì 6 dicembre (92-93 DV):
42) Lunedì 9 dicembre (lezioni 94-95):
43) Martedì 10 dicembre (lezioni 96-97):
44) Mercoledì 11 dicembre (98-99-100):
45) Venerdì 13 dicembre (lezioni 101-102 DV):
46) Lunedì 16 dicembre (lezioni 103-104):
47) Martedì 17 dicembre (lezioni 105-106):
48) Mercoledì 18 dicembre (lezioni 107-108-109):
49) Venerdì 20 dicembre (lezioni 110-111 DV):
50) Martedì 8 gennaio (lezioni 112-113-114):
51) Mercoledì 9 gennaio (lezioni 115-116-117):
Sito in costruzione, ultimo aggiornamento:
2 ottobre 2024.
Introduzione al corso. Modalità di esame. Contenuti. Libri di
testo. Prime notazioni sugli insiemi.
Argomenti del corso. Motivazioni. Insiemi. Elementi.
Appartenenza. Insieme vuoto.
Sottoinsieme. Sottoinsieme proprio. Uguaglianza tra insiemi. Insiemi in forma
tabulare e caratteristica. Quantificatori: esistenziale, universale.
Connettivi logici: e, oppure, implica, è implicato, se e solo se,
la negazione. Notazione per insiemi numerici usuali: natorali, interi,
razionali, reali, complessi.
[Alg] 1.1
Operazioni tra insiemi. Unione, intersezione, differenza, complementare di un
insieme in un altro. Unione e intersezione di famiglie di insiemi.
Il complemento
relativo di un insieme in un altro. Prodotto cartesiano di insiemi. Insieme
delle parti di un insieme. Esempi.
[Alg] 1.1 e 1.2
Relazioni. Esempi. La relazione inversa.
Relazione inversa di una relazione data.
La stringa caratteristica di un insieme.
[Alg] 1.2
Proprietà di una relazione: simmetrica, transitiva, riflessiva,
antisimmetrica, totale.
Relazione di equivalenza.
Classe di equivalenza. Insieme quoziente. Esempi.
Partizioni insiemistiche. Teorema 1. data una relazione di equivalenza,
l'insieme quoziente è una partizione di A.
Teorema2 : Ogni partizione di A determina una
relazione di equivalenza le cui classi sono gli insiemi della partizione.
In sostanza: partizioni su A e classi di equivalenza su A, pur essendo oggetti
diversi, sono in corrispondenza biunivoca.
Insiemi parzialmente ordinati. Esempi.
[Alg] 1.2
Diagramma di Hasse di un insieme parzialmetne ordinato. La relazione di
divisibilità tra interi. Elementi minimali minimo e massimo in un
"poset".
[Alg] 1.3
La congruenza modulo un intero. Esempi. Rappresentanti canonici: i resti
della divisione, oppure gli interi minimi in modulo. Classi resto modulo n.
Applicazioni (o funzioni).
Immagine e controimmagine di un elemento.
[Alg] 1.4
Immagine dell'applicazione. Applicazioni iniettive, suriettive,
biunivoche. Applicazione inversa. Composizione di funzioni.
Applicazione composta. Applicazione identica di un
insieme in se'. Funzioni invertibili.
[Alg] 1.4
Esercizi dalla Scheda 3.
Esercizi sulle relazioni dalla Scheda 1. e sulle funzioni dalla Scheda 2.
Attenzione: per l'orale studiare anche
la costruzione degli interi a partire dai naturali e dei razionali a
partire dagli interi
[Alg] 1.3, 1.4, 2.5
[Alg] 2.1
La relazione di divisibilità sui naturali.
Elementi irriducibili. Primi.
Proposizione:
Primo equivalente a irriducibile. Massimo comune divisore. Elementi coprimi. Teorema di esistenza e
unicità del massimo comune divisore. Identità di Bézout
Algoritmo di Euclide. Dimostrazione. Identità di Bézout:
si trova ricavando i resti dalle divisioni successive.
Prop.1 a e b sono coprimi se e solo se 1=as+bt per qualche s, t in Z.
Prop. 2. Se due coprimi dividono un terzo numero, allora anche il loro
prodotto lo divide.
[Alg] 2.2
Prop. 3. Se p irriducibile, allora se p divide ab allora si deve avere
che p divide a oppure p divide b.
Teorema fondamentale dell'aritmetica: ogni numero maggiore di 1 si
fattorizza in prodotto di primi in modo unico a meno dell'ordine.
Unicità della fattorizzazione in primi a meno dell'ordine.
Corollario: un numero e il successivo sono primi fra loro.
Equazioni diofantee. Equazioni diofantee in due variabili di primo grado.
Criterio necessario e sufficuente per la risolubilità della
equazione diofantea ax+by=c. Esempi, esercizi. Teorema di Euclide:
Ci sono infiniti numeri primi.
[Alg] 2.3
La congruenza modulo un intero: è una relazione di equivalenza.
Congruenza modulo n. Insieme quoziente Z_n.
Rappresentanti canonici: sistema di rappresentanti "resti della divisione"
e "minimi in modulo".
Operazioni su Z_n. Somma e prodotto di classi. Opposto. Inverso.
Divisori di classe 0. Teorema: La classe di a
in Z_n è invertibile se e solo se a è comprimo col modulo n. Ricerca
dell'inverso moltiplicativo.
[Alg] 1.3
Esempi tabelline di Z_n. L'nsieme U(Z_n) degli invertibili
delle classi resto modulo n.
Proprietà delle congruenze. Equazioni alle congruenze.
Criteri per risoluzioni di congruenze lineari. Esercizi
Proposizione: se p è primo, allora (x+y)^p= x^p+y^p. Piccolo teorema
di Fermat.Corollario: se a e p sono coprimi,
allora a^(p-1) congruo a 1 modulo p.
Funzione phi di Eulero.
Teorema di Eulero-Fermat (dimostrazione rimandata).
[Alg] 2.6
Calcolo combinatorio: coefficiente binomiale. Teorema del binomiale.
Alcune proprietà dei binomiali.
Simmetria centrale, Ricorsione del binomiale.
[Alg] 2.6 e 1.5
Esercitazione sulle schede 1, 2, 3 e 4.
[Alg] 2.7 2.8 2.9
Esercitazione, ripasso sul binomiale. Specializzazioni del binomiale.
Somma dei coefficienti sulla riga n-sima del binomiale.
Somma a segni alterni dei coefficienti sulla riga n-sima del binomiale.
Calcolo del numero di funzioni da [m] a [n]. FInzuioni iniettive da [m] a [n].
Permutazioni. Notazione su 2 righe. Notazione su una riga.
[Alg] 1.6
[Alg] 1.5 e 1.6
Teoria della cardinalità. Insiemi finiti, insiemi numerabili.
per un insieme finito.
Unione finita di numerabili è numerabile.
Unione numerabile di numerabili è numerabile. Corollario. L'insieme dei
razionali è numerabile.
La cardinalità del numerabile è la più piccola cardinalità
Strutture algebriche. Semigruppo. Esempi. Monoide. Esempi.
[Alg] 5.1
Il monoide delle parole. Definizione di Gruppo.
Esempi di gruppi. Le k-uple. Le classi resto modulo n. L'insieme degli
invertibili.
Il gruppo delle permutazioni di un insieme A. Permutazioni di n interi.
Notazione di una permutazione su due righe.
[Alg] 5.2
Notazione ciclica.
Rappresentazione ciclica di una permutazione. Orbite di un elemento.
Cicli disgiunti. Inverso di una permutazione.
Cenni sulla classificazione ai gruppi finiti.
Legge di cancellazione in un gruppo.
[Alg] cap. 5.
Ordine di un gruppo. Unicità dell'inverso. Unicità dell'elemento neutro.
Gruppi di ordine 1, 2, 3, 4. Il gruppo di Klein (dei
movimenti rigidi del quadrato). Gruppi diedrali.
Sottogruppi. Due criteri equivalenti perché un sottoinsieme di un gruppo sia
un sottogruppo.
Regole di calcolo nei gruppi: l'inverso del prodotto è il prodotto degli
inversi in ordine inverso.
Sottogruppo generato da un insieme. Ordine o periodo di un elemento. Elementi
aperiodici.
Esempi. Sottogruppi generati da un elemento (gruppi ciclici).
Struttura dei gruppi ciclici e sottogruppi.
Diagramma di Hasse dei divisori di n. Diagramma di Hasse dei sottogruppi di
un gruppo ciclico di ordine n.
Esercizi.
[Alg] 5.1
Svolti esercizi delle schede 6 e 7: l'intersezione di sottogruppi
è un sottogruppo); struttura dei sottogruppi dei gruppi ciclici finiti e
Descrizione di come sono tutti i sottogruppi di Z; definizione di
omomorfismi e isomorfismi; tutti i gruppi ciclici infiniti sono isomorfi
a Z e tutti quelli di ordine n sono isomorfi a Z/nZ; descrizione del gruppo
diedrale D_3: si è mostrato che è isomorfo a S_3.
Esercizio su matrici 2X2 invertibili.
[Alg] 5.6
Diario aggiornato solo fin qui. Segue il diario delle lezioni dello scorso
anno
Il gruppo simmetrico. Periodo di una permutazione.
Scambi o trasposizioni. Proposizione 1.
Ogni permutazione si scrive come prodotto di scambi. Struttura ciclica delle
permutazioni. Teorema: la parità del numero di scambi in cui si scrive una
permutazione è una invariante per la permutazione.
Permutazioni pari e dispari.
[Alg] 5.2
Ogni permutazione si scrive come prodotto di trasposizioni adiacenti.
Ordine di una permutazione: minimo comune
multiplo dell'ordine dei suoi cicli disgiunti.
Struttura ciclica di una permutazione.
Classi coniugate in Sn. Ci sono tante classi coniugate
quante partizioni dell'intero n.
Esercizi sui gruppi. scheda 8.
[Alg] 4 e 5.2
Classi laterali modulo un sottogruppo. Congruenza destra e sinistra.
Esempi. Classi destre e sinistre. Quoziente modulo la congruenza destra.
Teorema di Lagrange: Sia G è un gruppo finito,
e H un suo sottogruppo. Allora l'ordine di H divide l'ordine di G.
Indice di un sottogruppo in un gruppo.
Esempi per il teorema di Lagrange. Se G è abeliano, le classi destre
coincidono con le classi sinistre.
Corollario1. al teorema di Lagrange: Se G è un gruppo di indice 2,
allora
le classi destre e sinistre sono le stesse.
Il gruppo alterno (sottogruppo delle permutazioni pari di Sn).
Corollario 2. Se G finito di ordine un primo, allora G è ciclico.
Corollario 3. In un gruppo finito, l'ordine di un elemento
divide l'ordine del gruppo. Corollario 4. Sia G finito
di ordine n e g un
suo elemento: allora g^n=id.
Corollario 5. Teorema di Eulero - Fermat: se a è coprimo con n
allora a elevato alla phi(n) congruo a 1 mod n (phi funzione di eulero)
Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Elementi coniugati di un gruppo.
Criterio per la normalità (diverse condizioni equivalenti).
Omomorfismi, e nucleo di omomorfismi. Automorfismi di un gruppo.
[Alg] 4
Anelli: assiomi. Esempi. Anelli unitari. Anelli commutativi. Esempi. Campi.
Polinomi. Somma e prodotto di polinomi.
Regole di calcolo negli anelli.
Sottoanelli. Isomorfismo tra anelli. Sottocampi. Esempi. I polinomi.
Il sottoanello generato da un polinomio.
Se K è un campo si può eseguire la divisione euclidea tra polinomi.
Polinomi a coefficienti in un campo finito. Somma diretta di anelli.
L'anello delle matrici quadrate...
Tutti e soli i sottogruppi di Z[x] sono della forma (p(x)), con p(x)
polinomio. Dominio di integrità.
[Alg] 5.5
[Alg] 5.5, 2.8, 5.2
Prima prova in itinere.
Algebra Lineare: Definizione di Spazio vettoriale: assiomi. Esempi:
i vettori della fisica. Lo spazio vettoriale delle n-uple reali.
Spazio delle righe, spazio delle colonne.
[AlgLin] 2.1 e 4.1
Esempio: Spazio vettoriale delle matrici rettangolari a valori
su un campo K. Somma di Matrici. Prodotto di uno scalare
per una matrice.
Esempio: i polinomi a coefficienti in un campo K. Somma di polinomi,
prodotto per uno scalare. Esempio: lo spazio
vettoriale dei polinomi troncati al grado t.
Definizione di sottospazio vettoriale. Criteri perché un sottoinsieme
di uno spazio V sia un sottospazio. Esercizi. Traccia di una matrice.
[AlgLin] 6.2
Esempio: lo spazio delle funzioni da U a valori reali.
Regole di calcolo negli spazi vettoriali.
Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare.
[AlgLin] 4.2
Lo spazio generato da un insieme di vettori.
Isomorfismi di spazi vettoriali. Trasformazioni lineari. Base di uno spazio vettoriale.
Esercizio. Insieme di generatori per V. Base canonica dello spazio delle colonne.
Esempi. Matrici elementari. Importanza delle basi. Le coordinate.
Esistenza delle basi. Teorema del completamento di una base.
[AlgLin] 4.3 e 4.4
Due basi dello stesso spazio hanno la stessa cardinalità. Dimensione di uno spazio vettoriale.
Teorema del completamento: dimostrazione. Sottospazi speciali: intersezione, somma, somma diretta.
Teorema: formula di Grassmann. Equazioni lineari, sistemi lineari. Equazioni omogenee
(vedi dispensa su Classroom).
[AlgLin] 5.1
La trasposta di una matrice. matrici simmetriche.
Sistemi di equazioni ienari. Soluzioni del sistema. Colonna dei termini noti, matrice del sistema.
Sistema in forma matriciale.
Sistemi equivalenti. Sistema incompatibile. Nucleo della matrice. Sistema omogeneo associato ad A.
Come risolvere un sistema.
[AlgLin] 6.1
Equivalenza di righe.
Operazioni elementari di riga. Matrici equivalenti per riga. Forme canoniche delle matrici.
Matrici elementari.
Prodotto matriciale righe per colonne.
[AlgLin] 6.1 e Note personali online
Criterio per invertire una matrice.
L'algoritmo di Gauss-Jordan. Pivot. Matrice ridotta per righe. Colonna pivot.
Matrice ridotta a scala. Rango di una matrice. Proprietà del rango. Esercizi.
Teorema per i sistemi lineari.
[AlgLin] 6.2
Esercitazione
[AlgLin] 6.2 e 6.3
Teorema di Rouché-Capelli (rango della matrice del sistema e della matrice aumentata).
Trasformazioni lineari. Sottospazi associati a T.
Nucleo e immagine di una trasformazione lineare. Trasposizione. Proposizione: per determinare
univocamente una trasformazione lineare occorre
conoscere le immagini dei vettori di una vase del dominio.
Corollario: due applicazioni da V a W coincidono se sono uguali i trasformati di unabase di V.
Nucleo di una matrice. Nullità di una matrice. Nullità di una trasformazione lineare.
Rango di una trasformazione lineare.
Teorema della dimesione. Esempio.
[AlgLin] 7.1 e 7.2
Teorema della dimensione. (5.7)
Corollario: Se T: V-->W è lineare, allora:
T iniettiva se e solo se rg(T)= dim V
T suriettiva se e solo se rg(T)= dim W
se dim V= dim W, T iniettiva se e solo se suriettiva.
Teorema di Rouché- Capelli (5.9)
Sistemi lineari e uso dell'algoritmo di Gauss-Jordan: Teorema 6.3.
Tecniche di calcolo paragrafo 6.3
Svolti esercizi relativi.
[AlgLin] cap 5.2 e cap 6.3
Composizioni e isomorfismi. Proposizione 7.1, 7.2, Corollario 7.3.
Esempi di isomorfismi canonici.
Isomorfismo L tra lo spazio vettoriale L(R^n, R^m) e lo spazio vettoriale
delle matrici m X n. Proposizione 7.5.
Le matrici invertibili.
Teorema 7.7 con condizioni equivalenti sulle matrici invertibili.
[AlgLin] cap 7.1 e cap 6.3 . Esercizi cap 7 n: 2, 3, 6, 7, 10, 13, 14, 15,
16, 17, 20, 21
Determinante di una matrice. Proposizione 9.1, 9.2. Teorema 9.5. Sviluppo di
Laplace. Teorema di Binet.
[AlgLin] cap 9.1, 9.2, 9.3.
Esercizi cap 9 n: 2, 3, 5, , 6, 7, 9, 11, 20, 26, 28
Sottomatrice di ordine k di A. Minore du una matrice.
Cofattore di A Sviluppo di Laplace. Esercizi. Gruppo lineare. Esercizi.
[AlgLin] 9.1 e 9.2
Teorema di Binet. Teorema di Cramer. Teorema degli orlati. Cambiamenti di base.
[AlgLin] 8.1 e 8.2
Esercitazione Come cambia la matrice nel cambiamento di base? Matrici simili.
La similitudine è una relazione di equivalenza. Classe di similitudine.
Problema della diagonalizzazione.
[AlgLin] 13.1
Autovettori. Autovalori. Spettro di una trasformazione lineare. Autospazio relativo a un autovalore.
Come trovare autovalori e una base per gli autospazi. Polinomio caratteristico di una matrice.
Matrici diagonalizzabili: molteplicità
Algebrica e geometrica di un autovalore. Criterio per una matrice diagonalizzabile.
[AlgLin] 13.1
Esercitazione finale su matrici diagonalizzabili.
Seconda prova in itinere
Per commenti/correzioni al sito scrivere a
C.Malvenuto,
indicando nel subject un riferimento al sito del corso di
Algebra per Intelligenza Artificiale.