15 ottobre 2003
Gabriele Mondello (Università di Roma -- La Sapienza)
Classi combinatorie e classi tautologiche sullo spazio dei moduli delle curve
Abstract: Ogni descrizione dello spazio dei moduli delle curve permette di definire classi di coomologia in modo "naturale". Il punto di vista algebro-geometrico conduce alle cosiddette classi tautologiche. D'altra parte il complesso degli archi (o dei grafi a nastro), che fornisce una (orbi)triangolazione dello spazio di moduli, porta a considerare alcuni suoi sottocomplessi notevoli che definiscono le cosiddette classi combinatorie. Nel seminario sarà indagato il legame tra classi combinatoriche e classi tautologiche, rispondendo affermativamente alla seguente congettura di Witten e Kontsevich: ogni classe combinatorica è un polinomio nelle classi tautologiche.

29 ottobre 2003
Simone Pavanelli (Università di Roma -- La Sapienza)
Simmetria speculare per una famiglia di varietà di Calabi-Yau con caratteristica di Eulero nulla
Abstract: La simmetria speculare è un'affascinante dualità tra due famiglie di Calabi-Yau suggerita dalla teoria delle stringhe. Tale fenomeno verrà brevemente spiegato nei suoi risvolti matematici e nelle sue sorprendenti conseguenze: informazioni enumerative dei Calabi-Yau di una delle famiglie vengono identificate con dati "facilmente" calcolabili per l'altra famiglia. La simmetria speculare verrà poi studiata su un particolare esempio di famiglia di Calabi-Yau con caratteristica di Eulero nulla appunto. Tale studio porterà alla congettura che la famiglia in esame sia auto-speculare.

19 novembre 2003
Laura Stevens (Università di Roma -- La Sapienza)
Modular tranformations of the elliptic hypergeometric functions
Abstract: We consider the space of elliptic hypergeometric functions of the sl₂ type associated with elliptic curves with one marked point. This space represents conformal blocks in the sl₂ Wess-Zumino-Witten model of conformal field theory. The modular group acts on this space. We give formulas for the matrices of the action in terms of values of Macdonald polynomials of the sl₂ type.

26 novembre 2003
Cyril Grunspan (Università di Roma -- La Sapienza)
Quantum Torsors

3 dicembre 2003
Michela Varagnolo (Univ. di Cergy Pontoise)
Moduli periodici e gruppi quantici
Abstract: Alla fine degli anni 90, Lusztig ha introdotto dei "nuovi polinomi di Kahdan-Lusztig" che congetturalmente intervengono nella teoria delle rappresentazioni dell'algebra di Lie di un gruppo algebrico semplice e connesso su un corpo algebricamente chiuso di caratteristica positiva. Usando i gruppi quantici, diamo una dimostrazione, per il tipo A, di una congettura di Lusztig relativa a tali polinomi.

10 dicembre 2003
Mark Gross (Università di Warwick)
Log geometry, mirror symmetry, and degenerations of Calabi-Yau manifolds

17 dicembre 2003
Nefton Pali (Università di Grenoble -- Joseph Fourier)
A differential characterisation of coherent analytic sheaves over complex manifolds
Abstract: We give a generalization, in the context of coherent analytic sheaves, of a classical result of Koszul-Malgrange concerning the integrability of connections of type (0,1) over a C^∞ complex vector bundle over a complex manifold. We introduce the notion of ∂-coherent sheaf, which is a C^∞ notion, and we prove the existence of an (exact) equivalence between the category of coherent analytic sheaves and the category of ∂-coherent sheaves. The principal difficulty of the proof is the solution of a quasi-linear differential equation with standard ∂ as its principal term. We are able to find a solution of this differential equation, using a rapidly convergent iteration scheme of Nash-Moser type.

13 gennaio 2004
Thomas Tradler (City University of New York)
String Topology and its algebraic Hochschild cochain model
Abstract: In 1999, Moira Chas and Dennis Sullivan discovered an interesting structure on the homology of the free loop space H(LM) of a manifold M. For example they obtain operations, which induce a BV-algebra on H(LM) and a Lie-algebra on the equivariant homology of the free loop space. These operations are very much in the spirit of usual algebraic topology, but combine intersection of cycles and loop product in a rather unusual way. We will give an elementary introduction to these operations and some of its origins together with some further developments and outlooks. In particular, since Hochschild cohomology of the cochains C(M) models the free loop space homology, one expects similar results for the Hochschild cohomology of a suitable algebra.

14 gennaio 2004
Ivan Mirkovic (University of Massachusetts -- Amherst)
Localization of modular representation theories on flag variety
Abstract: Beilinson and Bernstein realized representations of a semisimple complex Lie algebra as D-modules (modules for the ring of differential operators on the flag variety. The same can be done for modular representation theories (semisimple Lie algebras of positive characteristic and quantum groups at roots of unity). A new geometric phenomen in representation appears - the corresponding algebras of differential operators are Azumaya algebras which split on Springer fibers. Therefore, (on the level of derived categories) the interesting categories of representations turn out to be the categories of coherent sheaves on Springer fibers.

20 gennaio 2004
Alberto de Sole (Harvard University)
Algebre di vertice conformi.
Abstract: Le algebre di vertice forniscono una definizione matematicamente rigorosa della parte chirale di una teoria di campo quantistica in dimensione 2. E' un problema interessante, da un punto di vista sia matematico che fisico, classificare le algebre di vertice finitamente generate che contengano un campo di Virasoro. Discuteremo un nuovo metodo per trattare questo problema, basato sulla nozione di algebra di Lie conforme "non lineare".

28 gennaio 2004
Eric Leichtnam (Institut de Mathematiques de Jussieu, Paris)
Report and Remarks on Deninger's work on arithmetic zeta functions
Abstract: We explain (briefly) Deninger's approach to arithmetic zeta functions where certain laminated foliated spaces should arise. Next we establish a connection with Connes's approach at the level of von Neumann algebras.

4 febbraio 2004
Giovanna Carnovale (Università di Padova)
Classi di coniugio sferiche e rappresentazioni di U_ε(g)
Abstract: Questo lavoro è frutto di una collaborazione con Nicoletta Cantarini e Mauro Costantini. Sia g un'algebra di Lie semplice, complessa, di dimensione finita, sia G il gruppo algebrico semplicemente connesso di algebra di Lie g e sia W il corrispondente gruppo di Weyl. Forniremo una caratterizzazione delle classi di coniugio sferiche di G in termini di elementi di W. Come applicazione, mostreremo che la congettura di De Concini, Kac e Procesi sulla dimensione delle rappresentazioni irriducibili dell'algebra inviluppante quantizzata alle radici dell'unità U_ε(g) è verificata per rappresentazioni associate a classi di coniugio sferiche.

11 febbraio 2004
Giuseppe Pareschi (Università di Roma -- Tor Vergata)
Trasformata di Fourier-Mukai e annullamento di immagini dirette
Abstract: Lavorando con trasformate di tipo Fourier-Mukai, è utile avere criteri e metodi che consentano di sapere se la trasformata di un fascio è un fascio. Questo equivale all'annullamento di certe immagini dirette. Dopo avere illustrato il problema con alcuni esempi rilevanti nello studio della geometria di varietà abeliane e di varietà irregolari, si cercherà di offrire una panoramica su alcuni risultati recenti in questa direzione.

18 febbraio 2004
Samuel Beer (Università di Berna)
Semi-Invariants of prehomogeneous vector spaces
Abstract: The basic setup in algebraic invariant theory is the following: Let r: G → GL(V) be a representation of an algebraic group G on a complex vector space V. This induces canonical actions of G on V and on C[V]. A function f in C[V] is called an invariant of V, if g·f = f for all g in G. Call a vector space V prehomogeneous, if it contains an open orbit G·v₀. It is easy to show that there are no non-constant invariants on V if it is prehomogeneous. The next best things to look for in this situation are semiinvariants: A semi-invariant is a function f in C[V] such that there exists a character of algebraic groups c: G → C* with g·f = c(g)f for all g in G. In my talk I will present a result by M. Sato and T. Kimura, which characterises the semi-invariants of a prehomogeneous vector space V in terms of the codimension one components of the complement V \ G·v₀ of the open orbit.

25 febbraio 2004
Peter Littelmann (Università di Wuppertal)
Galleries, the affine Grassmann variety and the path model
Abstract: The geometry of the affine Grassmannian and the Schubert varieties plays an important rôle in the investigation of representations of a semisimple Lie groups G. In the talk we explain yet another link between the geometry of the Grassmannian and the combinatorics of representations. More precisely, we associate in a canonical way to the path model of a representation some finite dimensional projective varieties in the affine grassmann variety. It turns out that these are precisely the cycles which, by the work of Mirkovic and Vilonen, form a canonical basis of the intersection homology of a Schubert variety.

3 Marzo 2004
Ania Otwinowska (Università di Parigi X)
Nori's connectivity theorem and the Noether-Lefschetz locus
Abstract: Let Y be a projective complex variety endowed with an ample line bundle L. The Noether-Lefschetz locus NL is the subset of |L| parametrising smooth hypersurfaces of Y which vanishing cohomology has a non-zero Hodge class. First, I will give an explicit asymptotic description of the components of small codimension of NL for L sufficiently ample and will show that for these components the Hodge class is in the image of the cycle map, as predicted by Hodge Conjecture. Next, I will explain a (partly conjectural) generalisation of this result and its links with Nori's connectivity theorem. I will also give an explicit asymptotic bound for Nori's theorem to hold and will give examples showing that this bound is optimal.

10 Marzo 2004
Roman Bezrukavnikov (Northwestern University, Chicago)
t-structures on derived categories of coherent sheaves on Springer fibers and representation theory
Abstract: Let g a simple Lie algebra, and N⊂g be the nilpotent cone. Let S⊂N be a transversal slice to a nilpotent orbit, and X be the preimage of S under the Springer map; thus S is a resolution of singularities of S. A certain t-structure on the derived category of coherent sheaves on X arises from several different constructions in representation theory (representations of Lie algebras in positive characteristic; (local) geometric Langlands duality; and (conjecturally) modules over affine Lie algebras at the critical level). The construction can be generalized to another class of symplectic resolutions, namely to the case when Y=V/Γ where V is a symplectic vector space, and Γ⊂Sp(V) is a finite subgroup. I will describe some properties and applications of these t-structure.

10 Marzo 2004
David Buchsbaum (Brandeis University)
A caccia di risoluzioni
Abstract:

17 marzo 2004
Eva Maria Feichtner (ETH)
De Concini-Procesi resolutions of group actions
Abstract: Wonderful models for arrangement complements as defined by De Concini and Procesi have attracted a lot of interest in recent years. We will review the model construction and give an outline of further developments. These include a combinatorial framework for resolutions modelled after the De Concini-Procesi construction process and abelianizations of group actions provided by wonderful arrangement models.

24 marzo 2004
Carlo Gasbarri (Università di Roma -- Tor Vergata)
Algebrizzazione aritmetica e teoria di Nevanlinna
Abstract: Partiremo un teorema classico di teoria della trascendenza: il teorema di Bombieri--Schneider--Lang. Spiegheremo come questo può essere visto come un'analogo aritmetico di (una generalizzazione di) un teorema di algebrizazione in geometria algebrica formale, dovuto a Hartshorne. Dopo aver accennato alla dimostrazione di una sua generalizzazione ne daremo (se c'è tempo) un'applicazione alla teoria dei sistemi integrabili a poli logaritmici su curve ellittiche. (Lavoro in collaborazione con J. B. Bost)

31 marzo 2004
Jochen Heinloth (Georg-August-Universitat Gottingen)
Geometric Langlands correspondence for some slightly ramified local systems
Abstract: The aim of the talk is to explain a generalization of Laumon's construction of automorphic sheaves for (rank 3) local systems on a curve C which have (indecomposable) unipotent ramification at finitely many points. The main ingredient we need is a notion of coherent sheaves with parabolic structure and their moduli spaces, which in turn provide a geometric description of the Iwahori-Hecke algebra. Furthermore it allows us to construct a geometric counterpart of the Whittaker model in this situation. Our construction makes sense for local systems of arbitary rank, while the proof that it produces automorphic sheaves (following the one given by Frenkel, Gaitsgory and Vilonen in the case of unramified local systems) for the moment is complete only for rank 3 sheaves.

7 aprile 2004
Riccardo Longoni (Università di Roma -- La Sapienza)
Gli spazi di configurazione non sono invarianti omotopici
Abstract: In questo seminario verrà discusso un controesempio alla congettura sull'invarianza omotopica degli spazi di configurazioni delle varietà lisce compatte. Poiché gli spazi di configurazioni sono chiaramente invarianti per omeomorfismo, un controesempio va cercato tra le coppie di varietà omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe. In particolare mostreremo che la congettura è falsa facendo vedere che gli spazi di configurazioni degli spazi lenticolari L(7,1) e L(7,2) non sono omotopicamente equivalenti.

21 aprile 2004
Alexis Tchoudjem (Università di Lione)
Cohomology groups with support and Lie algebra representations
Abstract: Given a line bundle over a complete symmetric variety, with the action of a semi-simple complex and linear group G, we are interested in its space of global sections and more generally in its higher global cohomology groups. They are in fact some representaions of G (or of a covering of G) and so they decompose themselves into a direct sum of irreducible G-modules with certain multiplicities. With the help of the cellular decomposition (according to Bialynicki-Birula) of the complete symmetric variety and with the help of some representation theory, it is possible to evaluate those multiplicities (a bit as in the case of the Borel-Weil-Bott theorem).

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Ultimo aggiornamento 21 Gennaio 2005, Alessandro D'Andrea