1) 27.2.2025. Informazioni generali sul corso. Parte prima: topologia generale. Introduzione, omeomorfismi fra sottoinsiemi di ℝn, esempi. Punti aderenti a sottinsiemi di ℝn, sottoinsiemi aperti. Formulazioni equivalenti della continuità per applicazioni ℝn→ℝm.
2) 3.3.2025, 3 ore. Definizione di spazio topologico. Esempi: topologia banale e discreta, topologia cofinita, topologia euclidea su ℝn, altri esempi. Base di una topologia. Condizione necessaria e sufficiente affinché una data famiglia di sottoinsiemi sia una base di una qualche topologia. Topologia di Zariski. Confronti fra topologie, intersezione di topologie.
3) 4.3.2025. Definizione di parte interna, chiusura, frontiera, punti interni e aderenti. Esempi. Sottoinsiemi densi, esempi. Intorni e sistemi fondamentali di intorni, esempi. Applicazioni continue fra spazi topologici, esempi.
4) 6.3.2025. Esercitazione.
5) 10.3.2025, 3 ore. Definizione di applicazioni continue in un punto fra spazi topologici, formulazioni equivalenti della continuità. Omeomorfismi, applicazioni aperte e chiuse, esempi. Spazi metrici. Definizione di palla aperta e di topologia indotta da una distanza. Lemma: ogni palla aperta è un aperto, e l'insieme delle palle aperte è una base. Caratterizzazione della continuità di applicazioni fra spazi metrici. Confronto delle topologie indotte da distanze, distanze equivalenti. Spazi topologici metrizzabili. Sottospazi topologici, esempi.
6) 11.3.2025. Formulazione della topologia di sottospazio tramite la continuità dell'inclusione. Chiusura e parte interna di un sottoinsieme di un sottospazio: esempi. Immersioni topologiche, esempi. Prodotti di spazi topologici, definizione di topologia prodotto.
7) 13.3.2025. Esercitazione.
8) 17.3.2025, 3 ore. Teorema in 4 parti su una base della topologia prodotto e sulle proprietà delle due proiezioni. Spazi di Hausdorff, esempi. In uno spazio di Hausdorff i sottoinsiemi finiti sono chiusi; sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff. Teorema: X è di Hausdorff se e solo se la diagonale in X × X è chiusa. Corollario: se il codominio è di Hausdorff, il luogo dove due funzioni continue coincidono è chiuso nel dominio.
9) 18.3.2025. Spazi topologici connessi, esempi. Formulazioni equivalenti della connessione. Teorema: [0,1] è connesso. Spazi topologici connessi per archi, esempi. Altri esempi di spazi connessi per archi. Lemma su un sottospazio connesso Y di X e un sottoinsieme A aperto e chiuso A di X. L'immagine di un connesso è connessa, e di un connesso per archi è connessa per archi. Ogni connesso per archi è connesso. Studio dei sottospazi connessi di ℝ. Lemma: ogni applicazione continua Sn→ℝ con n>0 assume lo stesso valore in almeno due punti antipodali.
10) 20.3.2025. Esercitazione.
11) 24.3.2025, 3 ore. Corollario: nessun aperto non vuoto di ℝm con m>1 è omeomorfo ad alcun aperto non vuoto di ℝ. La chiusura di un sottospazio connesso è connessa. Esempio di uno spazio connesso ma non connesso per archi: il pettine con la pulce. Condizioni sufficienti affinchè la controimmagine di un connesso sia connessa. Il prodotto di connessi è connesso. Componenti connesse, esempi. Spazi compatti: definizioni ed esempi. L'intervallo [0,1] è compatto. Un chiuso in un compatto è compatto, un compatto in un T2 è chiuso.
12) 25.3.2025. I sottospazi compatti di ℝ sono esattamente i chiusi e limitati. L'immagine di un compatto tramite un'applicazione continua è compatta. Corollari: un'applicazione continua da un compatto in ℝ ha minimo e massimo, un'applicazione continua da un compatto in un Hausdorff è chiusa, e se è anche biiettiva è un omeomorfismo. Condizioni sufficienti affinchè il dominio di un'applicazione continua sia compatto. Se P è compatto la proiezione P×Q→Q è chiusa. Corollario: il prodotto di due compatti è compatto. Identificazioni: definizione. Un'applicazione continua e suriettiva è un'identificazione se è aperta, oppure se è chiusa. Esempi.