Programmi scolastici di matematica attuali

Scuole superiori:

Indicazioni Nazionali 2010:

Licei – link al sito dell’Indire

Istituti Tecnici biennio – link al sito dell’Indire

Istituti Tecnici secondo biennio e quinto anno (direttiva 16 gennaio 2012, n. 4) – link al sito di edscuola

Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell'infanzia e del primo ciclo di istruzione (D.M. n. 254 del 16 novembre 2012; Gazzetta ufficiale n. 30 del 5 febbraio 2013): http://hubmiur.pubblica.istruzione.it/web/istruzione/prot7734_12

Proposte per la nuova prova scritta di Matematica a conclusione del Liceo Scientifico, febbraio 2015

Raccolta di tutti i temi assegnati all'esame di maturità (prima) e all'esame di Stato (poi):

http://www.batmath.it/esame/esame.htm

Scuola d’infanzia e primo ciclo:

Nella Gazzetta ufficiale n. 30 del 5 febbraio 2013 sono state pubblicate le nuove Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell'infanzia e del primo ciclo di istruzione (D.M. n. 254 del 16 novembre 2012).

http://hubmiur.pubblica.istruzione.it/web/istruzione/prot7734_12

Storia dei programmi scolastici di matematica

per le scuole ad indirizzo scientifico

Istituto tecnico – d. Luogot. 24-11-1860 (Casati)

Link al sito Matematicainsieme

Ordinamento Istituti tecnici – circolare 17-10-1871 (Castagnola)

Link al sito Matematicainsieme

Istituto tecnico – r.d. 5-11-1876 (Majorana) – sezione fisico-matematica

Link al sito Matematicainsieme

Istruzioni e programmi d’insegnamento per gli istituti tecnici approvati con regio decreto 21 giugno 1885 n. 3454 (Coppino)

Link al sito della Associazione Subalpina Mathesis

Istituto tecnico – r. d. 2-10-1891 (Villari) - sezione fisico-matematica

I programmi della Commissione Reale per l’Ordinamento degli studi secondari

Link al sito della Associazione Subalpina Mathesis

Ginnasio-Liceo - r.d 28-9-1911 (Credaro)

Ginnasio-Liceo moderno - r.d. 28-09-1913 (Credaro)

Estratto dal R.D. del 28 settembre 1913, n.1213, Ginnasio – Liceo Moderno. Orario – Istruzioni –

Programmi, Bollettino Ufficiale del Ministero dell’Istruzione Pubblica, XL, 45, 30 ottobre 1913,

pp. 2791-2795.

Link al sito della Associazione Subalpina Mathesis

I programmi dell’Ispettorato centrale della Istruzione media – 1918 – sezione fisico-matematica

R. D. del 14 ottobre 1923, n. 2345 (Gentile)

Approvazione degli orari e dei programmi per le Regie Scuole medie.

Link al sito della Associazione Subalpina Mathesis

Liceo Scientifico - r.d. n. 2473 del 1925 (Fedele)

Liceo Scientifico - r.d. n. 892 del 29 giugno 1933 (Ercole)

Liceo Scientifico - r. d. 7. 5. 1936, n. 762 (de Vecchi)

Liceo Scientifico – r.d. 10.6.1937 (Bottai) – Argomenti per l’esame di Stato, Liceo Scientifico.

Istruzioni e piani di studio “1944” - Programmi di Matematica per il Liceo Scientifico

Programmi sperimentali P.N.I – c.m. 6.2.1991

Link al sito edscuola, programmi P.N.I. triennio – c.m. 27.9.96

I programmi

Istituto tecnico – r. d. 2-10-1891 (Villari) sezione fisico-matematica

Questi programmi non differiscono, nella sostanza, da quelli approvati con il regio decreto del 21 giugno 1885.

Le giuste osservazioni dei presidi e dei professori, nella prova fatta durante i sei anni passati, convinsero il Ministero della necessità di meglio coordinare i programmi di alcune materie; di modificare o di restringere l’insegnamento di altre.

Non sono, dunque, radicali innovazioni, ma semplici mutamenti che non richiedono aggiunte alle istruzioni didattiche, le quali precedono i vecchi programmi.

I presidi e gl’insegnanti troveranno nei programmi nuovi l’applicazione dei desideri da essi manifestati: saprà la intelligente operosità loro interpretarli e svolgerli come oggi richiede il fine della istruzione tecnica nel nostro paese.

Programma di Matematica

Per tutte le sezioni

I classe (6 ore settimanali)

Aritmetica e Algebra

1. Teorica delle quattro operazioni sui numeri interi.

2. Teoremi fondamentali sulla divisibilità dei numeri interi: sui numeri primi – Massimo comun divisore e minimo multiplo comune di due o più numeri.

3. Teorica delle frazioni ordinarie – riduzione delle frazioni ordinarie in decimali.

4. Generalità sul calcolo letterale e sulle formule algebriche.

5. Numeri negativi – Addizione e sottrazione algebriche – Moltiplicazione e divisione algebriche – Quadrato d’un polinomio – Cubo d’un binomio e d’un trinomio.

6. Frazioni algebriche – Esponente nullo; esponenti negativi.

7. Equazioni di 1° grado ad una incognita – Sistemi d’equazioni di 1° grado in cui il numero di incognite eguaglia quello delle equazioni – Problemi di 1° grado – Interpretazione delle soluzioni negative.

Geometria

1. Nozioni preliminari – Segmenti; Angoli; Rette perpendicolari, oblique – Casi semplici di uguaglianza dei triangoli, dei poligoni – Rette parallele – Proposizioni relative ai parallelogrammi.

2. Circonferenza – rette seganti e tangenti – Intersezione e contatto delle circonferenze – Angoli inscritti nella circonferenza – Triangolo e quadrilatero inscritti o circoscritti nella circonferenza – Poligoni regolari.

3. Teoremi intorno ai rettangoli e ai quadrati delle rette divise in parti – Parallelogrammi e triangoli equivalenti – Teorema di Pitagora

4. Teoria delle proporzioni fra grandezze – Teorema di Talete e conseguenze – Nozioni sulla divisione armonica delle rette – Triangoli e poligoni simili – Trasversali nella circonferenza.

II classe (5 ore settimanali)

Aritmetica e Algebra

1. Costanti e variabili; prenozioni sui limiti.

2. Numeri decimali periodici e loro frazioni generatrici.

3. Nozioni sui numeri irrazionali e sulle operazioni ad essi relative.

4. Regola per l’estrazione della radice quadrata dai numeri interi e frazionari.

5. Calcolo dei radicali – Esponenti frazionari.

6. Equazione generale di 2° grado ad una incognita – Discussione delle soluzioni – Relazione tra i coefficienti e le radici della equazione – esempi di equazioni riducibili al 1° e al 2° grado.

7. Rapporto di due grandezze – Teoria delle proporzioni fra numeri.

8. Progressioni per differenza e per quoziente.

9. Formule dell’interesse semplice e composto – Sconto – Annualità – Ammortamento.

10. Logaritmi – uso delle tavole – Applicazioni

Geometria

1. Area del rettangolo, del parallelogramma, del trapezio, di un poligono regolare – Rapporto dei perimetri e delle superficie di due poligoni simili.

2. Il rapporto costante della circonferenza al suo diametro – Cenno intorno a qualche metodo per determinarlo – Rapporto costante della superficie di un circolo al quadrato del raggio – Misura della circonferenza e della superficie d’un circolo – Formole per determinare la lunghezza di un’arco e l’area di un settore circolare.

3. Rette e piani perpendicolari o paralleli – Angoli diedri – Angoli poliedri.

4. Prisma, parallelepipedo, piramide – Poliedro.

5. Volumi del parallelepipedo, del prisma, della piramide, di un tronco di prisma e di piramide, di un poliedro.

6. Piramidi e poliedri simili – Rapporto dei volumi di due poliedri simili.

7. Cilindro e cono rotondi – Aree e volumi del cilindro, del cono, del tronco di cono.

8. Sfera – aree della zona sferica e della sfera – Volume del settore sferico, del segmento sferico, della sfera.

Per la sezione fisico-matematica

III classe (5 ore settimanali)

Algebra

1. Sulle disuguglianza di 1° e 2° grado – Problemi di massimo e minimo.

2. Interpretazione di espressioni che si presentano sotto forma indeterminata.

3. Frazioni continue.

Geometria

1. Figure simmetriche rispetto ad un punto, ad una retta, ad un piano.

2. Figure simili – Figure omotetiche

Elementi di geometria descrittiva

Metodo delle proiezioni ortogonali – Rappresentazione e problemi più ovvi relativi al punto, alla retta e al piano – Cenni sulla rappresentazione dei solidi.

Trigonometria piana

1. Le funzioni trigonometriche – Loro variazioni – Relazioni tra le funzioni trigonometriche di uno stesso arco – Espressioni degli archi aventi una data funzione trigonometrica.

2. Formule trigonometriche per l’addizione e la sottrazione degli archi – formule per la moltiplicazione e la bisezione degli archi – Formule per la trasformazione in prodotti o quozienti di somme o differenze di due funzioni trigonometriche.

3. Determinazione diretta delle funzioni trigonometriche di archi particolari – Disposizione ed uso delle tavole trigonometriche – Uso degli angoli ausiliari nelle calcolazioni trigonometriche – risoluzione di equazioni trigonometriche.

4. Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettilineo – Casi ordinari di risoluzione dei triangoli rettangoli e dei triangoli obliquangoli.

5. Diverse espressioni dell’area di un triangolo – Raggi del circolo circoscritto ad un triangolo e dei circoli tangenti ai lati del medesimo – Quadrilatero inscrittibile nel cerchio.

6. Casi di risoluzione dei triangoli in cui i dati non siano solamente lati ed angoli – Alcune operazioni sul terreno – Problema dei quattro punti.

IV classe (5 ore settimanali)

Algebra

1. Disposizioni, permutazioni, combinazioni.

2. Potenza intera e positiva di un binomio.

3. Analisi indeterminata di 1° grado.

Geometria

1. Sezioni del cono retto circolare e deduzioni delle loro principali proprietà.

2. Triangolo sferico – Casi semplici di eguaglianza dei triangoli sferici.

3. Area del fuso, del triangolo e del poligono sferici – volume dello spicchio, della piramide e del segmento sferici.

4. Teorema di Eulero sui poliedri convessi – Poliedri regolari euclidei.

Trigonometria sferica

1. Relazione fra quattro elementi (lati e angoli) di un triangolo sferico.

2. Relazione fra 5 e 6 elementi del triangolo sferico.

3. Casi semplici di risoluzione dei triangoli sferici.

N:B: Così nella III classe come nella IV si dovranno fare numerosi esercizi e risolvere problemi relativi anche agli argomenti trattati nelle classi precedenti. Non si ometta mai la discussione delle soluzioni dei problemi.

Ginnasio-Liceo - r.d 28-9-1911 (Credaro)

Classe quarta ginnasiale

(Ore 2 settimanali)

Aritmetica razionale. – Le principali proprietà relative alle prime cinque operazioni dei numeri interi. Criteri di divisibilità per 2 o per 5, per 4 o per 25, per 3 o per 9. Massimo comun divisore. Numeri primi tra loro. Minimo comune multiplo.

Geometria. – Rette e piani. Segmenti e angoli. Rette perpendicolari. Triangoli. Loro proprietà e casi di uguaglianza. Poligoni. Rette parallele. Somma degli angoli interni di un triangolo e di un poligono convesso. Parallelogrammi e trapezi.

Classe quinta ginnasiale

(Ore 2 settimanali)

Aritmetica razionale. – Frazioni e loro proprietà. Le principali proprietà relative alle prime cinque operazioni sulle frazioni. Riassunto delle proprietà delle operazioni tra numeri razionali assoluti. Numeri decimali. Trasformazione esatta od approssimata di una frazione ordinaria in un numero decimale. Proporzioni numeriche.

Geometria. – Luoghi geometrici. Circonferenza e sue proprietà. Posizioni relative di una retta e di una circonferenza. Proprietà degli archi, delle corde e degli angoli al centro. Angoli alla circonferenza. Tangenti uscenti da un punto esterno. Posizioni relative di due circonferenze. Circonferenza inscritta o circoscritta ad un triangolo. Problemi grafici elementari relativi ai segmenti, agli angoli ed ai triangoli. Problemi e luoghi geometrici relativi alla circonferenza. Poligoni regolari. Quadrangolo, esagono, triangolo regolari iscritti in una circonferenza.

Classe prima liceale

(Ore 3 settimanali)

Algebra. – Teoria dei numeri razionali col segno ed operazioni relative. Calcolo letterale. Equazioni in genere. Equazioni di primo grado in una incognita. Sistemi di due equazioni di primo grado a due incognite. Brevi cenni sui sistemi di primo grado a tre o più incognite. Problemi di primo grado. Progressioni aritmetiche e geometriche.

Geometria. – Principali teoremi e problemi sull’equivalenza dei poligoni. Proporzioni fra grandezze geometriche e loro più semplici proprietà. Triangoli e poligoni simili ed applicazioni relative. Decagono e pentagono regolari inscritti in una circonferenza.

Rette e piani nello spazio. Proiezioni, angoli e distanza. Triedri e loro casi di uguaglianza. Angoloidi. Prismi ee piramidi. Poliedri in genere. Cenni sui poliedri regolari.

Classe seconda liceale

(Ore 3 settimanali)

Algebra. – Numeri reali e cenni sulle operazioni ad essi relative. Radicali ed operazioni su di essi. Equazioni di secondo grado ad un’incognita. Somma e prodotto delle radici. Equazioni biquadratiche. Sistemi di equazioni di grado superiori al primo nei casi più semplici. Equazioni frazionarie ed irrazionali.

Geometria. – Grandezze commensurabili ed incommensurabili. Teoria della misura e sue applicazioni ai segmenti, agli angoli, ai poligoni ed alla circonferenza. Principali teoremi e problemi sull’equivalenza e la similitudine dei poliedri. Superfici e volumi dei prismi e delle piramidi. Cilindro, cono, e sfera. Aree e volumi relativi. Applicazioni dell’algebra alla geometria.

Classe terza liceale

(Ore 2 settimanali)

Aritmetica. – Teoria dei numeri primi e sue più semplici applicazioni.

Algebra. – Potenze con esponente razionale. Potenze con esponente reale. Equazione esponenziale. Logaritmi. Uso delle tavole.

Trigonometria. – Funzioni circolari e loro principali proprietà. Formule per l’addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione degli archi. Logaritmi delle funzioni circolari. Risoluzione dei triangoli rettilinei ed applicazioni.

Osservazione. – Nell’anno scolastico 1911-1912 non si svilupperanno nella seconda classe liceale i primi due numeri dell’attuale programma di geometria e per la terza liceale si manterrà interamente il vecchio programma di matematica.

Ginnasio-Liceo moderno - r.d. 28-09-1913 (Credaro)

Ginnasio

Lo stesso programma delle due classi corrispondenti del ginnasio classico.

Liceo: Classe I

Lo stesso programma della prima classe del liceo classico.

Classe II

Misura approssimata dei segmenti e degli angoli. Brevi cenni sulle operazioni coi numeri approssimati. Grandezze commensurabili ed incommensurabili. Rapporto di due grandezze. Numeri irrazionali.

Radicali ed operazioni su di essi. Equazioni di 2° grado ad una incognita; somma e prodotto delle radici. Esempi di equazioni riducibili al 1° e 2° grado.

Aree dei più semplici poligoni. Perimetro ed area del cerchio. Principali teoremi sull’equivalenza e la similitudine dei poliedri. Superfici e volumi dei prismi e delle piramidi. Cilindro, cono, e sfera: Aree e volumi di questi solidi.

Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Rappresentazione grafica di un fenomeno che dipenda da una sola variabile. Esempi di diagrammi. Concetto di funzione di una sola variabile. Studio delle funzioni ax+b, ax², a, x mediante la rappresentazione grafica. Interpretazioni fisiche e meccaniche. Cenno sulle coordinate ortogonali nello spazio.

Classe III

Funzioni circolari e loro principali proprietà. Curva dei seni e delle tangenti. Formule per l’addizione, la sottrazione, la duplicazione e la bisezione degli archi.

Concetto di limite. Sue applicazioni geometriche: tangente ad una curva e lunghezza di un arco. Derivata di una funzione. Interpretazioni geometriche e meccaniche.

Derivata di una funzione di 1° e 2° grado e di a; x. Tangente alle curve immagini delle funzioni ax² ed a; x.

Potenze con esponente razionale. Cenno sulle potenze con esponente reale.

Equazione esponenziale. Logaritmi. Uso delle tavole ed applicazioni varie.

Rappresentazione grafica della curva logaritmica. Logaritmi delle funzioni circolari. Risoluzione dei triangoli rettilinei. Applicazioni pratiche della trigonometria.

Valutazione approssimata di un’area piana mediante somme di quadrati. L’area come limite di una somma di rettangoli. Cenno sull’integrale definito ed ovvie applicazioni.

I programmi dell’Ispettorato centrale dell’Istruzione media, sezione fisico-matematica, 1918

Per le indicazioni si veda: I programmi delle scuole medie e la loro revisione / Ministero della pubblica istruzione. - Roma: Tipografia operaia romana cooperativa, 1918.

Programma di Matematica per la sezione fisico-matematica dell’Istituto Tecnico

(anche per le sezioni di ragioneria, di agrimensura)

I classe (6 ore settimanali)

Aritmetica e Algebra

1. Teorica delle quattro operazioni sui numeri interi – cenno sui numeri primi.

2. Teorica delle frazioni.

3. Numeri relativi e operazioni razionali con essi.

4. Espressioni letterali e valori di esse per particolari valori delle lettere – concetto di funzione – calcolo letterale.

5. Generalità sulla teoria elementare delle equazioni – Risoluzione di equazioni di 1° grado ad una incognita – Sistemi determinati di equazioni di 1° grado – Problemi di 1° grado.

Geometria

1. Nozioni preliminari – Retta, piano, segmenti, angoli – Triangoli – Rette parallele – Distanze – Poligoni – Parallelogrammi.

2. Circonferenza – Mutua posizione di rette e circonferenze – Corde – Angoli al centro e angoli inscritti – Poligoni iscrivibili e circoscrivibili – Poligoni regolari di 2ⁿ e 3^.2ⁿ lati.

3. Principali teoremi sulle rette e sui piani nello spazio – Diedri.

4. Nozioni sugli angoloidi – Nozioni sui poliedri e in particolare sul prisma e sulla piramide.

5. Nozioni sul cono, sul cilindro sulla sfera.

II classe (5 ore settimanali)

Sezione fisico-matematica

Aritmetica e Algebra

1. Radice quadrata esatta e a meno di 1/10ⁿ dei numeri razionali.

2. Nozioni sui numeri irrazionali e cenno delle relative operazioni – Calcolo dei radicali; potenze con esponenti frazionari.

3. Regola per l’estrazione della radice quadrata dai numeri interi e frazionari. Rapporti e proporzioni fra numeri reali – Medie – Progressioni aritmetiche e geometriche.

4. Teoria della misura.

5. Equazioni di 2° grado ad una incognita – Segno del trinomio di 2° grado – Semplici sistemi di equazioni di grado superiore al primo – Problemi di 2° grado.

Geometria

1. Poligoni equivalenti

2. Proporzioni tra grandezze – Teorema di Talete e conseguenze – Poligoni simili – Decagono Regolare – Circonferenza rettificata – Superficie del cerchio.

3. Aree dei poligoni piani – Ciclometria.

4. Prisma, parallelepipedo, piramide – Poliedro.

5. Equivalenza di prismi e piramidi.

6. Superficie e solidi dei poliedri, del cilindro, del cono e della sfera – Misure relative.

7. Cilindro e cono rotondi – Aree e volumi del cilindro, del cono, del tronco di cono.

N.B. E’ facoltà dell’insegnante di svolgere la teoria delle proporzioni fra grandezze col concetto di misura o col metodo euclideo.

III classe (5 ore settimanali)

Sezione fisico-matematica

Aritmetica e Algebra

1. Nozioni sui limiti e determinazione di alcuni limiti più notevoli – Setrie geometrica – Numeri decimali periodici.

2. Funzione di una variabile – Rappresentazione grafica delle funzioni più comuni delle matematiche elementari – applicazione alla risoluzione delle equazioni e disequazioni di 1° e 2° grado e di qualche equazione di 3° grado.

3. Estensione del concetto di potenza – Equazione esponenziale – Logaritmi – Rappresentazione della funzione y = log x – disposizione e uso delle tavole logaritmiche, applicazione alla risoluzione di qualche problema di annualità – Regolo calcolatore.

4. Nozione di derivata – Derivate di alcune funzioni – Principali applicazioni del concetto di derivata, avendo riguardo specialmente alla risoluzione di problemi di massimo e minimo e alla determinazione di particolari limiti (forme indeterminate).

Trigonometria

1. Funzioni trigonometriche e loro variazioni – Relazioni fra le funzioni trigonometriche di uno stesso arco – Espressione degli archi aventi una data funzione trigonometrica – Rappresentazione grafica delle funzioni trigonometriche.

2. Formole per l’addizione, la moltiplicazione e la bisezione degli archi – formole per la trasformazione in prodotti o quozienti di somme o differenze di due funzioni trigonometriche.

3. Determinazione diretta delle funzioni trigonometriche di archi particolari – Disposizione ed uso delle tavole trigonometriche – Uso degli angoli ausiliarii nelle calcolazioni trigonometriche – Risoluzione di equazioni trigonometriche.

4. Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettilineo – Casi ordinari di risoluzione dei triangoli rettangoli e dei triangoli obbliquangoli – Diverse espressioni per l’area di un triangolo.

Geometria

1. Luoghi geometrici elementari e loro impiego per la risoluzione dei problemi.

2. Corrispondenza di eguaglianza e di similitudine nel piano e nello spazio (in particolare simmetria e omotetia).

IV classe (5 ore settimanali)

Sezione fisico-matematica

Aritmetica e Algebra

1. Nozioni di analisi combinatoria - Potenza del binomio ed applicazione allo studio di funzioni – Cenno sulle probabilità.

2. Radici di equazioni di 2° grado a coefficienti parametrici – Discussione di problemi di 2° grado algebrici e geometrici – Costruzione di formule.

3. Concetto di integrale definito dedotto dalla nozione di area come limite di somma di rettangoli – Confronto dei due concetti di derivata ed integrale – Integrale di xⁿ per n intero e positivo – Applicazione del concetto d’integrale alla determinazione di aree e volumi.

4. Ricapitolazione, con numerosi e opportuni esercizi, dei principali argomenti del programma di aritmetica e algebra dei quattro corsi.

Geometria

1. Angoloidi – Cenni di geometria della sfera – triangoli e poligoni sferici – Aree dei triangoli e dei poligoni sferici.

2. Relazione fra i due lati e un angolo di un triangolo sferico – Teorema dei seni – Applicazione alla determinazione di elementi dei poliedri regolari.

Ricapitolazione, con numerosi e opportuni esercizi, dei principali argomenti del programma di geometria dei quattro corsi.

Liceo Scientifico. Programma di matematica (r.d. n. 2473 del 1925)

Stesse avvertenze dei programmi del 23 sul significato delle due parti A e B.

A) Calcolo dei radicali; potenze con esponenti frazionari. Equazioni di 2° grado o riconducibili a

quelle di 2° grado. Esempi di sistemi di equazioni di grado superiore al 1° risolubili con equazioni di 1° o 2° grado.

Progressioni aritmetiche e geometriche.

Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Diagrammi. Rappresentazione grafica delle funzioni in una variabile; in particolare di ax + b, ax², a:x. Interpretazioni fisiche e meccaniche.

Equazioni esponenziali e logaritmi, curva logaritmica. Uso delle tavole logaritmiche ed applicazione al calcolo del valore di espressioni numeriche.

Funzioni trigonometriche; curve dei seni e delle tangenti, formule per l’addizione, la sottrazione, la duplicazione e la bisezione degli argomenti; equazioni trigonometriche. Trigonometria rettilinea.

Formole fondamentali di trigonometria sferica e cenni sulla risoluzione dei triangoli sferici.

Calcolo combinatorio e binomio di Newton.

Derivate di x^m (m intero o frazionario), senx, cosx e tgx; esercizi di derivazione. Tangenti alle curve immagini delle funzioni ax², a:x.

Massimi e minimi col metodo delle derivate. Applicazioni dell'algebra alla geometria: problemi di 1° e 2° grado e costruzioni di formule.

B) 1. Proporzioni fra grandezze geometriche. Triangoli simili; figure simili nel piano. Inscrizione della circonferenza del pentagono, del decagono e del pentadecagono regolari.

2. Teoria della misura e numeri reali. Aree dei poligoni. Rettificazione della circonferenza e

quadratura del cerchio.

3. Rette e piani nello spazio; ortogonalità e parallelismo. Minima distanza di due rette sghembe.

Diedri, triedri, angoloidi. Poliedri; poliedri regolari.

La nozione di limite di una successione o di una funzione. Teoremi fondamentali che vi si

riferiscono. Nozioni di derivata e di integrale per le funzioni di una variabile. Derivata di una

somma, di un prodotto e di una funzione di funzione.

4. Poliedri equivalenti, poliedri con volumi eguali. Regole di misura relative ai poliedri.

5. Cilindro, cono e sfera. Aree e volumi relativi.

6. Similitudine nello spazio; casi particolari.

7. Elementi di teoria dei numeri: divisibilità, numeri primi, massimo comune divisore e

minimo comune (tra minimo e multiplo). Congruenze, l'indicatore ϕ(n). Analisi indeterminata di 1° grado.

8. La nozione di limite di una successione o di una funzione; teoremi fondamentali che vi si riferiscono. Derivata di una funzione di una variabile e suo significato geometrico e cinematico; derivata di una somma, di un prodotto e di una funzione di funzione. Nozione d’integrale; significato geometrico.

Liceo Scientifico - r.d. n. 892 del 29 giugno 1933 (Ercole)

A) 1. Misura di una grandezza rispetto ad un’altra: concetto di numero reale; cenno sulle operazioni con numeri reali. Proporzioni fra grandezze. Similitudine tra figure piane, in particolare fra triangoli e poligoni. Costruzione del pentagono, del decagono e del pentadecagono regolari;

2. Aree dei poligoni. Rettificazione della circonferenza e quadratura del cerchio;

3. Rette e piani nello spazio; ortogonalità e parallelismo. Minima distanza di due rette sghembe.

Diedri, triedri, angoloidi. Uguaglianza di figure spaziali. Poliedri, in particolare prismi e piramidi.

4. Equivalenza dei solidi. Volume di un solido e regole per la determinazione di volumi di poliedri notevoli.

5. Cilindro, cono e sfera. Nozioni sui triangoli sferici; eccessi sferico. Aree e volumi relativi.

6. Nozioni di similitudine nello spazio: casi particolari.

7. Divisibilità, numeri primi, massimo comune divisore e minimo comune multiplo.

8. Funzioni. La nozione di limite; teoremi fondamentali che vi si riferiscono. Derivata di una funzione di una variabile e suo significato geometrico e cinematico; derivata di una

somma, di un prodotto e di una funzione di funzione. Nozione d’integrale; significato geometrico.

B) Calcolo dei radicali; potenze con esponenti frazionari. Equazioni di 2° grado o riconducibili a

quelle di 2° grado. Esempi di sistemi di equazioni di grado superiore al 1° risolubili con equazioni di 1° o 2° grado.

Progressioni aritmetiche e geometriche.

Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Diagrammi. Rappresentazione grafica delle funzioni in una variabile; in particolare di ax + b, ax², a:x. Interpretazioni fisiche e meccaniche.

Equazioni esponenziali e logaritmi, curva logaritmica. Uso delle tavole logaritmiche ed applicazione al calcolo del valore di espressioni numeriche.

Funzioni trigonometriche; curve dei seni e delle tangenti, formule per l’addizione, la sottrazione, la duplicazione e la bisezione degli argomenti; equazioni trigonometriche. Trigonometria rettilinea.

Calcolo combinatorio e binomio di Newton.

Derivate di x^m (m intero o frazionario), senx, cosx e tgx; esercizi di derivazione. Tangenti alle curve immagini delle funzioni ax², a:x.

Massimi e minimi col metodo delle derivate. Applicazioni dell'algebra alla geometria: problemi di 1° e 2° grado e costruzioni di formule.

[Analoghe avvertenze dei programmi del ‘23 sul significato delle due parti A e B. Per la parte A si richiedono 6 capi...] devono essere compresi, di obbligo, il 1°, 2°, 3°, 4°, 8°; mentre per la parte B) si richiede una maggiore sicurezza nei calcoli ed una maggiore prontezza nella risoluzione degli esercizi, specie di carattere geometrico.

Liceo Scientifico - r. d. 7. 5. 1936, n. 762 (De Vecchi).

Dalle avvertenze generali:

1. In ogni ordine di scuola e per qualunque disciplina gli insegnanti mirino sempre al conseguimento della necessaria unità d’insegnamento. Non debbono esistere a scuola “compartimenti stagni”: nessuna materia fa parte per se stessa.

Il collegamento fra le varie discipline e fra le varie parti di uno stesso programma deve condurre al raggiungimento di quello che è lo scopo dell’insegnamento: l’acquisto da parte dei giovani di una cultura unitaria e viva, della cultura fascista.

[...]

14. L’insegnamento della Matematica deve avere nei corsi inferiori, in particolar modo nelle Scuole di avviamento professionale, carattere intuitivo sperimentale, il che non esclude che, quando se ne presenti l’occasione, non si debba far uso, specie in sede di esercitazioni geometriche, di qualche semplicissimo procedimento dimostrativo, facilmente collegabile a nozioni già acquisite.

Gli alunni debbono essere addestrati soprattutto a calcolare con esattezza e rapidità, servendosi di opportune semplificazioni, e a sapersi orientare nella risoluzione di facili questioni in applicazione immediata di proprietà studiate.

Nei corsi superiori, invece, l’insegnamento – sempre sussidiato dall’intuizione – deve avere carattere prevalentemente razionale. Esso deve abituare gli alunni all’ordine, alla precisione del linguaggio, alla sobrietà del dire, al rigore logico, all’analisi e alla sintesi, alla ricerca del vero: negli Istituti d’istruzione tecnica, pur tenendo debito conto del carattere formativo dell’insegnamento matematico, si dia maggiore importanza agli argomenti che più facilmente trovano applicazione in questioni tecniche.

In ogni tipo di scuola e per ogni grado, l’insegnamento deve essere integrato da numerosi, semplici e appropriati esercizi che valgono a fissare definizioni e proprietà, a percepire legami, a sviluppare le facoltà inventive degli alunni, a dare a questi la sensazione di quello che essi effettivamente valgono.

[...]

Programma di matematica

1^a CLASSE: Concetto di numero reale come numero decimale: cenno sulle operazioni con numeri reali.

Calcolo dei radicali, potenze con esponenti frazionari. Equazioni di 2° grado o riconducibili a quelle di 2° grado; esempi di sistemi di equazioni di grado superiore al 1° risolubili con equazioni di 1° e 2° grado; applicazioni geometriche. Progressioni aritmetiche e geometriche; applicazioni.

Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Funzioni di una variabile e loro rappresentazione grafica; in particolare le funzioni ax+b; ax²; a:x.

2^a CLASSE: Equazioni esponenziali e logaritmi, curva logaritmica. Uso delle tavole logaritmiche ed applicazione al calcolo del valore di espressioni numeriche. Uso del regolo calcolatore. Rettificazione della circonferenza e quadratura del cerchio.

Rette e piani nello spazio; ortogonalità e parallelismo. Minima distanza di due rette sghembe. Diedri, triedri, angoloidi. Uguaglianza fra figure spaziali. Poliedri, in particolare prismi e piramidi. Cilindro, cono, sfera.

Nozioni sui triangoli sferici e sull’eccesso sferico.

Applicazioni dell’algebra alla geometria (problemi di 1° e 2° grado; omogeneità delle formule; costruzione delle formule).

3^a CLASSE: Funzioni geometriche; curve dei seni e delle tangenti, formule per l’addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione degli argomenti; equazioni goniometriche; risoluzione dei triangoli rettilinei.

La nozione di limite di una funzione, teoremi fondamentali che vi si riferiscono. Derivata di una funzione di una variabile e suo significato geometrico e fisico; derivata di una somma, di un prodotto e di una funzione di funzione.

Derivate di x^m (m intero o frazionario), di sen x, cos x, tan x; esercizi di derivazione; tangenti alle curve immagini delle funzioni ax²; a:x.

Nozioni di equivalenza di figure solide; equivalenza di prismi e piramidi. Regole pratiche per la determinazione di aree e volumi dei solidi studiati.

4^a CLASSE: Massimi e minimi con il metodo delle derivate; applicazioni.

Nozione di integrale; significato geometrico; applicazione al calcolo di qualche area e di qualche volume.

Disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici; binomio di Newton. Elementi di calcolo delle probabilità.

Le applicazioni di algebra alla geometria, esplicitamente menzionate nel programma di seconda, devono svolgersi in tutte le classi. Le avvertenze date per il liceo classico valgono anche per il Liceo Scientifico, dove però la stessa maggiore estensione del programma permetterà di raggiungere una maggiore maturità e di meglio riconoscere i rapporti fra le varie teorie. Così le nozioni di calcolo integrale faranno ritrovare con metodi semplici regole già apprese per il calcolo di aree e volumi, e la conoscenza delle derivate servirà a chiarire concetti fisici e a risolvere numerose questioni.

Liceo Scientifico – r.d. 10.6.1937 (Bottai) – Argomenti per l’esame di Stato, Liceo Scientifico.

Prova scritta:

Risoluzione di un esercizio sugli argomenti del programma d’insegnamento per le quattro classi del liceo scientifico (Durata: 5 ore).

Prova orale:

Dovrà servire principalmente a riconoscere se il candidato è in grado di enunciare con precisione le proposizioni algebriche e geometriche studiate e di comprenderne la connessione logica, sviluppando anche il procedimento dimostrativo delle più importanti. Per ciò che concerne l’algebra e la trigonometria, gli esercizi serviranno ad accertare sia il possesso dei concetti generali come la prontezza dei calcoli. La prova orale verterà, nei limiti dei programmi d’insegnamento, sui seguenti argomenti:

Grandezze commensurabili e incommensurabili; esempi. Misura (o rapporto) di una grandezza rispetto ad un’altra e postulato della continuità. Il numero decimale come rapporto di due grandezze al rapporto delle loro misure. Proporzioni fra grandezze; grandezze proporzionali.

Similitudine di triangoli e poligoni; sezione aurea di un segmento.

Rettificazione della circonferenza e quadratura del cerchio.

Proposizioni principali su rette e piani nello spazio: ortogonalità e parallelismo.

Proposizioni fondamentali sui triedri e casi di eguaglianza.

Sezioni piane di una piramide o di un cono parallele alla base.

Equivalenza di prismi e piramidi.

Esercizi di algebra (equazioni e sistemi di equazioni, progressioni aritmetiche e geometriche, logaritmi, identità ed equazioni goniometriche).

Relazioni goniometriche fra elementi di un triangolo; risoluzione di triangoli rettilinei.

Rappresentazione grafica delle funzioni.

Nozione di limite di una funzione ed enunciati dei teoremi fondamentali. Derivate; massimi e minimi, usando anche dei diagrammi e dell’interpretazione geometrica delle derivate. Integrali; calcolo di aree e volumi mediante integrali.

Combinazioni semplici; potenza del binomio. Applicazioni dell’algebra alla geometria (problemi di 1° e 2° grado); discussione servendosi anche del piano cartesiano e deduzione – nei casi semplici – della risoluzione dei problemi stessi per via sintetica.

Istruzioni e piani di studio del 1944. Programmi di Matematica per il Liceo Scientifico.

NOTA: di questi piani di studio esistono diverse edizioni di tipografie private, non del tutto coincidenti. La maggior parte di queste riporta la dizione “conforme ai programmi ufficiali”. I programmi ufficiali dovrebbero essere quelli emanati dalla Sottocommissione Alleata all’educazione, presieduta da Carlton Washburne, cui fa riferimento la circolare ministeriale n. 31 del 1945.

Riportiamo i programmi editi nel 1954 dalla Casa editrice Pirola, che in una riedizione del 1974 aggiunge in nota “Emanati dalla sottocommissione Alleata dell’Educazione nell’anno 1944”.

Avvertenze [per il ginnasio superiore]: l’insegnamento della matematica ha speciale valore nella formazione e nel disciplinamento dell’intelletto. Ma occorre conciliare lo spirito d’indeterminatezza dei giovani con la proprietà, la sobrietà, la sintesi e la precisione che tale disciplina impone, senza però scoraggiarli, comprimendo la loro iniziativa. Anche qui dunque si condurranno ricerche collettive seguendosi il metodo delle approssimazioni successive, perché la consapevolezza delle parole, dei concetti, delle proprietà, dei ragionamenti si consegue, a poco a poco, per gradi insensibili. E conviene, per tenere sempre vivo l’interesse ai successivi sviluppi, dare largo posto all’intuizione, al senso comune, all’origine psicologica e storica delle teorie, alla realtà fisica, agli sviluppi che conducono ad affermazioni pratiche immediate, mettendo da parte le nozioni statiche e rigide, e quelle puramente logiche, ma che astraggono da ogni impulso intuitivo.

Le suddette esigenze non possono essere conciliate certamente dalle definizioni statiche, ma dall’uso spontaneo di quelle dinamiche, più aderenti all’intuizione. Metodo dunque intuitivo dinamico, in istretto contatto col processo storico, senza esclusivismo di vedute, perché solo così il patrimonio spirituale acquistato nella scuola media inferiore può essere veramente ripreso, evoluto e rafforzato nella scuola d’ordine superiore.

Avvertenze [per il liceo scientifico]: Si leggano gli avvertimenti e suggerimenti generali premessi al programma di matematica del ginnasio superiore. Si tenga conto del particolare valore che deve avere l’insegnamento della matematica nel liceo scientifico.

I Classe

Si svolgerà il programma di algebra e di geometria della IV e V ginnasiale.

[Algebra: I numeri razionali relativi e le quattro operazioni fondamentali su di essi. Potenze con esponenti interi relativi. Polinomi (razionali, interi); operazioni su di essi. Prodotti notevoli.

Casi semplici di scomposizione di polinomi in fattori. Frazioni algebriche; calcoli con esse. Equazioni e problemi di primo grado a un’incognita.

Geometria: Rette, semirette, segmenti. Piani, semipiani; angoli. Triangoli e poligoni piani. Uguaglianza dei triangoli. Rette perpendicolari. Rette parallele. Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono. Disuguaglianza tra elementi di un triangolo. Parallelogrammi; loro proprietà e casi particolari.

Circonferenza e cerchio. Mutuo comportamento di rette e circonferenze: cenni sul mutuo comportamento di circonferenze complanari. Angoli nel cerchio (al centro o alla circonferenza). Poligoni regolari. Qualche problema grafico fondamentale. Poligoni equivalenti. Teorema di Pitagora.]

II Classe

Concetto di numero reale. Calcolo dei radicali; cenno sulle potenze con esponenti frazionari.
Equazioni di 2° grado o ad esse riconducibili. Esempi di sistemi di equazioni di grado superiore al l° risolubili con equazioni di l° e 2° grado. Cenni sulle progressioni aritmetiche e geometriche.
Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Funzioni di una variabile e loro rappresentazione grafica;in particolare le funzioni ax + b; ax²; -x.
Proporzioni tra grandezze, similitudine dei triangoli e dei poligoni, teoria della misura, area dei poligoni.

III Classe

Equazioni esponenziali e logaritmi. Uso delle tavole logaritmiche ed applicazione al calcolo del valore di espressioni numeriche. Cenni sull'uso del regolo calcolatore. Rettificazione della circonferenza e quadratura del cerchio.
Rette e piani nello spazio: ortogonalità e parallelismo. Diedri, angoloidi.
Poliedri, in particolare prismi e piramidi. Cilindro, cono, sfera.

IV Classe

Funzioni geometriche. Curve dei seni e delle tangenti. Formule per l'addizione, la sottrazione, la duplicazione e la bisezione degli argomenti. Qualche semplice equazione goniometrica. Risoluzione dei triangoli rettilinei. La nozione di limite di una funzione. Derivata di una funzione di una variabile e suo significato geometrico e fisico.
Derivate di x², di senx, cosx, tgx. Esercizi di derivazione.
Nozioni di equivalenza delle figure solide. Equivalenza di prismi e piramidi. Regole pratiche per la determinazione delle aree e dei volumi dei solidi studiati.

V Classe

Massimi e minimi con il metodo delle derivate, applicazioni. Nozione di integrale con qualche applicazione. Disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici. Binomio di Newton.

Nelle ultime quattro classi: applicazioni dell'algebra alla geometria di l° e 2° grado con relativa discussione.