Fogli settimanali di esercizi:
Modalità:
1) 28.2.2023. Informazioni generali sul corso. Introduzione alla topologia generale: Omeomorfismi fra sottoinsiemi di ℝn, esempi. Punti aderenti a sottinsiemi di ℝn, sottoinsiemi chiusi e aperti. Formulazioni equivalenti della continuità per applicazioni ℝn→ℝm.
2) 1.3.2023. Topologia generale. Definizione di spazio topologico. Esempi: topologia banale e discreta, topologia cofinita, topologia euclidea su ℝn, altri esempi. Base di una topologia. Condizione necessaria e sufficiente affinché una famiglia di sottoinsiemi sia una base di una topologia. Confronti fra topologie, intersezione di topologie. Topologia di Zariski. Definizione di parte interna, chiusura, frontiera, punti interni e aderenti.
3) 3.3.2023. Esempi delle ultime definizioni viste. Sottoinsiemi densi, esempi. Intorni e sistemi fondamentali di intorni, esempi. Applicazioni continue, continue in un punto, formulazioni equivalenti della continuità.
4) 7.3.2023. Omeomorfismi, applicazioni aperte e chiuse, esempi. Spazi metrici. Definizione di palla aperta e di topologia indotta. Lemma: ogni palla aperta è un aperto, e l'insieme delle palle aperte è una base. Caratterizzazione della continuità di applicazioni fra spazi metrici. Confronto delle topologie indotte da distanze, distanze equivalenti. Spazi topologici metrizzabili. Sottospazi topologici, esempi.
5) 8.3.2023. Base della topologia di sottospazio, formulazione della topologia di sottospazio tramite la continuità dell'inclusione. Chiusura di un sottoinsieme di un sottospazio. Immersioni topologiche, esempi. Prodotti di spazi topologici, teorema su una base della topologia prodotto e sulle proprietà delle due proiezioni (senza dimostrazione).
6) 10.3.2023. Esercitazione.
7) 14.3.2023. Dimostrazione del teorema precedente, esempi. Spazi di Hausdorff, esempi. In uno spazio di Hausdorff i sottoinsiemi finiti sono chiusi; sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff. Teorema: X è di Hausdorff se e solo se la diagonale in X × X è chiusa.
8) 15.3.2023. Corollario: se il codominio è di Hausdorff, il luogo dove due funzioni continue coincidono è chiuso. Spazi topologici connessi, esempi. Formulazioni equivalenti della connessione. Teorema: [0,1] è connesso. Spazi topologici connessi per archi, esempi. L'immagine di un connesso è connessa, e di un connesso per archi è connessa per archi. Ogni connesso per archi è connesso. Esempio di uno spazio connesso ma non connesso per archi: il pettine con la pulce (senza verifiche). Studio dei sottospazi connessi di ℝ. Lemma: ogni applicazione continua Sn→ℝ con n>0 assume lo stesso valore in almeno due punti antipodali. Corollario: nessun aperto di ℝn con n>1 è omeomorfo ad ℝ.
9) 17.3.2023. Esercitazione.
10) 21.3.2023. La chiusura di un sottospazio connesso è connessa. Verifica che il pettine con la pulce è uno spazio connesso. Condizioni affinchè la controimmagine di un connesso sia connessa. Il prodotto di connessi è connesso, Componenti connesse, esempi. Spazi compatti: definizioni ed esempi. L'intervallo [0,1] è compatto. Un chiuso in un compatto è compatto, un compatto in un T2 è chiuso. I compatti contenuti in ℝ sono i chiusi e limitati.
11) 22.3.2023. L'immagine di un compatto tramite un'applicazione continua è compatta. Corollari: un'applicazione continua da un compatto in ℝ ha minimo e massimo, un'applicazione continua da un compatto in un Hausdorff è chiusa, e se è anche biiettiva è un omeomorfismo. Condizioni sufficienti affinchè il dominio di un'applicazione continua sia compatto. Se P è compatto la proiezione P×Q→Q è chiusa. Corollario: il prodotto di due compatti è compatto. Identificazioni. Un'applicazione continua e suriettiva è un'identificazione se è aperta, oppure se è chiusa. Esempi. Proprietà universale delle identificazioni.
12) 24.3.2023. Esercitazione.
13) 28.3.2023. Identificazioni e aperti saturi. Topologia quoziente, quoziente per una relazione di equivalenza, esempi. Quozienti per gruppi di omeomorfismi. Il quoziente X→X/G è un'applicazione aperta, e se G è finito è anche chiusa. Teorema: caratterizzazione di X/G di Hausdorff. Gruppi topologici: definizione, esempi.
14) 29.3.2023. Proprietà di numerabilità: spazi 1o-numerabili, 2o-numerabili, separabili. Esempi. Ogni spazio metrico è 1o-numerabile, se è anche separabile allora è 2o-numerabile. Successioni, chiusura e limiti di successioni in spazi 1o-numerabili. Sottosuccessioni e compattezza per successioni. Teorema sulla relazione fra compattezza e compattezza per successioni.
15) 31.3.2023. Esercitazione.
16) 4.4.2023. Successioni di Cauchy, spazi metrici completi, ℝn è completo. Sottospazi metrici completi e chiusura. Compattezza e numerabilità di spazi metrici: uno spazio metrico è compatto se e solo se è compatto per successioni, se e solo se è completo e totalmente limitato. Complementi: sottobasi, prodotti infiniti, Teorema di Tychonoff.
17) 5.4.2023. Esercitazione.
18) 14.4.2023. Esercitazione.
19) 18.4.2023. Topologia algebrica. Omotopia fra applicazioni continue, esempi. L'omotopia è una relazione di equivalenza. La mappa antipodale sulla sfera Sn è omotopa all'identità se n è dispari. Equivalenza omotopica e spazi omotopicamente equivalenti. Spazi contraibili, esempi. Retratti e retratti per deformazioni, esempi. Un retratto per deformazione è un retratto, e l'inclusione è un'equivalenza omotopica. Cammini in uno spazio topologico, omotopia di cammini e cammini equivalenti. Esempi. Giunzione e inversione di cammini, riparametrizzazioni di cammini, proprietà.
20) 21.4.2023 (Daniele Valeri). La giunzione è associativa a meno di omotopia di cammini. Inverso di un cammino, cammino costante, proprietà. Definizione di gruppo fondamentale. Cambiamento di punto base, isomorfismo γ#. Spazi topologici semplicemente connessi. Gruppo fondamentale di un prodotto di spazi topologici.
21) 26.4.2023. Proprietà funtoriali. Comportamento del gruppo fondamentale con retratti e retratti per deformazioni. Applicazioni f* e g* se f,g:X→Y sono omotope. Teorema: se f è un'equivalenza omotopica allora f* è un isomorfismo di gruppi. Teorema di Seifert-Van Kampen (senza dimostrazione). Corollario: Sn è semplicemente connessa per n≥2.
22) 28.4.2023. Esercitazione.
23) 2.5.2023. Teorema del numero di Lebesgue. Dimostrazione del Teorema di Seifert-Van Kampen. Corollario: gli spazi proiettivi complessi sono semplicemente connessi. Rivestimenti: definizione di omeomorfismi locali, proprietà, definizione di rivestimenti, esempi. Cardinalità delle fibre di un rivestimento con base connessa.
24) 3.5.2023. Rivestimenti di grado finito. Quozienti per azioni propriamente discontinue e rivestimenti, esempi. Sezioni di rivestimenti, esistenza di sezioni locali continue. Definizione di sollevamento di applicazioni continue, proprietà di unicità. Sollevamento di cammini.
25) 5.5.2023. Esercitazione, 3 ore.
26) 9.5.2023. Sollevamento di omotopia di cammini. Confronto fra omotopia di cammini nella base di un rivestimento e dei loro sollevamenti. Corollario: π1(S1) ≅ ℤ. Corollario: S1 non è retratto di D2. Teorema del punto fisso di Brower. Teorema di Borsuk. Vari corollari, fra cui: nessun aperto di ℝn è omeomorfo a ℝ2 se n>2.
27) 10.5.2023. Legami fra fibre di un rivestimento, gruppo fondamentale dello spazio totale e della base. Corollario: π1(ℙnℝ)≅ ℤ/2ℤ se n≥2. Azioni propriamente discontinue: legame fra il gruppo di omeomorfismi e i gruppi fondamentali di spazio totale e base del rivestimento.
28) 12.5.2023. Esercitazione, 1 ora.
29) 16.5.2023. Sollevamenti di applicazioni qualsiasi. Rivestimenti universali e classificazione dei rivestimenti tramite i sottogruppi del gruppo fondamentale.
30) 17.5.2023. Geometria differenziale. Varietà topologiche: definizione, esempi. Atlanti di classe C∞, equivalenza di atlanti, definizione di varietà differenziabili, esempi. Varietà differenziabili immerse in ℝN, esempi. Curve in ℝn, definizioni, esempi. Velocità, curve regolari.
31) 19.5.2023. Esercitazione, 3 ore.
32) 23.5.2023. Riparametrizzazioni, lunghezza. Riparametrizzazioni a velocità unitaria. Campi di vettori. Formule di Frenet per curve in ℝ2. Definizione di curvatura per curve in ℝ3. Definizione del campo di basi (T,N,B) e definizione di torsione di una curva. Apparato di Frenet, formule di Frenet in ℝ3. Piano osculatore affine. Curve congruenti e loro apparati di Frenet. Teorema: criterio per la congruenza di due curve usando curvatura e torsione (senza dimostrazione).
33) 24.5.2023. Dimostrazione dell'ultimo teorema. Classificazione delle curve in ℝ3 in termini di curvatura e torsione. Superfici differenziabili immerse in ℝ3. Definire una superficie in modo implicito. Teorema: ogni superficie immersa in ℝ3 ammette carte locali di Monge attorno ad ogni suo punto. Corollario: ogni superficie immersa in ℝ3 è una varietà differenziabile. Applicazioni differenziabili definite su superfici. Differenziale di un'applicazione ℝn→ℝm calcolato tramite curve. Definizione dello spazio tangente in un punto ad una superficie differenziabile immersa in ℝ3.
34) 26.5.2023. Esercitazione, 3 ore.
35) 30.5.2023. Proposizione: lo spazio tangente alla superficie è l'immagine del differenziale di una parametrizzazione. Differenziale di applicazioni fra superfici. Prima forma fondamentale, funzioni E,F,G, esempi. Isometrie e isometrie locali fra superfici, conservano la lunghezza delle curve. Campi vettoriali differenziabili su superfici immerse in ℝ3, campi di vettori tangenti e normali. Superfici orientabili, esempi. Operatore forma. Teorema: l'operatore forma è autoaggiunto rispetto alla prima forma fondamentale. Seconda forma fondamentale, rapporto con la curvatura normale di una curva contenuta nella superficie (teorema di Meusnier).
36) 31.5.2023. Matrice della seconda forma fondamentale, funzioni L, M, N, rapporto con la matrice dell'operatore forma. Esempi. Direzioni principali, curvature principali, curvatura media e curvatura gaußiana. Altre formule per L,M,N,H,K e per le curvature principali. Teorema egregium di Gauß. Cenni su curvatura gaußiana per superfici riemanniane, e sullo spazio tangente ad una varietà differenziabile non immersa in ℝn.
37) 6.6.2023. Esercitazione.
38) 7.6.2023. Esercitazione.