Geometria Numerativa dai primordi alle Stringhe

Claudio Procesi

1. I primordi (Le circonferenze di Apollonio) p. 1 2. Geometria analitica ed Algebra p. 1 3. Gli sviluppi dell’800, p. 3 4. Teorie geometriche p. 5 5. Coomologia di De Rham p. 6 6. Teoria di Morse p. 9 7. Integrali funzionali e Stringhe p. 9 8. Coomologia quantistica e

Mirror symmetry p. 27

C. Procesi Roma, Febbraio 1999

1. I primordi

Le circonferenze di Apollonio

L’idea di questa esposizione è di mostrare come la Matematica si sviluppa su tempi lunghi ed alcune idee riappaiono in varie forme in periodi e discipline diverse. L’esempio che discuterò è quello della geometria numerativa. Si tratta grosso modo di una teoria che ci insegna come contare il numero di soluzioni di alcuni problemi geometrici.

Come primo esempio potremmo persino partire dagli assiomi di Euclide ed in particolare quello che dice che per due punti passa una sola retta, ma per produrre un esempio più interessante passiamo alle circonferenze di Apollonio che è un grazioso esempio di geometria sintetica. Si prendano tre circonferenze disgiunte allora vi sono esattamente 8 circonferenze tangenti a tutte e 3 le circonferenze date.

Non è difficile convincersi di questo enunciato. 8 è il numero dei sottoinsiemi di 3 elementi se, ad ogni circonferenza tangente alle 3 date, associamo l’insieme delle 3 ad esso interno si ottiene facilmnte il risultato.

In realtà questo Teorema è un po una curiosità, che è stata riscoperta tentando di rintracciare le origini della Teoria che esporrò.

2. Geometria analitica e Algebra

La storia che voglio raccontare fa un salto temporale e qualitativo notevole, per trasformare la curiosità delle circonferenze di Apollonio in problemi generali il passaggio essenziale è quello dalla geometria sintetica a quella analitica ossia al piano (o anche a spazi) Cartesiano. Trasformato il piano Euclideo in coordinate la prima scoperta è quella delle equazioni, dei luoghi geometrici, ad esempio curve superfici. Per semplictà parliamo di curve piane date da una equazione in due variabili f(x, y) = 0.

Fra queste si distinguono le curve algebriche in cui f(x, y) è un polinomio, ad esempio le sezioni coniche (che sono anche tipiche traittorie dei corpi celesti) sono descritte da f(x, y) di secondo grado

f(x, y) = ax^{2} + by^{2} + cxy + dx + ey + f = 0

Il grado della equazione di una curva algebrica piana è un primo invariante di tipo enumerativo, conta il numero di intersezioni di tale curva con una retta generica e (pur di fare molte spiegazioni) anche con una retta qualsiasi.

Typeset by AMS-TEX

Reinterpretiamo in modo analitico il Teorema di Apollonio. Un cerchio arbitrario ha equazioni x^{2} + y^{2} + ax + by + c = 0 quindi i cerchi dipendono da 3 parametri. Prendiamo 1 cerchio particolare ad esempio di equazione x^{2}+y^{2} = 1, per imporre che x^{2}+y^{2}+ax+by+c = 0

è tangente al cerchio dato risolvendo si deve avere che il sistema

\begin{matrix}x^{2} + y^{2} = 1 \\ 1 + ax + by + c = 0 \end{matrix}

ha due radici coincidenti ovvero che la retta 1 + ax + by + c = 0 è tangente al cerchio x^{2} + y^{2} = 1. In generale studiamo la condizione di tangenza di una retta ad una curva. Una idea della geometria proiettiva dell’800 è la dualità: Le rette del piano hanno equazioni ax + by + c = 0 con a, b, c definiti a meno di scala, dipendono quindi

da 2 parametri e quindi le pensiamo esse stesse come punti di un nuovo piano il piano duale

Le tangenti ad una curva C descritta da una equazione di secondo grado, ossia una conica sono esse stesse i punti di una conica nel piano duale (per chi conosce il linguaggio una conica è descritta da una matrice simmetrica di ordine 3 e la sua duale dalla matrice dei cofattori).

Il Teorema di Apollonio nella sua forma analitica è dato dal fatto che:

L’insieme dei cerchi tangenti a 3 cerchi dati si ottiene analiticamente risolvendo 3 equazioni ciascuna di grado 2 in 3 incognite e il numero 8 non è altro che il prodotto dei tre gradi

8 = 2 × 2 × 2

il principio quindi che applichiamo è quello del:

Teorema di Bezout

Due curve algebriche piane di gradi m, n si intersecano in esattamente mn punti. Similmente 3 superfici algebriche dello spazio di gradi m, n, p si intersecano in esattamente mnp punti. In realtà anche per dare un senso preciso a questo semplice Teorema è necessario un lungo lavoro che è

stato parte dello sviluppo della Geometria dell’800.

La base è il

Teorema fondamentale dell’Algebra

Un polinomio

f(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}x + a_{n}

di grado n ha esttamente n radici (contate con la opportuna molteplicità). Naturalmente per la validità di questo Teorema i numeri devono essere complessi (i numeri complessi sono stati inventati dagli algebristi Italiani del 1500 (vedi Bombelli) per manipolare

le soluzioni delle equazioni algebriche di terzo e quarto grado).

L’idea del Teorema di Bezout è abbastanza semplice anche se poi la dimostrazione formale non lo è altrettanto:

Le due curve hanno equazioni

\begin{matrix}f(x, y) = 0, \\ g(x, y) = 0. \end{matrix} (1)

di gradi m, n.

I punti in comune sono le soluzioni del sistema. Eliminando la variabile x si ha una equazione in una sola variabile di grado mn si applica il Teorema fondamentale dell’Algebra.

Vi sono varie difficoltà da superare possono sparire soluzioni all’infinito e bisogna interpretare le molteplicità. La soluzione al primo problema è nella costruzione del Piano Proiettivo i cui punti sono dati da 3 coordinate

omogeneee x_{0}, x_{1}, x_{2} non tutte nulle e definite a meno di scala con x = \frac{x_{0}}{x_{2}} , y = \frac{x_{1}}{x_{2}} il sistema 1 si omogenizza nel sistema

(2)  x_{2}^{m}f(\frac{x_{0}}{x_{2}} , \frac{x_{1}}{x_{2}} ) = 0, x_{2}^{n}g(\frac{x_{0}}{x_{2}} , \frac{x_{1}}{x_{2}} ) = 0.

Ora le possibili soluzioni all’infinito (ossia con x_{2} = 0 possono apparire). Questa costruzione è anche parte della analisi fatta nell’800 sui concetti di spazio e di geometria (le

geometrie non Euclidee).

La seconda porta ad un bivio 1^{o} Metodo dell’ Algebra commutativa, Geometria Algebrica. Questo è un metodo efficace per studiare e molteplicità purtroppo ci porterebbe troppo lontano illustrarlo. 2^{o} Metodo Topologia Algebrica. Il secondo metodo è basato sulla idea che variando con continuità le curve il numero di intersezioni non

varia. Quindi ci si riduce a casi speciali degeneri e.g. intersezione di rette. Riprenderemo fra poco queste idee.

È importante osservare che il Teorema di Bezout si può formulare e provare anche a più dimensioni.

Un punto fondamentale della teoria è che le curve si possono pensare esse stesse come punti di uno spazio!! Per esempio le coniche dipendono da 6 parametri a meno si scala Formano quindi

Uno spazio proiettivo a 5 dimensioni.

Esempio di questa idea Per 5 punti passa una ed una sola conica A 5 rette è tangente una ed una sola conica

Dimostrazione la condizione di passare per un punto è di primo grado, 5 condizioni indipendenti di primo grado in uno spazio a 5 dimensioni forniscono una unica soluzione (c’è in realtà una piccola condizione per assicurarsi la indipendenza di queste condizioni).

Per passare alle tangenti c’è un Principio di dualità che già abbiamo visto ossia il fatto che le rette tangenti ad una conica formano una conica nel piano duale.

3. Sviluppi dell 800.

Un teorema molto più complicato è dovuto a Chasles Vi sono esattamente 3264 coniche tangenti a 5 coniche date. Questo è uno dei

passaggi difficili

chiariti solo in questo secolo.

In effetti nella seconda metà dell’800 moltissimi risultati di questo tipo furono ottenuti ad opera di: Chasles, Schubert, Zeuthen, Halphen etc. siamo ai primi sviluppi della Geometria Algebrica.

Un aspetto importante di queste idee sta nel fatto che questi numeri (come altri simili) si ottengono da un Calcolo algebrico.

Vorrei provare a spiegare in modo un po misterioso questo calcolo prima con un esempio e poi nel caso di Chasles.

Supponiamo che impongo ad un punto la condizione che la somma delle distanza da due punti dati (i fuochi) sia una certa costante, questa condizione descrive una ellisse che varia al variare dei fuochi e della costante in un caso limite questa ellisse si può ridurre alla retta per i due punti ma in realtà l’equazione che la descrive è il quadrato della equazione di tale retta pertanto si dice che al limite la condizione data descrive due volte la retta.

Nel caso delle coniche, che sono uno spazi a 5 dimensioni la condizione di passare per un punto descrive una ipersuperficie cosí come quella di essere tangenti ad una retta.

Allora Chasles ragionava cosí. Siano μ, ν le condizioni per una conica di passare per un punto o essere tangente ad una retta, allora la condizione di essere tangenti ad una conica è 2μ + 2ν, questo vuol dire che degenerando la condizione al limite si ha una equazione che definisce le due ipersuperfici (passare per un punto o essere tangente ad una retta) ciascuna con molteplicità 2.

Quando imponiamo quella di essere tangenti a 5 coniche è come imporre 5 volte 2μ+2ν ovvero intersecare 5 di tali ipersuperfici, il conto del numero di intersezioni si fa allora semplicemente cosí:

(2μ + 2ν)^{5} = 32(μ^{5} + 5μ^{4}ν + 10μ^{3}ν^{2} + 10ν^{3}μ^{2} + 5ν^{4}μ + ν^{5})

Semplici considerazioni geometrich e mostrano che ad esempio μ^{5} = 1 il numero delle coniche che passano per 5 punti mentre il numero delle coniche tangenti a 3 rette e che passano per 2 punti è ν^{3}μ^{2} = 4 in definitiva:

μ^{5} = ν^{5} = 1, μ^{4}ν = ν^{4}μ = 2, μ^{3}ν^{2} = ν^{3}μ^{2} = 4,
(2μ + 2ν)^{5} = 64(1 + 5 × 2 + 10 × 4) = 3264

Se uno guarda nel libro di Schubert si ha una messe di risultati di questo tipo anche molto più complicati.

Le dimostrazioni erano molto sintetiche e ponevano grossi problemi di Fondamenti, questi sono riassunti

nel 15^{mo} Problema di Hilbert.

Nel congresso internazionale di Parigi del 1900 Hilbert formulò 23 problemi che riteneva una possibile guida per questo secolo!

Il 15^{mo} Problema di Hilbert chiede di stabilire i fondamenti del calcolo algebrico dell’800 che porta ai risultati enumerativi predetti.

Le teorie riconducibili a questa problematica vanno sotto il nome di Teoria della Intersezione.

Abbiamo già visto che una delle grandi idee geometriche è nella utilizzazione delle coordinate complesse, da questo punto di vista le soluzioni di una equazione f(x, y) = 0 sono in modo naturale i punti di una superficie di Riemann (in effetti è necessario omogeneizzare e passare al piano proiettivo, inoltre c’è un problema di possibili singolarità da analizzare) questo oggetto matematico e geometrico si deve visualizzare come:

Una ciambella con g buchi!! ovvero una sfera con g manici.

Il numero g detto genere è legato al grado d della equazione (e anche alle singolarità) tramite la formula di Plücker:

g = \frac{(d − 1)(d − 2)}{2} − δ − κ

(questo è un caso speciale in cui δ, κ contano certe singolarità speciali).

L’aspetto notevole di qusta discussione è che il genere in effetti è un invariante della forma topologica cioè non cambia se modifichiamo la superficie allungandola o stringendola in varie direzioni!!!

Tecnicamente questo vuol dire che due superfici omeomorfe (in corrispondenza biunnivca bicontinua) hanno lo stesso genere

Un TEOREMA importante della TOPOLOGIA è che vale l’inverso di questo enunciato:

OGNI SUPERFICIE ORIENTABILE E CHIUSA È UNA SFERA A g MANICI PER UN BEN DETER-MINATO INTERO g, IL GENERE DELLA SUPERFICIE.

La Teoria dell’intersezione si può sviluppare su una superficie di genere g ed è molto semplice illustriamola per g = 1 (la ciambella o toro),

g = 3: il pretzel

Possiamo tracciare due tipi di curve x, y sul toro, ogni curva è equivalente dal punto di vista del calcolo numerativo ad una del tipo ax + by con a, b numeri interi l’intersezione fra due tali curve si calcola semplicemente:

\begin{matrix}xx = 0, yy = 0, xy = 1, yx = −1 \\ (ax + by)(cx + dy) = ad − bc \end{matrix}

sul pretzel (g = 3) abbiamo le tre curve arancioni x_{1}, x_{2}, x_{3} e le tre curve blu y_{1}, y_{2}, y_{3} con

x_{i}x_{j} = y_{i}y_{j} = 0, x_{i}y_{j} = 0, se i ≠ j, x_{i}y_{i} = 1.

In effetti la equivalenza fra curve su una superficie, come più in generale, fra varietà immerse in spazi che è legata alla geometria numerativa è essenzialmente un’aspetto di quella teoria matematica (parte della topologia algebrica) detta omologia. Senza entrare nei dettagli per l’esempio delle curve in uno spazio X la idea è che due curve sono omologhe quando vi è una superficie il cui bordo consiste di quelle due curve. Se si imposta bene questa nozione si riesce a sommare le classi di equivalenza di curve producendo il primo gruppo di omologia di X indicato con H_{1}(X) per i gruppi superiori H_{2}(X), H_{3}(X), … si devono usare superfici o varietà a 3 dimensioni dentro lo spazio X a meno della simile equivalenza (ma c’è qualche problema tecnico bisogna usare varietà con opportune singolarità per ottenere una teoria calcolabile).

4. Teorie Geometriche:

Varie idee analitiche e geometriche si sviluppano in questo secolo, in parte riconducibili alla geometria numerativa.

Per proseguire si deve andare oltre le superfici e legare queste idee a quella di

VARIETÀ

cioè uno spazio che ha una forma particolare, come la superficie della terra possono essere descritti da un atlante di carte (leggi aperti omeomorfi allo spazio ℝ^{n}) in genere la deimensione n delle carte può essere anche maggiore di 2.

Ho mostrato le superfici solo perché è facile disegnarle o esibirle fisicamente dentro lo spazio a 3 dimensioni ma il punto essenziale è capire che, come ci sono tante superfici diverse per la forma topologica cosí ci sono tanti spazi di dimensioni 3,4, ecc. diversi ed anzi la complessità delle possibili forme cresce con la dimensione!!

Si possono visualizzare esempi solo in modo indiretto.

Per esercizio il lettore può tentare di convincersi che le rette dello spazio (euclideo o anche cambiando un po proiettivo) dipendono da 4 parametri, sono un esempio di varietà a 4 dimensioni.

Uno dei più difficili problemi non risolti della topologia è la

CONGETTURA DI POINCARÉ

LA SOLA VARIETÀ ORIENTABILE E CHIUSA SENZA MANICI A 3 DIMENSIONI È LA SFERA.

La espressione intuitiva senza manici si riferisce alla proprietà topologica di essere semplicemente connessa che è una condizione più forte del fatto che il primo gruppo di omologia è 0.

5. La Coomologia di De Rham

Insieme alla nozione di varietà c’è la idea di campo come ad esempio un campo di forze (elettriche, gravitazionali, magnetiche) qui l’idea fondamentale è che vi sono dei campi particolari detti irrotazionali dai fisici e forme chiuse dai matematici corrispondono fisicamente alla assenza di cariche generanti il campo.

Questi campi si possono caratterizzare dal fatto che, se una curva chiusa borda un pezzo di superficie la quantità di campo che fluisce attraverso tale curva è 0 ma se la curva si avvolge e non borda alcuna superficie la quantità di campo che fluisce attraverso tale curva può essere non 0.

Viceversa una curva C genera un campo irrotazionale il cui flusso attraverso una qualunque curva D è in numero di intersezione fra le due curve C.D.

Per spiegare i campi dal punto di vista dei Matematici è necessario complicare le cose perchè ci sono campi che fluiscono attraverso curve altri attraverso superfici e cosí per ogni dimensione, il calcolo relativo è il calcolo tensoriale in particolare il calcolo esterno sulle varietà. Purtroppo c’è molta confusione (anche adesso) su queste idee alimentata in parte dal seguente fenomeno, nello spazio a 3 dimensioni (coordinate x, y, z) ci sono 4 tipi di forme.

0-forme. Sono le funzioni f(x, y, z).

1-forme a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz

2-formw A(x, y, z)dy ∧ dz − B(x, y, z)dx ∧ dz + C(x, y, z)dx ∧ dy

3-forme F (x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz

I simboli dx possono essere giustificati in maniera algebrica associando ad ogni funzione f un simbolo df e operando secondo regole algebriche formali come

df(x, y, z) = \frac{∂f}{∂x} dx + \frac{∂f}{∂y} dy + \frac{∂f}{∂z} dz, d(fg) = (df)g + fdg, d(f + g) = df + dg

Il simbolo ∧ è di nuovo un simbolo algebrico di moltiplicazione soggetto a regole di ditstributività, associatività ed infine di anticommutatività

df ∧ dg = −dg ∧ df.

A volte si parla di variabili Grassmanniane per tale calcolo.

Il simbolo d si traduce in un vero operatore su tutte le forme usando le ulteriori regole di Leibnitz del calcolo differenziale

ddψ = 0, d(ψ ∧ ϕ) = dψ ∧ ϕ + (−1)^{hk}ψ ∧ dϕ

dove h, k sono i gradi delle due forme.

Il risultato fondamentale del calcolo differenziale è l’analogo della esistenza del potenziale per i campi conservativi della Fisica ovvero se una k forma ϕ su ℝ^{n} è chiusa ovvero dϕ = 0 allora è esatta ossia esiste una k − 1-forma (come un potenziale) ψ con

ϕ = dψ

Infine per le forme vale una ovvia legge di sostituzione delle variabili come nell’usuale calcolo dei differenziali che permette di integrare una k−forma su una k−varietà (generalizzando la circuitazione, il flusso etc.) come si integra ovviamente una 3 forma nello spazio

∫ F (x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz := ∫ F (x, y, z)dxdydz

il teorema di Fubini sul cambiamneto di variabili negli integrali multipli assicura che la definizione è intrinseca.

Il risultato fondamentale del calcolo integrale è il Teorema di Stokes che poi non è altro che la forma generale del teorema fondamentale del calcolo infinitesimale

∫_{a}^{b} df := ∫_{a}^{b} \frac{df}{dt} dt = f(b) − f(a).

Il modo più compatto per un matematico di dirlo è questo. Invece del segmento [a, b] con bordo {a, b} si prende una varietà orientata M di dimensione n con bordo ∂M. Invece di df con f una funzione si prende dψ con ψ una n − 1 forma e allora si ha:

∫_{M} dψ = ∫_{∂M} ψ.

Il Lemma di Poicaré ed il teorema di Stokes spiegano perfettamente perché la condizione di irrotazionalità dψ = 0 (forma chiusa) per una k−forma è equivalente al fatto che ∫_{∂M} ψ = 0 per ogni k + 1 varietà con bordo, immersa nello spazio ambiente.

Dato che le 0 e 3 forme sono descritte in coordinate da una sola funzione mentre le 1 e 2 forme da 3 spesso nella letteratura fisica non si fa distinsione fra 0 e 3 forme o fra 1 e 2 forme. Questo ha parecchi demeriti, prima di tutto non si capisce la natura intrinseca di queste nozioni (ovvero come cambiano le funzioni che le descrivono cambiando le coordinate) come secondo problema il calcolo algebrico ed integro differenziale di queste forme che in matematica è trasparente si complica e non si riesce a riassumere in un unico Teorema di Stokes o formula di Leibnitz, ovvero in fisica perché di certi campi è imporatante la circuitazione mentre per altri il flusso, infine non si capisce perché la identificazione ad esempio fra 1 forme e 2 forme ha senso ed è covariante per l’opportuno gruppo di simmetria se sullo spazio è definita una metrica Riemanniana (o nel caso relativistico pseudo riemanniana) e quindi che c’entra con principi di minimo per l’energia di un campo.

Infatti spesso in presenza di metrica le condizioni di irrotazionalità in matematica si complementano con un’altra condizione di armonicità ed insieme queste condizioni hanno un significato geometrico mentre in fisica queste idee sono usualmente legate al principio di minima azione che è il principio base per la costruzione delle equazioni della fisica ed a principii di conservazione delle cariche.

Non è un caso ma è parte della teoria della relatività il fatto che le equazioni dell’elettromagnetismo sono equazioni di una 2−forma nello spazio a 4 dimensioni (introducendo la variabile tempo t, le componenti relative a dy ∧ dz, dx ∧ dz, dx ∧ dy rappresentano il campo elettrico mentre quelle relative a dx ∧ dt, dy ∧ dt, dz ∧ dt il campo magnetico.

Tornando ai Teoremi di Poicaré e Stokes la Teoria di De Rham li completa interpretando in modo quantitativo il fatto che, una k−forma chiusa ϕ può avere integrale non nullo su una k−varietà chiusa che non è il bordo di nessuna varietà di dimensione k + 1.

Invece lo studio della armonicità fornisce la Teoria di Hodge.

Il prodotto finale (risolve in parte il 15^{mo} problema di Hilbert) è la costruzione di una specie di sistema di numeri tecnicamente l’algebra di coomologia associata ad una varietà che interpreta allo stesso tempo il calcolo sui campi e le leggi di intersezione delle curve, superfici etc..

Vorrei spiegare rapidamente quale è il prodotto della Teoria di De Rham e di quella di Hodge.

Ho già accennato che usando classi di equivalenza di varietà con opportune singolarità si costruiscono dei gruppi, detti di omologia, se in modo formale moltiplichiamo queste classi con coefficienti numeri reali si può più comodamnet introdurre spazi vettoriali H_{k}(X, ℝ) di omologia che, nel caso in cui X è una varietà compatta risultano di dimensione finita.

D’altra parte, lavorandoi con le forme si può considerare l’insieme Z(X) delle forme chiuse che, dalle regole algebriche risulta un algebra (spazio vettoriale chiuso rispetto al prodotto ∧.)

Le forme estte B(X) si vede subito formano un ideale di Z(X) ossia un sottospazio di Z(X) che ha delle semplici proprietà algebriche per cui lo spazio quoziente Z(X)/B(X) (in cui gli elementi di grado k sono k−forme chiuse in cui si considerano equivalenti due forme la cui differenza ’è esatta) è di nuovo una algebra (graduata) che è la algebra di coomologia di De Rham.

H^{k}(X) denota la parte di grado k.

Dal Teorema di Stokes segue facilmente che ha senso integrare un elemento di H^{k}(X) su un ciclo H_{k}(X, ℝ) e finalmente il Teorema di De Rham afferma che in questo modo si ottiene una identificazione fra H^{k}(X) ed il duale H_{k}^{∗}(X, ℝ) dello spazio di omologia H_{k}(X, ℝ).

In particolare se X è una varietà compatta connessa di dimensione n si vede facilmente che H^{n}(X) si identifica a ℝ.

Il legame con la Teoria dell’intersezione e con il calcolo che ho accennato a proposito del Teorema di Chasles sta nel fatto che possiamo interpretare (usando questa dualità) una condizione o meglio la varietà che essa determina come un elemento di H^{∗}(X) e il numero di intersezione di varie condizioni si ottiene moltiplicando le classi corrispondenti in H^{∗}(X) fino ad ottenere un elemento di H^{n}(X) = ℝ che per ragioni geometriche non è solo un numero reale ma anzi è un intero.

Digressione per chi conosce abbastanza Geometria La discussione del Teorema di Bezout e poi

di Chasles si fa nel modo seguente. Per il Teorema di Bezout si calcola la coomologia dello spazio ℙ^{m} (per un m dato) che risulta uguale all’anello dei polinomi ℤ[x]/(x^{m+1}) troncato. La classe x è quella duale ad un iperpiano e la classe duale ad una varietà di dimensione m − k risulta del tipo ax^{k} dove a ∈ ℕ è il grado della varietà, la coomologia m−esima si identifica a ℤ mandando x^{m} in 1 ed il Teorema segue facilmente.

Per il Teorema di Chasles si considerano le coniche come insiemi di punti, che formano uno spazio proiettivo ℙ^{5}, quelle duali un’altro spazio proiettivo \overline{ℙ}^{5} le coniche non degeneri inducono un insieme di coppie di coniche duali Γ ⊂ ℙ^{5} × \overline{ℙ}^{5}. La chiusura \overline{Γ} ⊂ ℙ^{5} × \overline{ℙ}^{5} di Γ si chiama varietà delle coniche complete e le classi di coomologia μ, ν si ottengono semplicemente dalle classi x della coomologia dei due fattori ℙ^{5}, \overline{ℙ}^{5}.

La formula 2μ + 2ν pr la condizione di tangenza ad una conica si dimostra geometricamente e si chiama una formula di contatto, il calcolo si svolge nella coomologia di \overline{Γ}.

La Teoria di Hodge qui non è essenziale ma basti dire che se vi è una metrica su una varietà orientata X (ovvero un modo di misurare le lunghezze) questa determina una norma (o un prodotto scalare) per le k−forme ed un modo di misurare i volumi (una n−forma dμ, da cui una integrazione delle funzioni sulla varietà (in genere la sola cosa ben definita è la integrazione delle n−forme) da cui ancora una dualità: ogni k−forma ψ da luogo ad una n − kforma ψ^{∗} per cui

∫_{M} ϕ ∧ ψ^{∗} = ∫_{M}(ϕ, ψ)dμ

Questa dualità permette di definire un aggiunto δ dell’operatore d ed un operatore di Laplace Beltrami

Δ := dδ + δd

da cui la nozione di forma armonia

Δψ = 0

ed infine il Teorema di Hodge:

In una varietà compatta orientata ogni classe di coomologia è rappresentata da una unica forma armonica.

6. La Teoria di Morse Un campo scalare ossia una funzione f (a valori reali) su una varietà M (che prenderemo per semplicità senza bordo) è come l’altitudine sulla terra.

Definisce picchi, valli, valichi ecc. passando da una superficie di livello ad un’altra si producono discontinuità attraverso i punti critici, questo si vede perfettamente in una carta geografica in cui le curve di livello sono usualmente curve regolari chiuse ma, quando si passa per un punto di sella (leggi valico) due curve si uniscono formando una specie di 8 mentre per un picco o un fondo valle la curva di livello degenera ad un punto isolato.

In generale si ha una teoria simile purché i punti critici di f siano isolati (grosso modo non ci siano pezzi di pianura) e non degeneri che è più semplice spiegare analiticamente perchè vuol dire che la funzione f nel punto dato ha una serie di Taylor in cui i termini del primo ordine sono 0 (punto critico) mentre quelli del secondo ordine danno una forma quadratica (la forma o matrice Hessiana) non degenere.

Il primo puto della Teoria di Morse consiste nell’osservare che, per ogni numero a che non sia un valore critico di f ossia non sia il valore di f in un punto critico, l’insieme M_{a} := {p ∈ M|f(p) ≤ a} (i punti di altezza al massimo a. Formano una varietà il cui bordo è la superficie di livello di a e la forma di tale varietà non cambia al variare di a se non quando a passa attraverso valori critici allora effettivamente la forma cambia per attaccamento di un manico che poi si comporta come un possibile nuovo ciclo di integrazione!.

La dimensione dei cicli è legata alla segnatura della matrice Hessiana. Vi è un legame fra questa teoria e lo studio degli integrali di tipo oscillante (che appaiono usualmente nelle approssimazioni semiclassiche della meccanica quantistica)

∫ e^{\frac{−if(x)}{h}} dx

che si calcolano per h ≅ 0 molto piccolo con il metodo della fase stazionaria che concentra asintoticamente l’integrale sui punti critici.

I punti critici hanno anche una notevole importanza nella analisi dei sistemi dinamici di tipo Hamiltoniano in cui f = H è la funzione di Hamilton (e M non è una semplice varietà ma ha una struttura simplettica che riflette il formalismo della meccanica analitica). In questo caso i punti critici sono i punti stazionari del sistema dinamico e la approssimazione quadreatica ci descrive il comportamento del sistema (con traiettorie repulsive o attrattive) vicino al punto stazionario.

Come vedremo in seguito una certa generalizzazione di queste idee a opportuni spazi di dimensione infinita è alla base di una parte della Teoria delle Stringhe.

7. Integrali funzionali e Stringhe

La teoria delle stringhe ha come oggetto lo sviluppo di un modello di teoria quantistica basato su una opportuna visione delle particelle come corde vibranti.

Secondo l’approccio di Feynmann alla quantizzazione si tratta di quantizzare un modello classico di corda vibrante nello spazio tramite un integrale funzionale.

Per ragioni di consistenza della teoria non si può partire da un modello a 4 dimensioni ma, nel caso bosonico a 26 e per la superstringa, a 10 dimensioni.

Il modello cinematico della corda è dato dall’idea che una corda in movimento spazza una superficie e quindi è descrivibile tramite una funzione

F : Σ → ℝ^{10}

dove Σ è una superficie, il cosidetto world sheet.

Già a questo livello minimo interviene un primo elemento di geometria e cioè la forma topologica di Σ (ossia il genere g nel caso compatto o delle stringhe chiuse).

Qualunque sia l’integrale funzionale si dovrà esprimere come una serie perturbativa su tutte le forme topologiche. Questo già assomiglia alla teoria dei diagrammi di Feynman per il calcolo di integrali funzionali in modo perturbativo.

Il punto di partenza è la scelta di una opportuna azione S.

L’azione è un funzionale dipendente dalla funzione F e da una metrica interna h_{α,β} alla superficie Σ. Una scelta possibile è una variante della azione di Nambu. In coordinate σ, τ su Σ

S := −\frac{T}{2} ∫_{Σ} d^{2}σ\sqrt{h}h^{α,β}η_{μ,ν}∂_{α}X^{μ}∂_{α}X^{ν}

Dove η_{μ,ν} sono i coefficienti della metrica dello spazio ambiente.

Vi è un gruppo di simmetrie di dimensione infinita di questa azione, che quindi è un gruppo di gauge per la teoria.

Questa simmetria fa apparire un elemento importante ovvero i moduli delle superfici .

La discussione si fà in questo modo:

Fissiamo una superficie (orientata) Σ come puro dato topologico (differenziale) sia M l’insieme di tutte le possibili metriche su Σ.

Su M facciamo operare due gruppi. Il gruppo dei diffeomorfismi (più o meno è come dire riparametrizzazioni) e il gruppo delle dilatazioni o cambiamenti di scala e^{f}, f : M → ℝ quello che resta invariante è il modo di misurare gli angoli ossia il modulo della struttura conforme.

L’aspetto notevole di questa costruzione è che l’insieme dei moduli è una notevole varietà algebrica

M_{g}

di dimensione 3g − 3 nel caso Σ compatta di genere g > 1.

Questi due gruppi insieme lasciano invariata la azione data. Quindi una delle idee è quella di ridursi tramite qualche meccanismo ad una integrazione non su tutte le metriche ma solo sullo spazio dei moduli, questa strategia si può portare a termine ma comporta ad un certo punto di fare la scelta di dimensione già detta per evitare anomalie.

I effetti per introdurre particelle nella teoria si deve passare a considerare superfici con m puntature al variere di m ed i relativi spazi di moduli. Una volta trasformati gli integrali funzionali in veri integrali sullo spazio dei moduli si scopre una ricca geometria che lega la cosidetta gravità pura con la Teoria della intersezione sullo spazio dei moduli e quindi con alcuni sottili calcoli di coomologia (Witten, Kontsevich) su tale spazio (con le puntature).

Si noti che, nonostante gli spettacolari risultati di Kontsevich, a tuttt’oggi, una teoria completa della coomologia di M_{g} è largamente ignota!

8. Mirror symmetry

La superstringa appare naturalmente in 10 dimensioni, una idea per darle senso a 4 dimensioni è che 6 delle dimensioni siano piccole dimensioni periodiche.

Una serie di considerazioni teoriche portano a scegliere che i 6 parametri compattificati devono descrivere una opportuna varietà detta di Calabi Yau (tecnicamente si tratta di una varietà Kähleriana con prima classe di Chern nulla, la congettura di Calabi provata da Yau afferma l’esistenza di una unica metrica con tensore di Ricci nullo per tale varietà).

Questo è un punto delicato legato al fatto che la teoria delle stringhe è un tentativo di costruire una teoria di gravità quantistica e la condizione di Calabi Yau è legata alle equazioni di Einstein della relatività generale.

Pertanto l’integrale funzionale si separa in una parte integrata sulle 6 dimensioni compattificate e questa parte è responsabile per la Mirror symmetry .

Si tratta di uno strano fenomeno non bene compreso che ha una motivazione euristica nella teoria delle stringhe.

E’ legata al cosidetto diamante di Hodge per le Calabi Yau e propone una simmetria fra moduli delle varietà e moduli delle metriche sulla varietà.

Uno dei punti consiste nella idea che l’integrale funzionale ha una approssimazione semiclassica che si ottiene sommando su tutte le soluzioni classiche delle stringhe nella data varietà M di Calabi Yau.

Ne viene la necessità di calcolare dei numeri (invarianti di Gromov-Witten) che sono proprio dei veri numeri di intersezione come nella Teoria da cui abbiamo iniziato.

Gli invarianti di Gromov-Witten, che contano quante superfici puntate incontrano delle varietà prescritte (che descrivono la coomologia) in M.

Anche in questo caso gli invarianti di Gromov-Witten sono integrali di classi di coomologia su uno spazio di moduli, un po piú complicato di M_{g} in quanto parametrizza non solo le struttura complesse su Σ ma anche le mappe F : Σ → M (e le puntature). La teoria è molto congetturale e solo per genere 0 vi è qualche risultato (anche molto profondo).

Il calcolo di questi invarianti si organizza in una idea molto profonda che è quella di coomologia quantica e si collega tramite la congettura mirror ad altri fenomeni complessi (variazione della struttura di Hodge).

Referenze bibliografiche

Apollonio di Pergamo, ”http://aleph0.clarku.edu/ djoyce/mathhist/apollonius.html” G. Bini, C. De Concini, M. Polito, C. Procesi On the work of Givental relative to Mirror Symmetry,

Appunti Scuola Normale Superiore (1998)

Biografia di Cartesio, ”http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Descartes.html”, ”http://www.descarte.demon.co.uk/” NAME=”Descartes home page”

Biografia di M. Chasles, ”http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history//References/Chasles.html” P. Candelas, X. C. de la Ossa, P. S. Green, and L. Parkes, A pair of Calabi Yau manifolds as an exact

soluble superconformal theory, Nuc. Phys. B 359 (1991), 21-74.

M. Cornalba: ”Cohomology of moduli spaces of stable curves” Proceedings of the International Congress of Mathematicians Berlin 1998, Documenta Mathematica , Providence RI, 249-259.

W. Fulton, R. Pandharipande, Notes on the stable maps and Quantum Cohomology, alg-geom 9608011 (1996).

E. Getzler ”TheVirasoro conjecture for Gromov Witten invariants ag 9812026 1998 A. B. Givental, Equivariant Gromov-Witten Invariants, IMRN No.13 (1996), 613-663. A. B. Givental, Homological geometry I: Projective hypersurfaces, Selecta Math I (1995), 325-345. A. B. Givental, Homological geometry and mirror symmetry, in Proceedings of the International Congress

of Mathematicians, 1994, Zürich, Birkhäuser, Basel, (1995), 472-480.

”Hilbert Problems”, ”http://www.astro.virginia.edu/ eww6n/math/HilbertsProblems.html” M. Kontsevich: ”Homological algebra and mirror symmetry ” Proceedings of the International Congress

of Mathematicians, Zurich 1994 Birkhauser Basel 1995 120-139.

M. Kontsevich ”Intersection theory on moduli spaces of curves and the nmatrix Airy function” Comm. Math. Phy. 147 1992

M. Kontsevich ”Deformation Quantization of Poisson Manifolds I” q-alg/9709040 1997 B. H. Lian, K. Liu, S-H Yau, Mirror Principle I, alg-geom 9712011 (1997). Polyakov ” Quantum gravity of bosonic strings” PH. L. B 103 1981 Polyakov ” Quantum gravity of fermionic strings” PH. L. B 103 1981 Ulhenbeck-Freed ”Geometry and Quantum Field Theory” AMS ed. E. Witten ” Physics and Geometry” Proceedings of the International Congress of Mathematicians Berkeley

1986, AMS, Providence RI, 267-303

E. Witten ”Two-dimensional Gravity and Intersection Theory on Moduli space Surveys in Differential Geometry 1 (1991) 243-310