Loring W. Tu: An introduction to Manifolds, 2nd edition (2011), Springer Universitext.
con qualche piccola digressione in topologia differenziale. Altri testi di utile consultazione sono:
Milnor: Topology from differentiable viewpoint (1965),
Guillemin, Pollack: Differential topology (1974),
Boothby: An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. (2nd revised edition 2003).
Minitopologia
Dipense di metà corso di geometria differenziale 2008
(3) 23-9-2021: funzioni C-infinito su aperti di R^n, supporto, funzioni bump e teorema di Taylor con resto, campi di vettori. Operatori locali e derivazioni. Equivalenza tra derivazioni e campi di vettori. Esercizio sugli operatori differenziali.
(5) 27-9-2021 (lu): commutatore di campi di vettori. Restrizione di campi di vettori ad aperti. Applicazioni C^oo tra aperti di R^n. Anello dei germi di funzioni differenziabili. Richiami su anelli ed ideali.
(8) 30-9-2021 (gi): spazio tangente in un punto, interpretazione dei vettori come derivazioni. Differenziale e teorema di invertibilita' locale. Esercitazione sulle funzioni bernoccolo.
(10) 4-10-2021 (lu): varieta' topologiche, esaustioni in compatti, carte locali, atlanti differenziabili.
(13) 7-10-2021 (gi): equivalenza di atlanti differenziabili, atlanti massimali, funzioni differenziabili, applicazioni differenziabili e diffeomorfismi. Funzioni bump.
(15) 11-10-2021 (lu): due atlanti sono equivalenti se e solo se hanno le stesse funzioni C^oo. Varietà prodotto. Spazi proiettivi reali. Rivestimenti. Sistemi di coordinate locali.
(18) 14-10-2021 (gi): punti e valori critici, punti e e valori regolari, punti critici dell'applicazione determinante. Sottovarietà differenziabili. Fibre sopra valori regolari, il gruppo ortogonale. Esercizio, struttura di sottovarietà localmente chiusa delle matrici di rango costante.
(20) 18-10-2021 (lu): Spazio tangente a sottovarietà. Teorema di Sard (con dimostrazione).
(23) 21-10-2021 (gi): teorema di trasversalità, Partizioni dell'unità.
(25) 25-10-2021 (lu): Teorema di Stone-Weierstrass, esistenza di funzioni proprie. Ogni varietà compatta si immerge in uno spazio euclideo. Introduzione agli intorni tubolari.
(28) 28-10-2021 (gi): Teorema dell'intorno tubolare (prima parte). Campi di vettori, struttura di Lie. Discussione esercizi del 21 ottobre.
(31) 4-11-2021 (gi): correlazione tra campi di vettori, il bracket commuta con la correlazione, campi di vettori invariati per gruppi di diffeomorfismi. Gruppiad un parametro, definizione, primi esempi e generatore infinitesimale. Discussione esercizi del 28 ottobre.
(33) 8-11-2021 (lu): curve integrali massimali, dipendenza dal punto base delle soluzioni del problema di Cauchy. Le curve integrali di campi di vettori con supporto compatto sono definite su tutto R.
(36) 11-11-2021 (gi): flussi locali associati a campi di vettori ed applicazioni. Discussione esercizi del 4 novembre.
(38) 15-11-2021 (lu): correlazione di flussi. Criteri di integrabilità globale. Teorema di Ehresmann.
(41) 18-11-2021 (gi): relazione tra flussi e bracket di campi di vettori. Gruppi di Lie, definizione ed esempi.
(43) 22-11-2021 (lu): campi di vettori invarianti a sinistra su gruppi di Lie. Esponenziale di una matrice. Formula di derivazione dell'esponenziale.
(46) 25-11-2021 (gi): formula di Baker-Campbell-Hausdorff. Flussi di campi di vettori invarianti a sinistra. Struttura di algebra di Lie nel tangente all'origine di un gruppo di Lie.
(48) 29-11-2021 (lu): applicazione esponenziale, componente connessa di un gruppo di Lie. Azione aggiunta.
(51) 2-12-2021 (gi): differenziale dell'azione aggiunta di un gruppo di Lie. Spazio cotangente e 1-forme differenziali. Pull-back di 1-forme. Forme multilineari simmetriche e prodotto shuffle.
(53) 6-12-2021 (lu): forme alternanti su uno spazio vettoriale, permutazioni shuffle, prodotti wedge e di contrazione.
(56) 9-12-2021 (gi): basi di forme alternanti. Forme differenzali, differenziale di de Rham.
(58) 13-12-2021 (lu): Formula di Cartan e formul globale del differenziale di de Rham. Pull-back di forme. Varietà orientabili. Ipersuperfici di R^n.
(60) 16-12-2021 (gi): orientazioni in una varietà, criterio di orientabilità degli atlanti. Integrazione di forme differenziali. Integrali di forme esatte di annullano.