Gli esami sono solo orali, e si svolgeranno in presenza o in modalità telematica a seconda delle preferenze dei singoli studenti. Tutti i prenotati su InfoStud sono pregati di contattarmi per email qualche giorno prima della data dell'appello, per comunicarmi la modalità con cui intendono sostenere l'esame. I calendari degli orali verranno pubblicati qui sotto.
Indicazioni per gli esami a distanza. Gli esami a distanza saranno tramite Zoom, al solito link usato anche per le lezioni. Sono necessari un computer e uno smartphone, entrambi dotati di webcam, il computer anche di microfono e altoparlanti o cuffie; dovete avere anche fogli bianchi e penne. Sulla vostra scrivania non dovranno esserci altre cose. Vi collegherete con entrambi i dispositivi alla stanza virtuale, e lo smartphone sarà usato per fare un controllo ambientale.
1) 25.2.2021. Introduzione: punti aderenti a sottinsiemi di ℝn, sottoinsiemi chiusi e aperti. Formulazioni equivalenti della continuità per applicazioni ℝn→ℝm. Omeomorfismi fra sottoinsiemi di ℝn. APPUNTI
2) 1.3.2021. Topologia generale. Definizione di spazio topologico. Esempi: topologia banale e discreta, topologia euclidea su ℝ, topologia cofinita, altri esempi. Base di una topologia. Condizione necessaria e sufficiente affinché una famiglia di sottoinsiemi sia una base di una topologia. Confronti fra topologie, intersezione di topologie. Topologia di Zariski. APPUNTI
3) 2.3.2021, 3 ore. Parte interna, chiusura, frontiera, punti interni e aderenti. Sottoinsiemi densi. Esempi. Intorni e sistemi fondamentali di intorni. Applicazioni continue, continue in un punto, formulazioni equivalenti della continuità. Omeomorfismi, applicazioni aperte e chiuse. Esempi ed esercizi, la retta di Sorgenfrey. APPUNTI
4) 4.3.2021. Spazi metrici. Definizione di palla aperta e di topologia indotta. Lemma: ogni palla aperta è un aperto, e l'insieme delle palle aperte è una base. Caratterizzazione della continuità di applicazioni fra spazi metrici. Confronto delle topologie indotte da distanze, distanze equivalenti. Limitazione standard di una distanza. Spazi topologici metrizzabili. Distanza p-adica in ℚ. APPUNTI
5) 9.3.2021, 3 ore. Sottospazi topologici, esempi. Base della topologia di sottospazio, formulazione della topologia di sottospazio tramite la continuità dell'inclusione. Chiusura di un sottoinsieme di un sottospazio e altre proprietà. Esempi ed esercizi, sottoinsiemi localmente chiusi. APPUNTI
6) 11.3.2021. Immersioni topologiche, esempi. Prodotti di spazi topologici, base della topologia prodotto, proprietà delle due proiezioni. APPUNTI
7) 15.3.2021. Spazi di Hausdorff, esempi. In uno spazio di Hausdorff i sottoinsiemi finiti sono chiusi; sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff. Teorema: X è di Hausdorff se e solo se la diagonale in X × X è chiusa. Corollario: se il codominio è di Hausdorff, il luogo dove due funzioni continue coincidono è chiuso. Esempio: la topologia di Zariski su 𝕂n non è di Hausdorff se 𝕂 è un campo infinito. APPUNTI
8) 16.3.2021, 3 ore. Spazi topologici connessi, esempi. Formulazioni equivalenti della connessione. Teorema: [0,1] è connesso. Spazi topologici connessi per archi. L'immagine di un connesso è connessa, e di un connesso per archi è connessa per archi. Ogni connesso per archi è connesso. I convessi in ℝn sono connessi, studio dei connessi di ℝ. Esempio di uno spazio connesso ma non connesso per archi. APPUNTI
9) 18.3.2021. Lemma: ogni applicazione continua Sn→ℝ assume lo stesso valore in almeno due punti antipodali. Corollario: nessun aperto di ℝn con n>1 è omeomorfo ad ℝ. Condizioni affinchè la controimmagine di un connesso sia connessa. Il prodotto di connessi è connesso, la chiusura di un sottospazio connesso è connessa. Componenti connesse, sono chiuse. Esempi. APPUNTI
Ricevimento 19.3.2021: APPUNTI
10) 22.3.2021. Spazi compatti: definizioni ed esempi. L'immagine di un compatto tramite un'applicazione continua è compatta. L'intervallo [0,1] è compatto. Un chiuso in un compatto è compatto. I compatti di ℝ sono i chiusi e limitati. Condizioni sufficienti affinchè il dominio di un'applicazione continua sia compatto. APPUNTI
11) 23.3.2021, 3 ore. Intersezione di una catena discendente di compatti. Teorema di Wallace. Conseguenze del teorema di Wallace: un compatto in un Hausdorff è chiuso; un'applicazione continua da un compatto in un Hausdorff è chiusa, e se è anche biiettiva è un omeomorfismo; i compatti sono universalmente chiusi; il prodotto di due compatti è compatto. Esempi ed esercizi. Gruppi topologici. APPUNTI
Ricevimento 24.3.2021: APPUNTI
12) 25.3.2021, 1 ora. Un ultimo esempio di due spazi non omeomorfi, dimostrazione usando connessione e compattezza. Identificazioni. Un'applicazione continua e suriettiva è un'identificazione se è aperta, oppure se è chiusa. Esempi. Proprietà universale delle identificazioni. APPUNTI
13) 30.3.2021, 3 ore. Dimostrazione della proprietà universale delle identificazioni. Topologia quoziente, quoziente per una relazione di equivalenza, esempio del cerchio S1 omeomorfo ad un quoziente ℝ/∼, altri esempi. Identificazioni e aperti saturi. Quozienti per gruppi di omeomorfismi. Il quoziente X→X/G è un'applicazione aperta, e se G è finito è anche chiusa. Caratterizzazione di X/G di Hausdorff. Esempi ed esercizi: dimostrazione della connessione per archi dell'insieme delle matrici n×n a determinante positivo; altri esempi di quozienti (cilindro, nastro di Möbius, toro, bottiglia di Klein). APPUNTI
14) 12.4.2021. Soluzione di alcuni degli esercizi dati il 30.3.2021. Altri esempi: gli spazi proiettivi reali e complessi. APPUNTI
15) 13.4.2021, 3 ore. Proprietà di numerabilità: spazi 1o-numerabili, 2o-numerabili, separabili. Esempi. Ogni spazio metrico è 1o-numerabile, se è anche separabile allora è 2o-numerabile. Successioni, chiusura e limiti di successioni in spazi 1o-numerabili. Sottosuccessioni e compattezza per successioni. Relazione fra compattezza e compattezza per successioni. Successioni di Cauchy, spazi metrici completi, ℝn è completo. Sottospazi metrici completi e chiusura. APPUNTI
16) 15.4.2021. Compattezza e numerabilità di spazi metrici: uno spazio metrico è compatto se e solo se è compatto per successioni, se e solo se è completo e totalmente limitato. Relazioni fra assiomi di numerabilità, prodotti e sottospazi. Complementi: sottobasi, prodotti infiniti, Teorema di Tychonoff, topologie su insiemi di funzioni ℝ→ℝ. APPUNTI
17) 29.4.2021 (Prof. Paolo Bravi). Topologia algebrica. Omotopia fra applicazioni continue, esempi. L'omotopia è una relazione di equivalenza. La mappa antipodale sulla sfera Sn è omotopa all'identità se n è dispari. Equivalenza omotopica e spazi omotopicamente equivalenti. Spazi contraibili, esempi. Retrazioni e retrazioni per deformazioni, esempi. Un retratto per deformazione è un retratto, e l'inclusione è un'equivalenza omotopica. APPUNTI
18) 3.5.2021 (Prof. Paolo Bravi). Gruppo fondamentale. Cammini in uno spazio topologico e omotopia fra cammini. Esempi. Giunzione di cammini, riparametrizzazioni di cammini, proprietà. La giunzione è associativa a meno di omotopia di cammini. Inverso di un cammino, cammino costante, proprietà. Definizione di gruppo fondamentale. Cambiamento di punto base, isomorfismo γ#. Spazi topologici semplicemente connessi. APPUNTI
19) 4.5.2021, 3 ore. Gruppo fondamentale di un prodotto di spazi topologici. Proprietà funtoriali. Comportamento del gruppo fondamentale con retratti e retratti per deformazioni. Applicazioni f* e g* se f,g:X→Y sono omotope. Teorema: se f è un'equivalenza omotopica allora f* è un isomorfismo di gruppi. Esempi ed esercizi. Esempi di retratti e retratti per deformazione. APPUNTI
20) 6.5.2021. Teorema di Seifert-Van Kampen. Per la dimostrazione: Teorema del numero di Lebesgue. Corollari: Sn è semplicemente connessa per n≥2, e ℙnℂ è semplicemente connesso per n≥0. APPUNTI
21) 10.5.2021. Esempi ed esercizi. Omeomorfismi locali, proprietà. Definizione di rivestimento, prime proprietà. Quozienti per azioni propriamente discontinue e rivestimenti, esempi. APPUNTI
22) 11.5.2021, 3 ore. Sezioni di rivestimenti, esistenza di sezioni locali. Sollevamento di applicazioni continue, proprietà. Sollevamento di cammini e di omotopia di cammini. Confronto fra omotopia di cammini nella base di un rivestimento e dei loro sollevamenti (senza dimostrazione). Esempi ed esercizi. APPUNTI
23) 13.5.2021. Dimostrazione del confronto fra omotopia di cammini nella base e nello spazio totale di un rivestimento. Corollario: π1(S1) ≅ ℤ. Teorema: se lo spazio totale è connesso per archi e la base è semplicemente connessa, il rivestimento è un omeomorfismo. Teorema di Borsuk. Vari corollari, fra cui: nessun aperto di ℝn è omeomorfo a ℝ2 se n>2. Teorema del punto fisso di Brower. Esempi: il gruppo fondamentale di ℙ1ℝ. APPUNTI
24) 17.5.2021. Esempio: il rivestimento Sn→ℙnℝ. Monodromia: definizione, monodromia e omotopia di cammini. Teorema sui legami fra monodromia, fibre di un rivestimento, gruppo fondamentale dello spazio totale e della base. Corollario: π1(ℙnℝ)≅ ℤ/2ℤ se n≥2. APPUNTI
25) 18.5.2021, 3 ore. Monodromia e azioni propriamente discontinue, legame fra il gruppo di omeomorfismi e i gruppi fondamentali di spazio totale e base del rivestimento. Esempi, il gruppo fondamentale del toro. Sollevamenti di applicazioni qualsiasi. Complementi: cenni su rivestimenti universali e gruppi di omotopia superiori. Esempi ed esercizi, gruppo fondamentale della bottiglia di Klein (non abeliano). APPUNTI
Ricevimento 19.5.2021: APPUNTI
26) 20.5.2021. Esempi ed esercizi. APPUNTI
27) 24.5.2021. Esempi ed esercizi. Curve e superfici. Curve in ℝn, definizioni, esempi. Velocità, curve regolari, riparametrizzazioni, lunghezza. Riparametrizzazioni a velocità unitaria. Campi di vettori. Formule di Frenet per curve in ℝ2. Definizione di curvatura per curve in ℝ3. APPUNTI
28) 25.5.2021, 3 ore. Definizione del campo di basi (T,N,B) e definizione di torsione di una curva. Esempi. Apparato di Frenet, piano osculatore affine. Formule di Frenet in ℝ3. Curve congruenti, apparati di Frenet di curve congruenti. Criterio per la congruenza di due curve usando curvatura e torsione. Curve parametrizzate a velocità qualsiasi. Esempi ed esercizi. APPUNTI
29) 27.5.2021. Varietà topologiche: definizione, esempi. Atlanti di classe C∞, equivalenza di atlanti, definizione di varietà differenziabili, esempi. Varietà differenziabili immerse in ℝn, esempi. APPUNTI
30) 31.5.2021. Svolgimento di un esercizio dato per casa. Superfici differenziabili immerse in ℝ3. Definire una superficie in modo implicito (dimostrazione col Teorema della funzione inversa). Teorema: ogni superficie immersa in ℝ3 ammette carte locali di Monge attorno ad ogni suo punto. Corollario: ogni superficie immersa in ℝ3 è una varietà differenziabile. APPUNTI
31) 1.6.2021, 3 ore. Applicazioni differenziabili definite su superfici, esempi. Differenziale di un'applicazione ℝn→ℝm calcolato tramite curve. Definizione dello spazio tangente in un punto ad una superficie differenziabile immersa in ℝ3. Proposizione: lo spazio tangente alla superficie è l'immagine del differenziale di una carta locale. Differenziale di applicazioni fra superfici. Prima forma fondamentale, u-curve e v-curve, funzioni E,F,G. Isometrie e isometrie locali fra superfici, conservano la lunghezza delle curve. Esempi ed esercizi. APPUNTI
32) 7.6.2021. Esempi ed esercizi. Campi vettoriali differenziabili su superfici immerse in ℝ3, campi di vettori tangenti e normali. Superfici orientabili, esempi. Operatore forma. Teorema: l'operatore forma è autoaggiunto rispetto alla prima forma fondamentale. Seconda forma fondamentale, rapporto con la curvatura normale di una curva contenuta nella superficie (teorema di Meusnier). Matrice della seconda forma fondamentale, funzioni L, M, N, rapporto con la matrice dell'operatore forma. Esempi. Direzioni principali, curvature principali, curvatura media e curvatura gaußiana. APPUNTI
33) 8.6.2021, 3 ore. Altre formule per L,M,N,H,K e per le curvature principali. Esempio con carta locale di Monge, legame fra seconda forma fondamentale ed hessiano della funzione. Teorema egregium di Gauß. Cenni su curvatura gaußiana per superfici riemanniane, e sullo spazio tangente ad una varietà differenziabile non immersa in ℝn. Esempi ed esercizi. APPUNTI
34) 9.6.2021. Esempi ed esercizi di topologia generale. APPUNTI
35) 10.6.2021. Esempi ed esercizi. APPUNTI
36) 14.6.2021. Esempi ed esercizi. APPUNTI
37) 15.6.2021. Esempi ed esercizi. APPUNTI