Fogli settimanali di esercizi:
Diario delle lezioni:
1) 26.9.2024. Introduzione informale su gruppi di Lie e algebre di Lie. Primi esempi. Cenni sulla mappa esponenziale e il legame fra gruppo di Lie e algebra di Lie nel caso di GL(n). Parte prima: gruppi di Lie di matrici. Definizione di gruppo topologico, esempi. Traslazione a sinistra e a destra per un elemento fissato, coniugio. Sottogruppi topologici, esempi di sottogruppi chiusi e aperti. Ogni sottogruppo aperto è anche chiuso.
2) 1.10.2024. Componente connessa contenente l'elemento neutro di un gruppo topologico. Omomorfismi e isomorfismi di gruppi topologici. Mappa esponenziale: considerazioni sul prodotto scalare (ed Hermitiano) standard fra matrici, definire una funzione su matrici usando serie di potenze. Le serie dell'esponenziale e del logaritmo. Parentesi di algebra lineare: ogni matrice in in Mn(ℂ) è simile a una qualche matrice triangolare superiore, e le matrici diagonalizzabili sono dense in Mn(ℂ).
3) 2.10.2024. Teorema sull'esponenziale e il logaritmo di matrici (sono uno l'inverso dell'altro). L'esponenziale in Mn(ℝ) è di classe C∞. Definizione di sottogruppi a un parametro associati a matrici tramite l'esponenziale. Differenziale di exp in 0. Teorema: ogni omomorfismo continuo ℝ → GL(n,ℝ) è un sottogruppo a un parametro associato ad una qualche matrice determinata univocamente.
4) 3.10.2024. Esercizi del foglio n.1. Considerazioni sulle immagini dei sottogruppi a un parametro, esempio della rotazione sul piano ed esempio delle curve dense sul toro. Definizione di algebra di Lie, prime osservazioni.
5) 9.10.2024. Definizione di sottoalgebre di Lie, ideali, omomorfismi. Esempi. Algebra di Lie di un sottogruppo chiuso di GL(n,ℝ). Esempi di gruppi e calcolo delle loro algebre di Lie: GL(n,ℝ), SL(n,ℝ).
6) 10.10.2024. Esercizi del foglio n.2. Altri esempi di calcolo di Lie(G): O(n,ℝ), SO(n,ℝ), Sp(n,ℝ). Lemma sulla norma di log(In+X)-X.
7) 15.10.2024. Formula del prodotto di Lie. Teorema: Lie(G) è una sottoalgebra di Lie di gl(n,ℝ). Teorema sulle coordinate logaritmiche su sottogruppi chiusi di GL(n,ℝ).
8) 16.10.2024. Lemma: ogni intorno dell'elemento neutro di un gruppo topologico connesso è un insieme di generatori. Corollario: exp(Lie(G)) genera Go. Richiami su varietà differenziabili e sottovarietà. Definizione di gruppo di Lie. Teorema: ogni sottogruppo chiuso di GL(n,ℝ) è una sottovarietà e un gruppo di Lie. Considerazioni su GL(n,ℂ) identificato con un sottogruppo chiuso di GL(2n,ℝ).
9) 17.10.2024. Esercizi del foglio n.3. Teorema: lo spazio tangente a G in In coincide con Lie(G). Altri esempi di sottogruppi chiusi di GL(n,ℝ). Omomorfismi continui di gruppi di matrici, definizione/proposizione del differenziale, inizio della dimostrazione.
10) 22.10.2024. Fine della dimostrazione precedente. Corollario: tutti gli omomorfismi continui fra gruppi di Lie di matrici sono C∞. Rappresentazioni di gruppi e di algebre di Lie: varie definizioni basilari (moduli, sottomoduli, ecc.). Prime osservazioni ed esempi.
11) 23.10.2024. Altri esempi di rappresentazioni. Sruttura naturale di G-modulo sul duale di un G-modulo dato. Rapporti fra G-moduli e Lie(G)-moduli, struttura di L-modulo sul duale di un L-modulo. Teorema sui G-sottomoduli e i Lie(G)-sottomoduli di una rappresentazione continua di G.
12) 24.10.2024. Esercizi del foglio n.4. Rappresentazione aggiunta di G e di Lie(G). Formula per la rappresentazione aggiunta di Lie(G), inizio della dimostrazione.
13) 29.10.2024. Fine della dimostrazione precedente. Definizione della rappresentazione aggiunta di un'algebra di Lie qualsiasi. Teorema sul legame fra essere un sottogruppo normale ed avere un ideale come algebra di Lie. Teorema: un gruppo di Lie di matrici G induce tramite Ad automorfismi di Lie(G) come algebra di Lie, e un'algebra di Lie L induce su se stessa derivazioni tramite ad. Completa riducibilità di rappresentazioni continue per gruppi di Lie di matrici compatti: inizio della dimostrazione (trucco unitario di Weyl) con cenni sulla misura di Haar e sull'esistenza di una media per funzioni continue G → ℝ.
14) 30.10.2024. Fine della dimostrazione precedente. Parte seconda: teoria generale delle algebre di Lie. Centro e algebra derivata di un'algebra di Lie, bracket di ideali. Esempi. Algebre di Lie semplici, esempio di sl(2). Quoziente di un'algebra di Lie per un ideale: struttura di algebra di Lie. Normalizzatore e centralizzatore di un sottospazio vettoriale. Teoremi di omomorfismo simili alla teoria dei gruppi o anelli. Definizione della serie centrale discendente e della serie derivata.
15) 31.10.2024. Esercizi del foglio n.5. Algebre di Lie nilpotenti e risolubili, esempi. Legami fra la risolubilità di un'algebra di Lie e quella di suoi quozienti e ideali. Somma di ideali risolubili, radicale di un'algebra di Lie. Algebre di Lie semisemplici.
16) 5.11.2024. Legami fra la nilpotenza di un'algebra di Lie e quella di suoi quozienti e ideali. Elementi ad-nilpotenti, enunciato del Teorema di Engel. Primo Teorema di "punto fisso", con dimostrazione.
17) 6.10.2024. Dimostrazione del Teorema di Engel. Corollario: se una sottoalgebra di Lie di gl(n) ha solo elementi nilpotenti è contenuta in bu(n) a meno di cambiare base. Secondo Teorema di "punto fisso". Teorema di Lie. Corollario: L è risolubile se e solo se [L,L] è nilpotente. Parentesi di algebra lineare n.2: autovettori generalizzati. Teorema di decomposizione di Fitting.
18) 7.11.2024. Esercizi del foglio n.6. Decomposizione di Jordan-Chevalley. Criterio di Cartan per sottoalgebre di gl(V) (solo enunciato). Primi due lemmi per la dimostrazione del criterio.
19) 12.11.2024. Dimostrazione del secondo lemma della lezione scorsa, terzo lemma. Dimostrazione del criterio di Cartan. Versione del criterio di Cartan per algebre di Lie qualsiasi. Definizione della forma di Killing, associatività, esempi. Teorema: L semisemplice se e solo se la forma di Killing è non degenere, inizio della dimostrazione.
20) 13.11.2024. Fine della dimostrazione del teorema precedente. Somma diretta di algebre di Lie. Teorema: un'algebra di Lie è semisemplice se e solo se è somma diretta di algebre di Lie semplici. Corollario: ogni ideale di un'algebra di Lie semisemplice L è somma di alcuni degli addendi semplici del teorema, ogni quoziente di L è semisemplice, e L=[L,L]. Altre costruzioni di teoria delle rappresentazioni: prodotti tensoriali, esempi, osservazioni. Struttura di modulo del prodotto tensoriale di due moduli.
21) 14.11.2024. Esercizi del foglio n.7. Lemma di Schur. Forma bilineare associata a una rappresentazione fedele, proprietà. Elemento di Casimir di una rappresentazione: definizione e indipendenza dalla base scelta. Lemma: l'elemento di Casimir centralizza l'immagine di L, inizio della dimostrazione.
22) 19.11.2024. Teorema di Weyl. Osservazioni ed esempi preliminari sulla classificazione delle algebre di Lie semisemplici.
23) 20.11.2024. Teorema: se L è semisemplice allora ad(L)=Der(L). Corollario: decomposizione di Jordan-Chevalley "astratta" nelle algebre di Lie semisemplici. Rappresentazioni di sl(2): pesi, comportamento degli h-autospazi rispetto all'azione degli elementi e,f. Studio degli sl(2)-moduli irriducibili, loro classificazione tramite il peso più alto. Corollario sugli sl(2)-moduli non necessariamente irriducibili (senza dimostrazione)
24) 21.11.2024. Esercizi del foglio n.8. Dimostrazione del corollario precedente, esempi. Sottoalgebre torali: definizione, esempi. Lemma: sono abeliane.
25) 26.11.2024. Radici: definizione, esempio delle radici di sp(4). Proposizione su prime proprietà delle radici e degli autospazi corrispondenti. Corollario: la forma di Killing ristretta a L0 è non degenere. Proposizione: la forma di Killing ristretta a H è non degenere. Corollario: L0=H. Proposizione sulle radici e sull'esistenza di sottoalgebre isomorfe a sl(2), inizio della dimostrazione.
26) 27.11.2024. Fine della dimostrazione della proposizione precedente. Proposizione sulla dimensione degli spazi di radice, multipli di radici che sono radici, eccetera. Lemma: data una base di H* fatta di elementi α1,...,αn di Φ, allora Φ è contenuto in Spanℚ{α1,...,αn}. Definizione del ℚ-spazio vettoriale Eℚ e del ℝ-spazio vettoriale E.
27) 28.11.2024. Esercizi del foglio n.9. Teorema: la forma di Killing induce una forma bilineare su Eℚ e anche su E, su quest'ultimo è un prodotto scalare; inoltre valgono le proprietà 1), 2), 3), 4) dell'insieme delle radici. Parte terza: sistemi di radici. Definizioni, esempi.
28) 3.12.2024. Studio dei possibili angoli fra due radici e dei rapporti fra le lunghezze. Corollario (dei casi appena studiati): Φ intersecato lo span di due radici non proporzionali è uno dei quattro casi A1×A1, A2, B2, G2. Lemma: date due radici α e β non proporzionali, se (α,β) > 0 allora α-β è una radice, e se (α,β) < 0 allora α+β è una radice. Corollario sulle radici del tipo β+mα. Basi di un sistema di radici: definizione, esempi. Vettori regolari e insieme Δ(γ). Proposizione: Δ(γ) è una base per ogni vettore regolare γ. Corollario: ogni sistema di radici ha basi.
29) 4.12.2024. Proposizione: ogni base è del tipo Δ(γ). Corollario: ci sono tante camere di Weyl quante basi. Gruppo di Weyl: definizione, esempi. Lemma: una qualsiasi riflessione semplice permuta le radici positive diverse dalla radice semplice associata. Lemma sulle riflessioni semplici applicate all'elemento δ. Lemma: per ogni radice β esiste una base che contiene β. Teorema: W è generato dalle riflessioni semplici e agisce in modo semplicemente transitivo sull'insieme delle basi. Esempi. Definizione di lunghezza di un elemento di W. Teorema: la lunghezza di w è il numero di radici positive che diventano negative applicando w (solo enunciato). Lemma di "cancellazione", inizio della dimostrazione.
30) 5.12.2024. Esercizi del foglio 10. Fine della dimostrazione del lemma di cancellazione. Dimostrazione del teorema sulla lunghezza degli elementi di W. Corollario: W agisce in modo semplicemente transitivo sull'insieme delle basi. Classificazione dei sistemi di radici. Matrice di Cartan, grafo di Coxeter, diagramma di Dynkin di un sistema di radici. Esempi. Diagrammi di tipo An, Bn, Cn, Dn, E6, E7, E8, F4, G2.
31) 10.12.2024. Isomorfismo di sistemi di radici. Esempi. Proposizione: il diagramma di Dynkin determina il sistema di radici a meno di isomorfismo. Sistemi di radici irriducibili e diagrammi di Dynkin connessi. Teorema: la lista An,..., G2 è la lista completa dei diagrammi di Dynkin connessi. Inizio della dimostrazione.
32) 11.12.2024. Fine della dimostrazione del teorema precedente. Parte quarta: classificazione delle algebre di Lie semisemplici. Teorema di esistenza e unicità di un'algebra di Lie semisemplice con un dato sistema di radici: solo enunciato. Algebre di Lie libere e proprietà universale.
33) 12.12.2024. Esercizi del foglio 11. Relazioni (S1), (S2), (S3), (S+i,j) e (S-i,j) che valgono in un'algebra di Lie semisemplice. Enunciato del Teorema di Serre. Per la dimostrazione del Teorema di Serre: costruzione dell'algebra con le sole relazioni (S1), (S2), (S3), definizione di una rappresentazione dell'algebra di Lie libera L^.
34) 17.12.2024. Proposizione: la rappresentazione passa al quoziente per le relazioni (S1), (S2), (S3). Proposizione sulla struttura dell'algebra di Lie con le relazioni (S1), (S2), (S3).
35) 18.12.2024. Lemma sugli elementi ei,j, fi,j. Lemma su esponenziale di elementi nilpotenti. Riflessione semplice di un sistema di radici di tipo A1 vista come coniugio per un elemento di SL(2). Esponenziale di endomorfismi localmente nilpotenti. Inizio della dimostrazione del Teorema di Serre (fino al passo 1).
36) 19.12.2024. Esercizi del foglio n.12. Passi 2-5 della dimostrazione del Teorema di Serre.
37) 7.1.2025. Fine della dimostrazione del Teorema di Serre.
38) 8.1.2025. Conseguenze del Teorema di Serre: corollario sull'unicità dell'algebra di Lie semisemplice con sistema di radici dato, un sistema di radici irriducibile determina il prodotto scalare a meno di multipli, osservazioni sugli esempi sl(n), so(n), sp(2n). Esercizi del foglio 13.
39) 9.1.2025. Esercizi vari.