Superfici di Riemann: argomenti scelti
Anno accademico 2015/2016

Diario delle lezioni

Settimana 1	Lunedì 13-15	9/11/2015	Geodetiche su varietà riemanniane, mappa esponenziale (richiami), teorema di Cartan-Hadamard (enunciato) Varietà riemanniane di curvatura costante R^n, S^n, H^n (enunciato), espressione della metrica di curvatura costante in coordinate polari normali Piano iperbolico H^2, metrica, azione di PSL(2,C) su CP^1 che si restringe a H^2: azione di PSL(2,R) Esempi di elementi ellittici, parabolici e iperbolici di PSL(2,R) e loro sottogruppi a 1-parametro di isometrie che (tutti insieme) generano PSL(2,R) Transitività dell’azione di PSL(2,R), spazio tangente unitario e identificazione con PSL(2,R), isometrie, geodetiche Esempio di geodetica (verticale) parametrizzata
	Mercoledì 12:30-14:30	11/11/2015	Classificazione delle isometrie del piano iperbolico in ellittici, parabolici, iperbolici Descrizione delle superfici iperboliche con gruppo fondamentale ciclico infinito Applicazione di Gauss-Bonnet ai poligoni iperbolici: triangoli e esagoni con angoli retti Esistenza e unicità di geodetiche iperboliche tra due punti (in una data classe di omotopia) su una superficie completa Esistenza e unicità di geodetiche iperboliche in una classe di omotopia libera (non periferica) su una superficie completa Formula del coseno iperbolico per esagoni iperbolici con angoli retti (solo enunciato) Pantaloni iperbolici e decomposizione in pantaloni di una superficie
Settimana 2	Lunedì 13-15	16/11/2015	Fini di superfici iperboliche complete, topologicamente omeomorfe a una superficie compatta con n punti rimossi Decomposizione in pantaloni e parametri di Fenchel-Nielsen, twist di Dehn (come diffeomorfismo orientato non isotopo all’identità) Lemma del collare (stima per l’ampiezza del collare di curve corte) Sviluppante di un cammino, sviluppante di una superficie iperbolica semplicemente connessa Superfici iperboliche (S,g): costruzione di (dev, ρ), con dev sviluppante (del rivestimento universale) e ρ: p1(S,b)®PSL2(R) rappresentazione di monodromia Caso (S,g) iperbolica completa: la sviluppante è una isometria globale; la rappresentazione di monodromia ρ è fedele e discreta; la superficie si riottiene quozientando H^2 per l’immagine di ρ
	Mercoledì 12:30-14:30	18/11/2015	Spazio Hom(p1(S,b),G) come ipersuperficie in G^N, natura affine di SL2(R), PSL2(R) Quozienti di una varietà affine X per un gruppo (algebrico) H finito, semplice o riduttivo: se H è compatto, il quoziente topologico X/G è Hausdorff e coincide con il quoziente GIT X//G; se H non è compatto, il quoziente topologico X/G può non essere Hausdorff e la mappa X/G®X//G è l’hausdorfizzazione Quoziente Rep(p1(S,b),PSL2(R)) di Hom(p1(S,b),PSL2(R)) per l’azione di PSL2(R) tramite coniugio Spazio Hyp(S) delle metriche iperboliche su S (a meno di isotopia) come spazio delle coppie (ρ,dev); varianti Hyp(S,b)=spazio delle metriche iperboliche su S a meno di isotopie che fissano b, Hyp(S,b,v)=spazio delle metriche iperboliche su S a meno di isotopie che fissano b e il vettore tangente unitario v in b Fissato (p0,v0) in T^1H^2, mappa Mon:Hyp(S,b,v)®Hom(p1(S,b),PSL2(R)); mappa indotta mon:Hyp(S)®Rep(p1(S,b),PSL2(R)) Fricke: per S compatta, mon è un omeomorfismo su una componente connessa di Rep(p1(S,b),PSL2(R)) Costruzione del dominio fondamentale per l’azione di ρ(p1(S,b)) su H^2Liscezza delle funzioni lγ:Hyp(S) ®R+ per ogni γ in p1(S,b) e delle funzioni Tr^2(γ): Rep(p1(S,b),PSL2(R))®R
Settimana 3	Lunedì 13-15	23/11/2015	Ripasso di algebre e gruppi di Lie: definizione, esempio di G=GLn e identificazione di g=gln con lo spazio delle matrici nxn, mappa esponenziale, centro e rivestimenti di un gruppo di Lie, azioni aggiunte, automorfismi di sl2 G-fibrati principali piatti su una varietà connessa M (con punto base b): corrispondenza fra rappresentazioni del gruppo fondamentale (a meno di coniugio) e classi di isomorfismo di G-fibrati principali piatti; corrispondenza fra rappresentazioni del gruppo fondamentale e classi di isomorfismo di G-fibrati principali piatti muniti di una banalizzazione sul punto base b Corrispondenza fra GLn fibrati principali (piatti) e fibrati vettoriali di rango n (piatti); corrispondenza fra SLn fibrati principali E (piatti) e fibrati vettoriali (piatti) di rango n con det(E) banale Spazio tangente in ρ a Hom(Γ,G) con Γ gruppo discreto (finitamente generato) e G gruppo di Lie: identificazione con Z^1(Γ,G) Spazio tangente a ρ all’orbita G·ρ in Hom(Γ,G): identificazione con B^1(Γ,G) Spazio tangente a [ρ] in Rep(Γ,G): identificazione con H^1(Γ,G)
	Mercoledì 12:30-14:30	25/11/2015	g-fibrato ξρ su S associato ad una rappresentazione ρ: p1(S,b)®G Fibrati vettoriali piatti e connessioni piatte, coomologia di de Rham a valori in un fibrato vettoriale piatto Dualità di Poincaré e caratteristica di Eulero per la coomologia di de Rham a valori in un fibrato vettoriale piatto H^0(S,ξρ) come spazio delle sezioni piatte di ξρ, ovvero come g^ρ (usando che S è connessa) Descrizione dei sottogruppi chiusi connessi di PSL2(R) e di SL2(R) Deformazioni di connessioni piatte e spazio tangente a Rep(p1(S,b),G) in [ρ] come H^1(S,ξρ) Liscezza di Rep(p1(S,b),G) nelle [ρ] con immagine Zariski-densa, dimensione RP^1-fibrato piatto F su S associato ad una rappresentazione ρ: p1(S,b)®PSL2(R) PSL2(R) come sottogruppo di Homeo+(S^1) del gruppo degli omeomorfismi di S1 che preservano l’orientazione Gli S^1-fibrati orientati su un bouquet di S^1 sono topologicamente banalizzabili; gli S^1-fibrati su S-{b} sono topologicamente banalizzabili Numero di Eulero e(F) in Z come ostruzione ad estendere la banalizzazione di F su S-{b} a tutto S
Settimana 4	Lunedì 13-15	7/12/2015	Numero di Eulero come differenza di due banalizzazioni di un S^1-fibrato su un disco puntato Il gruppo Homeo+^1(R) come rivestimento universale di Homeo+(S^1); numero di Eulero come mappa indotta Eu: H^1(S,Homeo+(S^1))®H^2(S,Z)=Z Rivestimento universale di PSL2(R) come sottogruppo di Homeo+^1(R), disegno Rot numero di rotazione reale di un elemento in Homeo+^1(R) e numero di rotazione frazionario di un elemento in Homeo+(S^1), continuità Calcolo di Eu usando una sezione discontinua opportuna del rivestimento universale di PSL2(R) Disuguaglianza di Milnor-Wood |Eu(ρ)|≤|χ(S)| per ogni [ρ] in Rep(p1(S,b),PSL2(R)) Il numero di Eulero di una monodromia ρ associata ad una metrica iperbolica su una S compatta soddisfa Eu(ρ)=χ(S)
	Mercoledì 12:30-14:30	9/12/2015	Le singolarità di Rep(p1(S,b), PSL2(R)) sono nella componente con Eu(ρ)=0 Forma simplettica di Goldman sull’aperto liscio di Rep(p1(S,b),G), per G semisemplice Applicazioni lineari K-quasi-conformi, coefficiente di Beltrami μ, distorsione k=|μ|, dilatazione K=(1+k)/(1-k) Identificazione di GL2^+(R)/GL1(C) con lo spazio degli endomorfismi R-lineari J di R^2 tali che J^2=-I, e con il disco iperbolico (distanza iperbolica=distanza di Teichmüller) Definizione analitica di omeomorfismo (sull’immagine) K-quasi-conforme tra aperti di C, differenziale di Beltrami, dilatazione K(gf)≤K(g)K(f) e def(df)=|∂f|^2(1-|μ|^2) Lemma di Weyl (solo enunciato) Modulo m(Q) di un quadrilatero Q Lemma di Grotzsch: un omeomorfismo K-quasi-conforme da un rettangolo di base b e altezza h ad un rettangolo di base b’ e altezza h’ (che preservi i vertici) soddisfa K≥(b’h/h’b),(h’b/b’h) e vale = se e solo se l’omeomorfismo è affine Se f omeomorfismo K-quasi-conforme, allora 1/K ≤ m(f(Q))/m(Q) ≤ K per ogni quadrilatero Q nel dominio; K=sup {m(f(Q))/m(Q), m(Q)/m(f(Q)) | Q quadrilatero nel dominio}
Settimana 5	Lunedì 13-15	16/12/2015	Modulo m(A) di un dominio anulare A, lunghezza estremale Extγ(S) di una curva semplice chiusa (omotopicamente non banale) γ su una superficie di Riemann S; Extγ(A)=1/m(A) per γ non banale in A Equazione di Beltrami, teorema di Ahlfors-Bers (solo enunciato) e dipendenza regolare dell’omeomorfismo quasiconforme dal differenziale di Beltrami Equivalenza di Teichmüller, spazio di Teichmüller di una superficie di Riemann (S0,J0); azione del MCG(S0) su Teich(S0,J0) Extγ(S)/K ≤Extf(γ)(f(S)) ≤ KExtγ(S) per ogni f omeomorfismo K-quasiconforme e γ curva semplice chiusa (omot. non banale) su S Differenziali quadratici olomorfi Q^hol(S0) su S0, traiettorie orizzontali e verticali, coordinate privilegiate, struttura locale vicino agli zeri, metrica piatta con singolarità coniche associata ad un differenziale quadratico olomorfo, norma L^1 Mappa di Teichmüller τq,k associata ad un differenziale quadratico olomorfo q su S0 di norma 1 e ad un k<1: differenziale e dilatazione di τq,k lontano dagli zeri di q
	Mercoledì 12:30-14:30	18/12/2015	Lemma di Teichmüller, teorema di unicità di Teichmüller Soluzione dell’equazione di Beltrami su superfici di Riemann (compatte di genere almeno 2) Accoppiamento non degenere fra differenziali di Beltrami e differenziali quadratici, differenziali di Beltrami banali Bel(S0)^ban e tangente T0Bel(S0)^ban=Bel0(S0) Ann(Bel0(S0))=Q^hol(S0), dualità di Serre di isomorfismo Bel(S0)/Belo(S0)=H^0,1(S0,T^1,0), dimensione di H^0(S0,K^2) Punto base sullo spazio di Teichmüller, cambio di punto base sullo spazio di Teichmüller, carta in un intorno del punto base dello spazio di Teichmüller, cambio di carta (i.e. differenziale di Beltrami di una composizione) e struttura complessa sullo spazio di Teichmüller
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Settimana 6	Lunedì 13-15	11/1/2016	Teorema di esistenza di Teichmüller, distanza di Teichmüller Enunciato del teorema di uniformizzazione (e dipendenza reale analitica) Isometrie iperboliche non banali di superfici compatte non sono omotope all’identità Il gruppo di isometrie di una superficie iperbolica compatta è finito e ha ordine al più 84(g-1) [Hurwitz] Azione del mapping class group sullo spazio di Teichmüller, identificazione di stab(S) con Aut(S) Stima della variazione della lunghezza iperbolica di una curva semplice chiusa tramite una mappa K-quasi-conforme (da dimostrare)
	Mercoledì 12:30-14:30	13/11/2016	Stima della variazione della lunghezza iperbolica di una curva semplice chiusa tramite una mappa K-quasi-conforme Rappresentazioni di monodromia di metriche iperboliche (su superfici compatte) si ricostruiscono conoscendo le lunghezze iperboliche di un numero finito di curve chiuse Per ogni metrica iperbolica su una superficie compatta, l’insieme delle curve di lunghezza iperbolica minore di un M assegnato è finito; quindi lo spettro delle lunghezze è discreto L’azione del MCG sullo spazio di Teichmüller ha orbite discrete (e stabilizzatori finiti) e quindi è propriamente discontinua; quindi lo spazio dei moduli delle superfici di Riemann è un orbifold complesso CP^1-strutture su superfici; esempio: CP^1-struttura di Poincaré associata ad una metrica iperbolica Applicazioni locamente Möbius, morfismi di CP^1-strutture Mappa sviluppante e rappresentazione di monodromia associata ad una CP^1-struttura Topologia sullo spazio P(S0) delle CP^1-strutture su una superficie fissata S0 (a meno di isotopia) Mappa di dimenticanza P(S0)®T(S0) e mappa di monodromia mon:P(S0)®Rep(π1(S0),PSL2(C))
Settimana 7	Lunedì 13-15	18/1/2016	Derivata schwarziana S, proprietà base (annullamento sugli omeomorfismi localmente Möbius, regola di composizione) Campi vettoriali su CP^1 infinitesimalmente Möbius Mappa osculatrice G e sua derivata ω=G^-1dG come (1,0)-forma olomorfa a valori sl2(C), legame fra ω=σ°S Soluzione dell’equazione u’’+φu=0 e inversione della derivata schwarziana (ossia trovare f=u1/u2 con S(f)= φ) Struttura affine su PS spazio delle CP^1-strutture sulla superficie di Riemann S con giacitura QS Soluzione dell’equazione di Beltrami come “uniformizzazione simultanea” di due strutture complesse: rappresentazioni fuchsiane e quasi-fuchsiane Sezione locale della mappa P(S0)®T(S0) usando l’uniformizzazione simultanea, struttura di fibrato affine olomorfo su P(S0)®T(S0) con giacitura Q(S0) ®T(S0) Identificazione T(S0)xT(S0) con QF(S0)ÌP(S0) e iniezione di QF(S0) in Rep(π1(S0),PSL2(C)) Natura reale analitica della sezione fuchsiana F: T(S0)®P(S0) data dall’uniformizzazione di Poincaré
	Mercoledì 17:00-19:00	20/1/2016	Sottofascio X di T^1,0 dei campi vettoriali infinitesimalmente Möbius su una superficie S con CP^1-struttura x e monodromia r TxP(S0)=H^1(S0, Xr) e identificazione tramite mon con TrRep(π1(S0),PSL2(C))=H^1(S0, Xr): mon biolomorfismo locale Forma (2,0) simplettica olomorfa di Goldman su Rep(π1(S0),PSL2(C)) e suo pull-back su P(S0) Grafting di una struttura iperbolica lungo una curva semplice chiusa; esistenza di CP^1-strutture con sviluppante non iniettiva; mon ha in generale fibra infinita Successione esatta 0 ® X ® T^1,0 ® K^2 ® 0 di fasci su x con D^3: T^1,0 ® K^2 dato dalla derivata terza rispetto ad una coordinata Möbius Successione indotta 0 ® H^0(S0, K^2) ® H^1(S0, X) ® H^1(S0, T^1,0) ® 0 come versione infinitesimale della fibrazione PS0® P(S0)®T(S0) Sollevabilità a SL(2, C) delle monodromie di CP^1-strutture (usando le soluzioni della derivata schwarziana, oppure il numero di Eulero delle rappresentazioni fuchsiane e la connessione per archi di P(S0) ) Non-elementarità delle monodromie di CP^1-strutture per g>1 (fibrati complessi di rango 1 piatti hanno numero di Eulero nullo)
Settimana 8	Lunedì 12:40-14:30, Aula H	25/1/2016	Classificazione dei diffeomorfismi orientati (a meno di isotopia) di una superficie compatta di genere 1: di ordine finito (ellittici), riducibili (parabolici), Anosov (iperbolici) Classificazione dei diffeomorfismi orientati (a meno di isotopia) di una superficie compatta di genere almeno 2: di ordine finito, riducibili, pseudo-Anosov
	Mercoledì 12:30-14:30	27/1/2016	Sistole di una superficie iperbolica, teorema di compattezza di Mumford per Mg (Pseudo-)metrica di Kobayashi su una varietà complessa, lemma di Schwarz per metriche di Kobayashi Esempi: disco iperbolico, piano complesso, palla unitaria in uno spazio di Banach
Settimana 9	Lunedì 13:00-15:00	1/2/2016	Teorema di estensione di Slodkowski dei movimenti olomorfi (senza dimostrazione) Metrica di Teichmüller = metrica di Kobayashi (Royden)
	Martedì 16:00-18:00, Aula B	2/2/2016	Studio della regolarità della metrica di Teichmüller Mappa bicanonica per superfici di Riemann di genere almeno 2 Gli automorfismi olomorfi (=isometrie) dello spazio di Teichmüller sono elementi del mapping class group (Royden)

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