1) 28.9.2021 (1 ora). Presentazione del corso, informazioni varie su sito web, esercizi settimanali, esami, ecc. Consigli vari sullo studio dei corsi di matematica.
2) 30.9.2021. Introduzione sugli spazi vettoriali: idea intuitiva, cenni su applicazioni delle tecniche che vedremo nel corso. Richiami sugli insiemi di numeri ℕ, ℤ, ℚ, ℝ. Definizione astratta di campo, esempio di un campo con solo due elementi.
3) 1.10.2021. Prime conseguenze degli assiomi di campo. Notazioni varie di teoria degli insiemi.
4) 5.10.2021 (1 ora). Definizione di applicazioni fra insiemi, dominio codominio, esempi. Prodotto cartesiano di due o più insiemi. Definizione di operazione (binaria) su un insieme. Esempi di altri campi, il campo dei numeri del tipo a+b√2 con a e b numeri razionali.
5) 6.10.2021, Prof. D'Andrea. Numeri complessi: somma, prodotto, parte reale e immaginaria, complesso coniugato. Rappresentazione grafica dei numeri complessi. Norma, rappresentazione polare. Prodotto di numeri complessi di norma 1, esempi. Teorema fondamentale dell'algebra (cenni). Esponenziale complessa.
6) 7.10.2021. Radici n-esime dell'unità in ℂ, e radici n-esime di numeri complessi qualsiasi. Cenni in generale sulle dimostrazioni per assurdo e per contrapposizione. Polinomi in una variabile a coefficienti in un campo: definizione, esempi.
7) 8.10.2021. Somma e prodotto di polinomi, proprietà. Grado di un polinomio. Teorema della divisione con resto fra polinomi, dimostrazione (tranne l'unicità).
8) 12.10.2021 (1 ora). Unicità della divisione con resto fra polinomi. Come calcolare quoziente e resto in pratica. Funzione polinomiale data da un polinomio, radici di un polinomio. Teorema di Ruffini. Fattorizzazione di un polinomio a coefficienti complessi in fattori di primo grado.
9) 13.10.2021, Prof. D'Andrea. Esercizi vari su numeri complessi.
10) 14.10.2021. Un polinomio di grado n ha al più n radici distinte. Corollario: le radici n-esime di un numero complesso z sono tutte e sole le n radici che abbiamo già trovato. Radici razionali di polinomi a coefficienti interi. Radici complesse di polinomi a coefficienti reali. Inizio dei sistemi di equazioni lineari a coefficienti in un campo: caso di un'equazione in un'incognita, studio delle soluzioni.
11) 15.10.2021. Equazioni lineare in più incognite, studio delle soluzioni. Sistemi di equazioni lineari: definizione, matrice dei coefficienti e matrice completa. Definizioni sulle matrici: matrici quadrate, triangolari, diagonali, matrice nulla e matrice identità. Sistemi quadrati triangolari superiori: studio di quando un tale sistema ammette una e una sola soluzione. Introduzione al metodo di eliminazione di Gauß.
12) 19.10.2021 (1 ora). Metodo di Gauß per trasformare un sistema di equazioni lineari in un sistema a scalini. Esempio di risoluzione di un sistema a scalini.
13) 20.10.2021, Prof. D'Andrea. Esercizi vari su numeri complessi e sistemi di equazioni lineari.
14) 21.10.2021. Definizione di sistemi compatibili. Riconoscere se un sistema a scalini è compatibile. Struttura delle soluzioni di un sistema omogeneo, somma di elementi di Kn e prodotto di elementi di K per elementi di Kn (dove K è un campo). Definizione di spazio vettoriale, esempi (Kn, K stesso, K[x], Mmxn(K)). Prime conseguenze degli assiomi di spazio vettoriale. Spazio vettoriale nullo.
15) 22.10.2021. Altri esempi di spazi vettoriali (successioni, funzioni dove il codominio è uno spazio vettoriale, un campo come spazio vettoriale su un sottocampo, le soluzioni di un sistema omogeneo). Definizione di sottospazio vettoriale, esempi (il sottospazio nullo, i polinomi di grado inferiore a qualcosa, le funzioni che si annullano in un punto, le successioni definivamente nulle, le funzioni ℝ→ℝ continue, derivabili, C∞). Definizione di combinazione lineare, esempi.
16) 26.10.2021 (1 ora). Definizione di span di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, esempi. Proposizione: lo span di un sottoinsieme è uno spazio vettoriale, e si dice lo spazio vettoriale generato dal sottoinsieme. Esempi. Proposizione: un vettore B di Km è combinazione lineare di altri vettori C1,...,Cn di Km se e solo se ha soluzione il sistema di equazioni lineari che ha B come colonna dei termini noti, e matrice dei coefficienti di colonne C1,...,Cn.
17) 27.10.2021, Prof. D'Andrea. Esercizi vari su sistemi di equazioni lineari e numeri complessi e sistemi di equazioni lineari.
18) 28.10.2021. Definizione di generatori di uno spazio vettoriale, esempi. Definizione di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti, esempi. Proposizione: dei vettori C1,...,Cn di Km sono linearmente indipendenti se e solo se il sistema di equazioni lineari omogenee con matrice dei coefficienti di colonne C1,...,Cn ha solo la soluzione nulla. Dei vettori sono linearmente dipendenti se e solo se (almeno) uno è combinazione lineare degli altri. Definizione di base di uno spazio vettoriale, esempi.
19) 29.10.2021. Proposizione: se dei vettori sono linearmente indipendenti, i coefficienti di una loro combinazione lineare uguale a un vettore v sono univocamente determinati da v. Definizione delle coordinate di un vettore rispetto a una base. Esistenza delle basi: definizione di insieme di vettori linearmente indipendente massimale, e massimale in un altro sottoinsieme. Teorema: se S è un insieme finito di generatori di V, e T è un sottoinsieme di S linearmente indipendente massimale in S, allora i vettori di T formano una base di V. Corollario: se V è finitamente generato allora ha una base. Teorema del completamento: data una base, e data una lista di vettori linearmente indipendenti, allora quest'ultima si può completare ad una base aggiungendo alla lista alcuni vettori presi dalla base data.
20) 3.11.2021, Prof. D'Andrea. Esercizi vari su insiemi di generatori, insiemi linearmente indipendenti, basi.
21) 4.11.2021. Corollario 1: se uno spazio vettoriale ha basi, allora tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi. Corollario 2: se V ha una base e W è un sottospazio, allora anche W ha una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Corollario riassuntivo: dato V di dimensione n, allora n generatori formano una base, n vettori linearmente indipendenti formano una base, n è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti e il numero minimo di generatori di V. Dimensione di un sottospazio. Intersezione e somma di sottospazi: esempi di sottospazi in ℝ2 e ℝ3, l'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, definizione della somma e verifica che è un sottospazio.
22) 9.11.2021 (1 ora). Considerazioni sulla dimensione di spazi vettoriali su ℂ e su ℝ. Generatori della somma di due sottospazi. Esempi. Teorema di Graßmann.
23) 10.11.2021, Prof. D'Andrea. Esercizi vari su basi di spazi vettoriali.
24) 11.11.2021. Trovare una base di un sottospazio definito da un sistema omogeneo, e trovare una base dell'intersezione di due sottospazi. Definizione di spazi in somma diretta e di supplementare, esempi. In una somma diretta U⊕W, la decomposizione dei vettori in somma v=u+w è unica. Se V ha dimensione finita allora ogni suo sottospazio ha un supplementare. Introduzione alle applicazioni lineari.
25) 12.11.2021. Prodotto di una matrice m×n e un vettore di Kn, esempi e proprietà. Forma matriciale di un sistema di equazioni lineari. Applicazione LA:Kn→Km. Definizione di applicazioni lineari, prime proprietà, esempi fra cui la traccia di una matrice e le proiezioni di una somma diretta sugli addendi. Proposizione: un'applicazione lineare esiste ed è unica, una volta stabiliti i valori su una base del dominio (senza dimostrazione).
26) 17.11.2021, Prof. D'Andrea. Esercizi vari su basi di spazi vettoriali, e su somme e intersezioni di sottospazi vettoriali.
27) 18.11.2021. Dimostrazione dell'ultima proposizione della lezione precedente. Esempi: applicazioni associate alla matrice identità In e alla matrice nulla. Immagine di applicazioni lineari: è un sottospazio generato dalle immagini di generatori del dominio. L'immagine dell'applicazione LA è generata dalle colonne della matrice A. Definizione di nucleo di un'applicazione lineare, esempi. Proposizione: il nucleo è un sottospazio del dominio, ed è uguale a {O} se e solo se l'applicazione è iniettiva. Definizione di rango di un'applicazione lineare e di una matrice. Osservazioni: il rango di una matrice è la dimensione dello span delle colonne, quindi è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti, ed è anche il numero di pivot dopo aver ridotto la matrice a scalini.
28) 19.11.2021. Teorema della dimensione. Corollario: f:V→W è iniettiva se e solo se rg(f)=dim(V), suriettiva se solo se rg(f)=dim(W), e supponendo dim(V)=dim(W) allora f è suriettiva se e solo se è iniettiva. Corollario: l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è il numero di incognite meno il rango della matrice dei coefficienti. Teorema di Rouché-Capelli. Studio dell'insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo, definizione di sottospazi affini di spazi vettoriali, esempi. Composizione di applicazioni lineari: è lineare. Definizione di isomorfismi, esempi. L'inversa di un isomorfismo è lineare. Teorema (senza dimostrazione): 1) tramite un isomorfismo V→W, indipendenza lineare ed essere generatori si trasferisce da vettori di V alle loro immagini; in particolare, l'immagine di una base di V è una base di W; 2) se l'immagine di una base di V è una base di W allora l'applicazione è un isomorfismo.
29) 23.11.2021 (1 ora). Lemma: se f:V→W è lineare e iniettiva, allora le immagini di vettori linearmente indipendenti di V sono linearmente indipendenti. Dimostrazione dell'ultimo teorema della lezione precedente. L'insieme L(V,W): definizione, struttura di spazio vettoriale. Proposizione: data f in L(Kn,Km), esiste un'unica matrice A in Mm×n(K) tale che f=LA.
30) 24.11.2021, Prof. D'Andrea. Richiami sulla corrispondenza fra matrici e applicazioni lineari ℝn→ℝm e sulla formula di Graßmann. Esercizi vari su applicazioni lineari, loro nuclei e immagini.
31) 25.11.2021. La corrispondenza fra A e LA è un isomorfismo fra gli spazi vettoriali Mm×n(K) e L(Kn,Km). Definizione di duale V* di uno spazio vettoriale V, esempio con V=Kn. Base duale di una base di V. Prodotto fra matrici: definizione, esempi. Teorema: LA∘LB=LAB. Definizione di trasposta di una matrice, di matrice simmetrica e matrice antisimmetrica. Proprietà del prodotto fra matrici: distributività, associatività, comportamento della matrice identità e di quella nulla, trasposta di un prodotto.
32) 26.11.2021. Matrici invertibili: definizione, esempi. Prime proprietà: unicità dell'inversa, e invertibilità della trasposta. Teorema: nove condizioni equivalenti all'invertibilità di una matrice quadrata. Tecnica di calcolo dell'inversa di una matrice invertibile usando l'algoritmo di Gauß. Uso delle basi: risoluzione di problemi in spazi vettoriali qualsiasi usando le coordinate dei vettori, esempi. Cambiamento di base: osservazioni sul passare dalle coordinate di un vettore rispetto a una base alle coordinate rispetto a un'altra base.
33) 30.11.2021 (1 ora). Matrice del cambiamento di base (o di passaggio) da C a B, date due basi B e C di uno spazio vettoriale, esempi. La matrice esprime i vettori della base B in termini della base C, e dato un vettore v permette di passare dalle coordinate FB(v) alle coordinate FC(v). Notazione Bv per le coordinate di v rispetto a B, e notazione CIdB per la matrice di passaggio da C a B, formula Cv = (CIdB).(Bv). Fare due cambiamenti di base: da B a C e da C a D. Esempi in Kn con C=base canonica. Come calcolare velocemente R-1M dove R e M sono matrici di passaggio.
34) 1.12.2021, Prof. D'Andrea. Esercizi vari su applicazioni lineari, prodotti fra matrici, duale di uno spazio vettoriale.
35) 3.12.2021. Esempi di matrici di cambiamento di base. Matrici di applicazioni lineari qualsiasi rispetto a una base del dominio e una base del codominio: definizione, esempi. Isomorfismo fra L(V,W) e Mm×n(K), scelte basi per il dominio e il codominio. Cambiamento di base nel dominio e nel codominio, come cambia la matrice di un'applicazione data, esempi.
36) 7.12.2021 (1 ora). Determinante di matrici 2×2 e in generale n×n (formula ricorsiva in termini della prima riga). Proposizione: il determinante cambia segno se si scambiano due righe, e rimane invariato per l'altra operazione elementare di righe (dimostrazione solo 2×2). Determinante delle matrici diagonali e triangolari inferiori. Corollario: 1) legame fra il determinante di A e della matrice a scalini ottenuta col metodo di Gauß; 2) det(A) è non nullo se e solo se rg(A)=n. Corollario: se una riga di A viene moltiplicata per uno scalare λ allora anche il determinante viene moltiplicato per λ.
36) 9.12.2021. Corollario: se una riga vi di A è somma di due vettori vi=ui+ui, allora det(A)=det(B)+det(C) dove B e C sono ottenute da A scrivendo rispettivamente ui e wi al posto di vi. Corollario (formule di Laplace) lo sviluppo secondo una riga qualsiasi del determinante. Teorema di Binet: det(AB)=det(A) det(B). Corollario: 1) se A è invertibile allora det(A-1)=det(A)-1; 2) per qualsiasi A quadrata vale det(tA)=det(A); 3) per qualsiasi A anche non quadrata vale rg(tA)=rg(A). Corollario (formule di Laplace): sviluppo secondo una colonna qualsiasi del determinante. Teorema: ponendo bi,j=(-1)i+jdet(Aj,i) come entrate di una matrice B, allora AB=BA=det(A) In. Corollario: se A è invertibile, allora l'entrata al posto (i,j) di A-1 è uguale a bi,j/det(A). Esempi di calcolo di A-1 usando questa formula. Teorema degli orlati, esempi.
37) 10.12.2021. Autovettori e autovalori: definizioni ed esempi. Proposizione: λ è autovalore di f se e solo se det(A-λIn)=0, dove A è la matrice di f in qualche base. Dato λ autovalore, gli autovettori di autovalore λ si trovano risolvendo il sistema (A-λIn)X=O. Esempi. Definizione del polinomio caratteristico, è indipendente dalla scelta della base. Definizione di autospazio e di molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Diagonalizzazione: definizione di endomorfismo diagonalizzabile e di matrice diagonalizzabile. Teorema (senza dimostrazione): f è diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico è prodotto di fattori di primo grado, e per ogni autovalore la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica. In questo caso, una base di autovettori si ottiene mettendo insieme basi di tutti gli autospazi.
38) 14.12.2021 (1 ora), Dott. Mirarchi. Esercizi vari su somma diretta di sottospazi.
39) 15.12.2021, Prof. D'Andrea. Esercizi vari su matrici di applicazioni lineari e cambiamenti di base.
40) 16.12.2021. Dimostrazione del teorema dell'ultima lezione. Prodotto scalare standard in ℝn, definizione, prime proprietà. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Ortogonale di un sottospazio U, formula U⊕U⊥=ℝn.
41) 17.12.2021. Corollario: (U⊥)⊥=U. Come trovare un sistema omogeneo le cui soluzioni sono un dato sottospazio U di ℝn. Formula della proiezione ortogonale di un vettore su un altro. Procedimento di Gram-Schmidt. Proprietà di una matrice le cui colonne formano una base ortonormale. Matrici e applicazioni ortogonali. Proposizione: rispetto a una base ortonormale, le coordinate di un vettore si calcolano facendo i prodotti scalari con i vettori della base. Forma Hermitiana standard su ℂn, sesquilinearità. Forme bilineari per spazi vettoriali su ℝ: definizione, forme simmetriche, definite positive, negative, semidefinite. Esempio: spaziotempo di Minkowski. Matrice di una forma bilineare rispetto a una base: definizione, e come si usa per calcolare b(v,w) per qualsiasi v,w.
42) 21.12.2021. Come cambia la matrice di una forma bilineare se cambiamo base. Matrici congruenti. Definizione di rango di una forma bilineare, e di forme bilineari non degeneri. Esistenza di basi ortonormali rispetto a un prodotto scalare in uno spazio vettoriale reale. Proposizione: b (simmetrica) è non degenere se e solo se esiste v non nullo tale che b(v,w)=0 per ogni w. Caso K=ℂ: forme sesquilineari, comportamento della matrice di una forma sesquilineare cambiando base, definizione di prodotto Hermitiano.
43) 22.12.2021, Prof. D'Andrea. Esercizi vari su autovalori e autovettori.
44) 7.12.2022. Forme bilineari e sesquilineari su K=ℂ. b-ortogonalità, dove b è una forma bilineare simmetrica qualsiasi. Dimensione del b-ortogonale di un sottospazio, se b è non degenere. Caso in cui la forma bilineare è non degenere anche sul sottospazio, esempi. Proiezione b-ortogonale, è un'applicazione simmetrica rispetto a b.
45) 11.12.2022, Prof. D'Andrea. Ogni forma bilineare simmetrica f su un K-spazio vettoriale di dimensione finita ha una base f-ortogonale. Conseguenze quando K = ℝ oppure ℂ. K = ℝ: posso trovare una base (v1,..., vn) tale che f(vi, vi) = 1, 0 oppure -1. Teorema di Sylvester: il numero di 1, 0, -1 dipende solo da f. Interpretazione geometrica degli indici di positività, negatività, nullità. Segnatura di una forma reale. K = ℂ. Posso fare in modo che f(vi, vi) = 1 oppure 0. Il numero degli 1 è il rango di f. Il numero di 0 lo calcolo per differenza.
46) 12.12.2022, Prof. D'Andrea. Spazi euclidei complessi. Enunciato del teorema spettrale (complesso): un operatore autoaggiunto su uno spazio euclideo complesso di dimensione finita ammette una base ortonormale che lo diagonalizza e i suoi autovalori sono reali. Verificare se un operatore lineare su uno spazio euclideo complesso è autoaggiunto tramite la sua matrice rispetto ad una base ortonormale. Gli autovalori di un operatore Hermitiano sono tutti reali. Dimostrazione del teorema spettrale. Esempi.
46) 13.12.2022, Prof. D'Andrea. Enunciato del teorema spettrale nel caso reale e dimostrazione. Forma matriciale del teorema spettrale.
47) 14.12.2022, Prof. D'Andrea. Nuovi enunciati del teorema spettrale, in termini di forme bilineari. Applicazioni. Altro criterio di positività per una forma bilineare simmetrica: i determinanti di tutti i minori principali sono positivi.